信号与噪声分析

1、第2章信号与噪声分析知识点及层次1.确知信号时-频域分析(1)现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。(2)几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。(3)信号与系统特征卷积相关维钠辛钦定理。2 .随机过程统计特征(1)二维随机变量统计特征。(2)广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。(3)高斯过程的统计特征。3 .高斯型白噪声统计特征(1)理想白噪声及限带高斯白噪声特征。(2)窄带高斯白噪声主要统计特征。以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。2.1 信号与系统表示法2.1.1 通信系

2、统常用信号类型通信系统所指的信号在不加声明时，一般指随时间变化的信号。通常主要涉及以下几种不同类型的信号：1 .周期与非周期信号周期信号处满足下列条件：)全部时域(2-1)T的周期，是满足(2-1)式条件的最小时段。因此，该/口)也可表示为：(2-2)是/（j）在一个周期T内的波形（形状）若对于某一信号,不存在能满足式（2-1）的任何大小的7值，则不为周期信号（如随机信号）。从确知信号的角度出发，非周期信号一般多为有限持续时间的特定时间波形。2 .确知和随机信号确知信号的特征是：无论是过去、现在和未来的任何时间,其取值总是唯一确定的。如一个正弦波形，当幅度、角频和初相均为确定值时，它就属于确知

3、信号，因此它是一个完全确定的时间函数。随机信号是指其全部或一个参量具有随机性的时间信号，亦即信号的某一个或更多参量具有不确定取值，因此在它未发生之前或未对它具体测量之前，这种取值是不可预测的。如上述正弦波中某一参量（比如相位）在其可能取值范围内没有固定值的情况，可将其表示为：(2-3)其中4和叫为确定值，®可能是在（0,2n）内的随机取值3 .能量与功率信号R上的瞬时在我们常用的电子通信系统中，信号以电压或电流（变化）值表示，它在电阻功率为：尸（。=以9或尸0=|证）1(2-4)功率P（i）正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（K=1q）表示式为:(2-5)在K=1Q负载上的

4、电压或者电流信号的（归一化）能量为:(2-6)单位时段27内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号g（）的总平均功率则为:p=1n1-L(2-7)一般地，能量有限的信号称为能量信号，即0<£<8；而平均功率有限的信号称为功率信号，即0V,<能量信号与功率信号是不相容的一一能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于0,而功率信号的能量等于无限大。通常，周期信号和随机信号是功率信号；确知而非周期信号为能量信号。从理论上，表示信号的方法很多，但实际上傅立叶分析在信号处理与通信中沿用至今，它将任何函数波形/（J）均正交分解为一系列正弦波之和表示，在应用上具有很

5、大的广泛性。在通信系统中，利用变换域，如频域分析，可更方便地揭示信号本质性特点。4 .基带与频带信号从信源发出的信号，最初的表示方法，大都为基带信号形式（模拟或数字、数据形式），它们的主要能量在低频段，如语音、视频等。它们均可以由低通滤波器取出或限定，因此又称为低通信号。为了传输的需要，特别是长途通信与无线通信，需将源信息基带信号以特定调制方式“载荷”到某一指定的高频载波，以载波的某一、二个参量变化受控于基带信号或数字码流，后者称为调制信号，受控后的载波称为已调信号或已调载波，属于频带信号。它限制在以载频为中心的一定带宽范围内，因此又称为带通信号。2.1.2 系统表示法通信系统或信号系统涉及线

6、性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统分析中已对线性时不变系统进行过充分研究；一个复杂的通信系统，特别是无线通信系统（如短波信道），需以非线性时变系统分析方法来处理。根据傅立叶分析方法，一个正弦波输入到系统，响应结果等于相同频率的另一正弦波的条件有两个：1.系统是线性的一一遵循迭加原理和比例倍增。如系统输入为了1（。和椒）,响应各为&1©和&©,如果存在川）+扰）的响应为工：.：（可迭加住）及&Jit）+&作为激励，其响应为：阚©+电g期（比例倍增）（2-8）其中ai、a2为任意常数。则该系统为线性系统。2.系统是时不

