上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质课件 （新版）沪科版

1、九年级九年级( (下册下册) )初中数学初中数学24.2.224.2.2圆的基本性质圆的基本性质知识回顾知识回顾：1.如图所示，如图所示，AB是是 O的直径，的直径，AC是弦，是弦，OABC（1）若）若B=40 ，则，则AOC=_（2）若）若AOC=70 ，则，则B=_2.如图所示：在如图所示：在ABC中，中， C=90 ，CAB（1）AB=10，BC=6，则，则AC=_（2）AC=6，BC=2，则，则AB=_80 35 8210问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧弧所对的弦的长所对的弦的长) )为为37.4m, 37

2、.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：O观察现象观察现象：你能得到什么结你能得到什么结论？论？圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条直径所在的直线都，任何一条直径所在的直线都

3、是它的是它的对称轴。对称轴。它有它有无数条对称轴无数条对称轴O O圆的对称性及圆的对称性及特性特性n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形, ,它的对称中心就是圆它的对称中心就是圆心心. .n用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到: :n一个圆绕着它的圆心旋转任一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度意一个角度,都能与原来的图都能与原来的图形重合形重合.n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质: :圆的圆的旋转不变性旋转不变性O垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思

4、考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对

5、称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你

6、能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的

7、轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思

8、考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对

9、称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你

10、能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的

11、轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思

12、考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？A BDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴

13、对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？A BDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线

14、）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：思考：如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂足为，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？段和弧？为什么？（A）BDCOEA垂直于弦的直径垂直于弦的直径 1.圆的轴对

15、称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分并且平分 弦所对的两弦所对的两 条弧条弧.OABCDMCD弦弦AB,如图如图 CD是是 O的直径（的直径（ O中，中，CD经经过点过点O）,AM=BM, AC =BC, AD =BD.AM=BM O 中CD为直径为直径CDAB于于M AC =BC, AD =BD.符号语

16、言：符号语言：OABDCOEABCODABCODABC应用垂径定理的几个基本图形应用垂径定理的几个基本图形请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。O探究探究：ABDCE如图，若直径如图，若直径CD平分弦平分弦AB交交AB于于E时，时，你认为都有哪些结论成立？你认为都有哪些结论成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直径时，才有垂直是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分，平分AB所所对的两条弧。对的两条弧。OABCDE垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧（1）平分弦（不是直径）

17、的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其的推论：垂径定理及其的推论：直线直线CD （1） 过圆心过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3） 平分弦平分弦 （4）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 以上以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。五个中只要符合两

18、个条件，就能得到其它三个结论。APDCBO判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦直径，垂直于弦）缺一不）缺一不可！可！1、填空：如图，在填空：如图，在 O中中 （1）若若MNAB，MN为直径；则为直径；则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）；（2）若若ACBC，MN为直径为直径；AB不是直径，则不是直径，则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）；（3）若若MNAB，ACBC，则则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）；（4）若若AMBM，MN为直径，则为直径，则

19、（ ），（），（ ），（），（ ）。）。COBAMN2、判断、判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ? 它的主桥它

20、的主桥是圆弧形是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ ABODC解：用解：用AB表示主拱桥，设表示主拱桥，设AB所在圆的所在圆的圆心为圆心为O，过点，过点O作作AB的垂线交的垂线交AB于于C。由垂径定理可知，由垂径定理可知，D是是AB的中点，的中点，C是是AB的中点，的中点，CD就是拱高。就是拱高。AB=37.4，CD=7.2 ，AD=18

21、.7，设，设OA=OC=ROD=OC- -CD=R- -7.2.在在RtAOD中，中，OA2 = AD2 + OD2即即 R2 = 18.72 + (R- -7.2)2 解得解得 R27.9因此，赵州桥的主桥拱的半径约为因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。米。例例1.如图所示，已知如图所示，已知AB是是 O的弦，的弦，OCAB于于C，且，且AB=8，OC=3，求，求 O的半径。的半径。OACB 练习：练习：1.如图如图 O的半径为的半径为8，OC 弦弦AB于于C，且，且OC=6，求弦长求弦长AB。2.如图如图 O的半径为的半径为6，弦，弦AB=8，求圆心，求圆心O到到AB的距离。的距离。

