隐函数与参数方程的求导法PPT学习教案

1、会计学1定义:.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式的函数称为显函数形式的函数称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导?隐函数求导法:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.解出第1页/共22页例1.,)(00 xyxdxdydxdyxyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解, 求导求导方程两边对方程两边对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知0 xdxdy. 1 yedxdyexxy )(00 yx

2、yxexye第2页/共22页例2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解得得求求导导方方程程两两边边对对, xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为)23( 23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为, xy 即即显然通过原点.)(3 33xyyxyyx 确确定定了了函函数数设设方方程程xyxyy 22第3页/共22页例3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解求导得

3、求导得方程两边对方程两边对 x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy0401010 yxy014)41(11204120102 yxy第4页/共22页例422, 02sindxydyyx求求设设 解求导得求导得方程两边对方程两边对 x0cos211 dxdyydxdy)( xyy 设方程确定了设方程确定了解得ydxdycos22 )cos22(22ydxddxyd )( xyy 注注意意)cos2()co

4、s2(122yy dxdyyy sin)cos2(1223)cos2(sin4yy （1） 将（1）代入 第5页/共22页观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法适用范围:. )()( 的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu第6页/共22页例5解142)1(3111 xxxyy等式两边取对数,得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln得得求导求导上式两边对上式两边对,x142)1(31111 xxxyy.,)4(1 )1(23yexxxyx 求求设设 142)1(31

5、11)4(1)1(23 xxxexxxx第7页/共22页例6解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数,得xxylnsinln 得得求导求导上式两边对上式两边对,xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第8页/共22页另解xxxexylnsinsin )ln(sinxx xxelnsin xxeylnsin )(lnsinln)(sinxxxx xxelnsin )1sinln(cosxxxx xxsin )sinln(cosxxxx xexln 第9页/共22页.,)()(程所确定的函数程所确定的函数则称此函数

6、为由参数方则称此函数为由参数方间的函数关系间的函数关系与与确定了确定了若参数方程若参数方程xytytx 例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数问题: 若消参困难或无法消参，如何求导?t第10页/共22页0)( )( ttx 单调，可导，且单调，可导，且设函数设函数 )()( ,tytx 给了参数方程给了参数方程一般地一般地：则则由由反反函函数数求求导导法法则则知知,)()(1也可导也可导的反函数的反函数xttx 且dtdxdxdt 1 其导数其导数也也可可导导再再设设)(ty )(),(1xtty )(1xy 由复合函数及反函数的求导法则得其导数dxdtdtd

7、ydxdy dtdxdtdy 1 dtdxdtdy dtdxdtdydxdy 第11页/共22页二二阶阶可可导导，从从而而则则还还是是二二阶阶可可导导的的若若函函数数)(,)(),(1xytxty )(22dxdydxddxyd dxdtdxdydtd )(dtdxdxdydtddxyd)(22 dtdxdxdydtd 1 )( dtdxdxdydtd)( 第12页/共22页例7解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax第13页/共22页.)

8、,12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为)12(1 axay)22( axy即即第14页/共22页例8解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan dtdxdxdydtddxyd ) ( 22 )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tta4cossin31 第15页/共22页例9解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方

9、程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt第16页/共22页)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹

10、的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 第17页/共22页., , ,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题:已知其中一个变化率时，如何求出另一个变化率?第18页/共22页例10解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线米米其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 得得求导求导上式两边对上式两边对,tdtdhdtd 5001sec2 ),/(140秒秒米米 dtdh2sec,5002 时时当当h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率米米500米米h 第19页/共22页隐函数求导法: 直接对方程