7、变的一一如果系统激励为/Q）,响应为g（f）,当输入信号/（z）延时§,即/Q-本），而响应gg）也产生同样延时"，即g'-4），则该系统为时不变系统。2.1.3通信系统中的统计分析方法从通信系统的通信过程而言，是具有基于概率统计特征的。从信源到信号表示，有噪信道传输和接收，各个环节均需利用统计分析方法来处理通信信号及通信系统问题。对于接收者来说，关于信源随机发送的信息序列是不确定的，不可预测的，因此属于一定特征的随机信号。在传输过程中，由于信道介入各种干扰、噪声，受到污染的信号到达接收端，使接收者更增大了不确定程度。因此，基于统计理论的随机过程和信息论是分析与解决

8、信息传输和最佳接收问题的重要理论基础，这正是本章第4节开始重点讨论的问题。2.2信号频谱分析概述为了知识的连续性，同时作为随机信号分析的基础，兹概要回顾确知信号傅立叶分析方法。2.2.1 傅立叶级数任何一个周期为7的周期信号，同=，只要满足狄里赫利条件,就可以展开为正交序列之和一一傅立叶级数:cqs(nm/)+8#sin(用研(以(2-9)式中系数2T/y加明出4=33（力何回油(2-10)?/（2）的均值，即直流分量。式（2-9）中，由&cos4球+%sin£=%cos（附婚一内）则得:cacos(«ffi0/-qJ(2-11)式中：J=亚+j%=丽-】/场二场&

9、#39;A,则可表示为指数形式:/+又由.'.'J上2-49(2-12)仃ip%门叫，V_=、产式中：'|-1'I.,_,，二以上三种级数表示方式实质相同。各项之间均为正交，这样当有限项来逼近,（D时，在同样项数时，以正交项之和精度最高。2.2.2 傅立叶变换非周期信号，即能量信号，其时域表示式通过傅立叶（积分）变换，映射到频域也可表示信号的全部信息特征一一频谱函数，更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为频谱函数：=f/（£）/殷也可反演式:（2-13）表示该傅立叶变换对的缩写符号为:变换对的存在，具有数学上严格的充要条件，这里不再列出。2.2.

10、3 卷积与相关1.卷积卷积是当系统冲激响应晡确定后，已知系统的激励信号/（£）而求响应的运算过程。g«）=f%-）旗）心=加）咖）这一运算模式也可推广到任何两个时间函数小）与加）或这两个频域函数.：，与月的卷积:时域函数卷积:成©*/|©=却F融）加=1（交换律）一口(2-14)频域函数卷积:耳喇:乐山一第2也工衿加（工烛=用冏劝（2-15）关系式：.二二：；一"（卷积定理）（2-16）工ON©引朗窜居（调制定理）（2-17）2.相关一个函数/（£）可求其自相关函数与o两个函数工（，）与其,可求它们之间的互相关函数&

11、&）及&（T）:自相关函数:与=1：/人厂工）也(2-18)互相关函数:，心加C）也喝-©(2-19)R期二口用利工或工/#-必o也(2-20)则有：&©=&(-7)或&1(7)=%(/)(偶对称性)(2-21)1T/若期及/曲、力Q)为周期信号，上列各式利用财=亍%1也格式运算。1.1 .4能量谱、功率谱及帕氏定理1 .能量谱密度若存在傅立叶变换对®6F能量信号/(£)的能量谱与其自相关函数也是一对傅立叶变换，即：与=匚/+D也e双回F(r)=尸f*(山)=|f简明表示为：(2-22)这里''|：

12、能量谱函数，或称能量谱密度。2 .功率谱密度若存在傅立叶变换对郑妗/曲，且了(力为功率信号，其自相关函数与其功率谱也是一对傅立叶变换，即：=呢,J专7W5）山妗蚣J耳；）1=当（2-23）上式可表示周期信号和随机信号两种情况。周期为T的信号在一个周期的时间平均自相关函数，随机信号截短信号的时间自相关函数，两者都对应着单位时段能量谱，当时间无限扩展时的时间平均能量谱，等于它们的功率谱，只是当周期信号时，式（2-23）不必用极限运算。因为/Q）为随机信号时不存在周期，以I耳F表示该/口）的截短段为T的能量谱，用I为此段时间平均功率谱，取时间极限后才为该信号准确功率谱。这一计算方式，T到后面随机信号