22、OACB OACB 例例2 2：如图，已知在圆：如图，已知在圆O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8，圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3 ，求圆，求圆O O的半径。的半径。变式变式1 1: :在半径为在半径为5 5 的圆的圆O O中，有长中，有长8 8 的的弦弦ABAB，求点，求点O O与与ABAB的距离。的距离。E2：在半径为在半径为5 的圆的圆O中，圆心中，圆心O到弦到弦AB的距离为的距离为3 ，求，求AB的长。的长。OAB例例3 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点，两点，AC与与

23、BD相等吗？为什么？相等吗？为什么？P.ACDBO注意：解决有关弦的问注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的也是一种常用辅助线的添法添法例例5某居民区一处圆形下水管道破裂，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为如图所示，污水水面宽度为60cm，水面，水面至管道顶部距离为至管道顶部距离为10cm，问修理人员应，问修理人员应准备半径多大的管道？准备半径多大的管道？ABO 如图如图,M,M为为O O内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一

24、条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMAB例例4 4变式如图，过O内一点P，作O的弦AB，使它以点P为中点。OPOBA解：过点作解：过点作，并延长交并延长交 于，连接于，连接222)10(30RR垂径定理和勾股定理相结合，构垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，把圆的问题化归造直角三角形，把圆的问题化归为直线形问题解决为直线形问题解决。 ABO思考思考: 在例在例2 2中中, ,我们已计算出我们已计算出的半径的半径cm,cm,如果水面宽度由如果水面宽度由60cm60cm变为变为80cm,80cm,那么污水面下降了多少那么污水面下降了多少cm?cm?

25、ABOCD两弦在圆心同旁两弦在圆心两旁OFEOFEcm；cmCD作垂径，连半径，构造作垂径，连半径，构造直角三角形直角三角形注意圆的对称性注意圆的对称性1.如图，如图，AB,CD是是 O的两的两条平行弦，条平行弦，AC与与BD相等吗？相等吗？为什么？为什么？2.在半径为在半径为5cm的的 O中，弦中，弦ABCD,且且AB=6cm,CD=8cm,求求AB,CD之间的距离之间的距离3.如图，如图，C=90， C与与AB交于点交于点D，AC=5,CB=12,求求AD的长的长BOCDADBCA四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是 一种研究数学的重要思想一

26、种研究数学的重要思想 二、垂径定理：二、垂径定理：一、圆是轴对称图形，其对称轴是一、圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧三、垂径定理和勾股定理相结合，构造三、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半直角三角形，可解决计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题径、圆心到弦的距离等问题任意一任意一条过圆心的直线（或直径所在直线）条过圆心的直线（或直径所在直线）小结练习练习1.1.如图，如图，O O的直径是的直径是1010，弦，弦 ABAB的长为的长为8 8，P P是是ABAB上的一个动点，上的一个动点，则则

27、OPOP的求值范围是的求值范围是 。使线段使线段OPOP的长度为整数值的的长度为整数值的P P点点位置有位置有 个。个。OBAp1p2PC注意圆的轴对称性注意圆的轴对称性3OP552以矩形以矩形ABCD的边为直径的边为直径的的 交于交于E、F，DE=1cm,EF=3cm,则则AB=_ F E C D O B A3.如上图，如上图， O的直径是的直径是10，线段线段OP的长为的长为3，则过点，则过点P的所有弦中，的所有弦中，最大弦长为最大弦长为 ，最短弦长为最短弦长为 ，弦长为整数弦长为整数的有的有 条？条？ PO连半径，构造直角三角形4.CD为为 O的直径的直径,弦弦ABCD于于点点E,CE=

28、1,AB=10,求求CD的长的长.CDABEO.5. .如图，如图，OA=OBOA=OB，ABAB交交O O与点与点C C、D D，ACAC与与BDBD是否相等？为什么？是否相等？为什么？6 6. .在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油罐内的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，装进一些油后，其横截面如图，若油面宽若油面宽AB=600mmAB=600mm，求油的最大，求油的最大深度深度。BAOED 6007如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.1.判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平