13、分析将要用到。3 .帕氏定理（Parseval）信号能量与功率的计算帕氏定理：能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数=0时，三者计算结果是一致的。2.3 希尔伯特变换2.3.1希氏变换希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波器完成的。为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到时域来进一步认识它，并且变换后信号以?©表示，相应频谱以京®表示。1 .希氏（频域）变换定义若信号存在傅立叶变换对£）6网助，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱

14、的负频域全部频率成分相移+兀/2,而正频域相移一兀/2完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器传递函数，即有：为®）=-j汨1（卬）(2-25)则希氏变换频谱为尸乜=网砌-jSgn=£(由)2.希氏(时域)变换定义为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数求出其冲激响应4式,0»-3)=-jSgn3)利用傅立叶变换的互易定理，可由为反演出,：&©6-,-即兀£(2-26)(2-27a)(2-27b)因此希氏变换的时域表示式为：八1A®11*W/阳加)卜")=加一d-山dr定J-vnrirJf&

15、#163;-T(2-28)由希式变换的定义：(D余弦信号的希式变换等于正弦信号；(2)正弦信号的希式变换等于余弦信号。希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非常重要的作用。2.3.2希氏变换的主要性质1 .信号与其希氏变换的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量）均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时间位置。2 ./（j）希氏变换,（0再进行希氏变换表示为讪。则有:/©=*)=-7)（2-29）3%）与九）互为正交。为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算：用，加=F（）城

16、段式中右边：F#（-/W=£即产SF射。JrJ-e（2-30）由上式最后一个积分式可以看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于0于是，可得正交关系，即：OA飨拉）也二0（能量信号）,1-0(2-31)limrmT17A亍自我）网也=0（功率信号2.4随机变量统计特征在数学课中，已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算，随机变量是建立随机过程和随机信号分析方法的基础。这里从公理化概率概念出发，阐明随机变量的形成及主要统计平均的运算方法。2.4.1 概率的公理概念关于概率概念，在工科数学中曾从古典概率、几何概率等，对随机事件做了描述性说明。这里拟从概率空间角度，对随

17、机事件及其概率建立数学模型。一个随机实验，严格来说主要应满足下列三个基本特点：11）实验（Experiment）在相同条件下是可重复的；（2）每次重复称作试验（Trial）,其可能结果（Outcomes）是不可预测的；（3）一个随机实验中的大量试验，其结果会呈现一定统计规律。我们利用统计概率概念来描述概率的定义：一个随机实验，所有试验可能结果（Outcomes）称为样本（Samples）。其全部样本集合构成样本空间S（整集），其中一个样本或多个有关样本集合构成的子集称为$的事件域Bf中的每一集合（或样本）称为事件。这样若事件Ae尸，则尸（£）称为事件工的概率。于是以上三个要素实体的结

18、合，构成一个概率空间，表示为：P=（s岑P）。2.4.2 随机变量上面以概率空间P=（SEP）表示了随机实验及其可能结果的概率模型。在实际应用中，我们希望以更明确的数学表示，来阐明样本空间诸事件（集）的统计特性及其相互关系，兹介入“随机变量”概念。现将样本空间S中所有事件（样本）均以某种指定的规则映射（Mapping）到数轴上，并以指定的实数来表示它们。如掷硬币，两种可能结果的样本空间为，（月、?分别表示硬币出现正、反面），映射到数轴上，可由任意指定两个实数作为你的映射规则（称Y）一一来表示两个试验结果。为方便计，可用0、1来表示，即构成一维随机变量,此时它以S=0及$=1两种可能的数值表示，

19、即：X(s)=1(S=/Z)及X(s)=o(S=7)如图2-8（a）所示。它包括了随机变量的2个“取值"X（£=0）及（£=1）；由此看来，上述x（s），y表面上写法类似于“函数”，但它们确不是一个函数，而是变量或变量取值集合。于是，可将随机变量直接用X，Y来表示，以免与函数混淆。其实，随机变量在数轴上所表示样本映射的点（可能的取值），仍与样本的概率相对应，它们都要附带其在样本空间的概率特征，因此赋予一定规则的映射所指的随机变量X、Y，尚必须对所有样本映射点（取值）的概率给予明确表示。后面将具体说明。2.4.3 随机变量的统计特征在数轴的实数值代表的样本空间的样本

20、或实体，它们并非确定数，它们只是S中样本的“数字符号”形式的代表，因此必须与其概率相对应才有真实意义。s全部样本的累积概率一一整集的概率为i,即=1,而随机变量中的部分事件g的概率是一切不大于某特定取值的随机变量比的累积概率，其大小随x取值变化，因此称其为概率累积函数或概率分布函数（cdf）可表示为：且有：&S）=q*）=1O<4W<1（2-43）式中，4S）的含义是不包含所有随机变量取值（x任何取值均有X<是不存在的）的累积概率为0；而%（8）则包含X的全部取值所对应的概率之和，即累积之和当然为1（随机变量完备群概率）。一般地，随机变量值如有人<了口，则有：&

21、#39;'1”.一，接着的问题是，我们尚需了解随机变量X各取值工的概率质量（离散时）或概率密度（X为连续时），即随机变量X的概率密度（函数）pdf,并以p式x）或表示。p（x）与F（r）是互为微积分关系:p(x)=F(x)或F=/dxJr(2-44)这里£作为“虚假”变量。当具体取值为及XI、X2,且看演，则：二3P(X«再)-F(X«力取)-FQ广P(极(2-45)若上式中工=-汽1可设为X的任意值X,则：尸。)=也j-(2-46)且有：尸=湎岫=1Jw(2-47)2.4.4常用的随机变量类型1,均匀分布前面例子已涉及到均匀分布随机变量，即它们的pdf具

22、有均匀分布特征。又如，产生一个幅度为4,角频为崛的正弦波，X(t)n485®+®<>，其中若初相®非为某种强制设定的量，可看做日是在(0,2n)内均匀分布的随机变量。2 .高斯型分布在自然界中，很多现象符合“中心极限定理”，它与高斯(正态)分布特征有着密切关系。一维高斯变量X的pdf为:(2-48)由上式看出，对于一个高斯随机变量，只要已知均值用及方差o,，就能唯一确定其pdf,1.N且可简写为，其中当即=0，仃：=1时的高斯分布，其pdf为卿,1）,称其为归一化高斯分布，即：(2-49)图2-11示出了一维高斯随机变量pdf和cdf曲线本章附录中列出

23、了该归一化分布和概率积分函数:0(/)=F在实际应用中，经常需要计算高斯随机变量X在为二第r+上处的累积概率值，即:JLftIn1TTfJT抚X点仃太1/q_2P1X&叫袅为了查表方便，先进行归一化，即设饵）可得:(2-50)(2-51)于是通过查阅本章附录的高斯变量概率积分表，可得准确结果。概率积分函数有以下性质：力（-幻=1-蜘）(2-52)在通信系统设计与数字信号误码率分析中，经常利用“误差函数”或“互补误差函数”误差函数：互补误差函数:erfc(x)=1-erf(x)且有:(2-53)(2-54)(2-55)本章附录中列出了误差函数表。同时还列出了当X>>1时近似式

24、erf（力汨©的数值。3 .其它类型的概率分布在通信系统窄带噪声分析中（本章最后部分），要用到瑞利（Rayleigh）分布和莱斯（Rice）分布，以及其它类型如波松（Poison）分布，后者用于信号交换排队分析。（2-32）2.5随机过程在通信与信息领域中，存在大量的随机信号。例如语声、音乐信号、电视信号，在通信系统中传输的数字码流和介入到系统中的干扰和噪声，均具有各种随机性特点。要分析此类信号与噪声和干扰的内在规律性，只有找出它们的统计特征；另一方面，它们均为时间函数，即它们随机性变化是表现在时间进程中的，可把它们统称为随机过程。2.5.1 随机过程的概念和定义定义1.随机过程是同

25、一个实验的随机样本函数的集合，表示为战H柳j=l,2V8,其中每个样本函数%©均为随机过程XQ）的一个成员，也称为随机过程的一次（试验）实现。定义2.随机过程是随机变量在时间轴上的拓展。此时可表示为Xg或者与随机变量表示一样，为避免误视为工的“函数”，而以X（£）表示随机过程。随机过程是含有随机变量的时间函数。同时，由定义2,我们也可以说随机过程是在时间进程中处于不同时刻的（多维）随机变量集合。2.5.2 随机信号的统计特征和平稳随机过程研究随机过程的统计特征，为便于理解，我们由定义2及上列两个图示，抽出位于不同时间截口的随机变量，它们为：其中若nr，即当=T一o就更为典型

26、。此时由多个时间截口的随机变量构成的随机过程X（£）,其分布函数可写为：X*）或月x（'卜瓦工加46%）（2-74）%。）一一表示随机过程X（£）的分布函数，各人与L对应，表示在各不同时间截口心处的随机变量取值为4,于是，/（工卜与标"J*«孙X%'5）二r1r1f"p,.，球4跖%）如此'dxJ-toJ-cJ-tt）（2-75）其中巧。xJhG一匆）为随机过程x（£）的概率密度。由此看来，像随机变量那样，若利用X。）的pdf来求解各阶多维统计平均是极为复杂的。幸好，在通信及日常应用中，解决一、二维统计特征或统

27、计平均就可满足一般要求。并且还常常遇到统计特征可以简化的“平稳随机过程”或“遍历性”平稳过程。1.一维统计特征首先我们可在随机过程任意指定时间截口t=k来看该随机过程一一它将成为该时刻%处的一维随机过程：战。=&它与前面介绍的一维随机变量并无本质区别，只是表明了它处于某具体时刻大,由于是任意给定的，也可以去掉下标i。此时，t为参变量，可以说一维随机过程是随机过程在某一时刻的一维随机变量，其分布函数为：(2-76)相应的概率密度函数为：内)=汉中)=10X(2-77)尸。,。=也(2-78)由2。,力可以计算出一维随机过程各统计平均：(1)均值函数EX(f)=J空(工)取=%口)(2-7

28、9)(2)方差函数况加以=口蹬)-%窃，(制油匕(2-80)(3)均方值(函数)由匕如瞅制)-%(钎=一炉彻一加M),现砥5+%)-(2-81)因此，随机过程x（i的均方值为:(2-82)此结果在数学上的意义：表明随机过程在时刻t的二阶原点距等于二阶中心距与一阶原点距平方之和；在物理方面（电学）来说，随机过程的瞬时统计平均总功率等于该瞬时交流功率与直流功率之和。2 .二维统计平均特征上述一维统计平均反映随机过程的统计特征是很不充分的，二维统计平均更显得重要。我们可以在随机过程中任选两个时间截口4和4，将战）截取为相距="一4的两个随机变量：石L相应变量取值为二相应变量取值为这两个不同

29、时刻的联合随机变量，此时就是二维随机过程。其二维统计特征为:/孙际仙）=氏'年儿,引二(2-83)PS3二答产(2-84)利用在时间截口4和4时的二维pdf,可以求出随机过程X（£）的二维统计平均，诸如自相关函数，自协方差函数，以及归一化协方差函数一一自相关系数(1)自相关函数联(4,%)=LjZ声p(f孙位曲广即r私)卜蹈鹤+明(2-85)式中，由于£可作为参变量选值，因此以1f来取代o(2)自协方差函数rx(G-%膜-%(幻pQi用弧如=(2-86)(3)自相关系数(2-87)3 .平稳随机过程与广义平稳随机过程定义1.若随机过程跳)的统计特征与时间原点无关，即

30、:p仇向与;病)p(对向厢力+A4+A.，iy+A)2-15及图2-16的时间原点可以任则称该随机过程为严平稳或狭义平稳随机过程。如此，图意移动，其pdf结果不变。定义2.若随机过程跳)能满足一维和二维平稳条件，即:(2-88)及P（4内八及芯4+A#&(2-89)则称该随机过程为宽平稳或广义平稳随机过程。对于通信系统与其它很多自然现象，往往使用一、二维统计特征足以表明随机过程主要实质,或能满足基本分析需求，故必须掌握好广义平稳的概念。在广义平稳条件下，上述诸多统计平均计算可以得到简化：由一维平稳：阳乂力=血彳/+JR靖A-t8（平稳时）IJ（常数）(2-90)同时有%（£）=日个3仃或?