椭球面几何特征与测量计算

1、椭球面几何特征与测量计算第五章第五章 地球椭球及椭球面上的计算地球椭球及椭球面上的计算 1、基础知识、基础知识椭球的几何特征；地球椭球的几何特征；地球椭球及其定位；椭球面椭球及其定位；椭球面上的弧长计算。上的弧长计算。2、地面观测元素化算、地面观测元素化算至椭球面至椭球面3、椭球面上大地坐标、椭球面上大地坐标的计算问题的计算问题12345A1NA2(B1,L1)平面坐标计算平面坐标计算球面坐标计算球面坐标计算(x1,y1)第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表

2、面不是一个主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体体地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决来表示地球必须解决2 2个问题：个问题：一是椭球参数的选择一是椭球参数的选择( (椭球的大小和形状椭球的大小和形状) )； 二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位( (椭球椭球与大地水准面包围的大地

3、体应当最密合与大地水准面包围的大地体应当最密合) )。第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位第一偏心率第一偏心率第二偏心率：第二偏心率： 扁率扁率椭球长半径椭球长半径a a，短半径，短半径b b 第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球19801980国家大地坐标系国家大地坐标系WGS-84WGS-84a a637824563782456378140637814063781376378137b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.2881663

4、56752.31426356752.3142e e2 20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013ee2 20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.006739501819470.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563几种椭球几何参数几种椭球

5、几何参数 1967年起，国际上采用4个参数表达地球：椭球长半轴 a2. 引力常数与地球质量的乘积 GM3. 地球重力场二阶带球谐系数 J24. 地球自转角速度 第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位垂线偏差垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角。线方向之间的夹角。垂线偏差垂线偏差 的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量=-B =-B =(-L)cos =(-L)cos A=-(-L)sin=-A=-(-L)sin=-tantan B=-L=-sec第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 椭球定位椭

6、球定位将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。 椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点：B B0 0= = 0 0-0 0L L0 0= = 0 0-0 0secsec0 0A A0 0= = 0 0-0 0tantan0 0H H0 0= H= H0 0常常+0 0 初期定位时，初期定位时，0 0，0 0，0 0未知，可取为未知，可取为0 0。 根据大地测量和天文测量数据，在根据大地测量和天

7、文测量数据，在 条件下，求条件下，求出原点的出原点的0 0，0 0，0 0值。值。椭球定位的三个条件：椭球的短轴与某一指定历元的地球自转轴相平行；2. 起始大地子午面与起始天文子午面相平行；3. 在一定区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面）最为密合。第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径法截面法截面包含曲面一点法线的平面。包含曲面一点法线的平面。法截线法截线法截面与曲面的截线。法截面与曲面的截线。子午圈子午圈包含短轴的平面与椭球面的交线。包含短轴的平面与椭球面的交线。卯酉圈卯酉圈与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯

8、酉圈。点的卯酉圈。平行圈平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。垂直于短轴的平面与椭球面的交线。第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90N=bxrxrra第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径BNrcos第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径-dxdrEDCKBBMMdB表表 M M、N N随随B B变化的规律变化的规律 B BN NM M说明说明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N为赤为赤道半径道半径a a，M

9、M小于小于赤道半径赤道半径a a0 0B90B90aNcaNca(1-ea(1-e2 2)Mc)Mc此间此间N N、M M均随均随B B的的增大而增大增大而增大B=90B=90在极点，卯酉圈在极点，卯酉圈变为子午圈变为子午圈第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 1 1、计算、计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dX/dBM=dX/dB得：得： 将将 代入上式，从代入上式，从0 0到到B B积分，可得积分，可得X X。可知，可知，X X是是B

10、B的函数。的函数。第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 1 1、计算、计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dX/dBM=dX/dB得：得： 将将 代入上式，从代入上式，从0 0到到B B积分，可得积分，可得X X。可知，。可知，X X是是B B的函数。见的函数。见公式公式(5-41)(5-41)。注意：将不同的椭球参数代入得相应的子午。注意：将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计算式。圈弧长计算式。第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 2 2、计算已知纬度、计算已知纬度B1B1和和B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X（1 1）分别计算

11、）分别计算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X1X1和和X2X2，然后求，然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述积分式求）用上述积分式求B1B1B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X。第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 平行圈是一个半径等于平行圈是一个半径等于 r=Nr=NCOSBCOSB的圆，纬度的圆，纬度B B处经度处经度L1L1L2L2之间之间的平行圈弧长的平行圈弧长 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 设设Q1Q1和和Q2Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们两点既不在同一平行

12、圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线的法线Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交。法截线不相交。法截线Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1称为两点间的相称为两点间的相对法截线。对法截线。 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面令令Bm=45Bm=45，A=45A=45，不同距离，不同距离S S求得的值为：求得的值为： S S 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得3 3个内角不能组成个内角不能组成闭

13、合三角形，需在两点间选择一条单一曲线闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。大地线。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面1 1、大地线、大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。含曲面在该点的法线。2 2、大地线几何特征、大地线几何特征大地线与相对法截线间的夹角为大地线与相对法截线间的夹角为=/3/3。大地线与相对法截线间的长度之差甚微，大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km600km时二者之时二者之差仅

14、为。差仅为。两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。赤道重合。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面Kddss2211PPPBA线法曲面切平面密切平面31 =BELDK第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的三个微分方程：大地线的三个微分方程：21-+cos=rro90KMTNNNLLSPPPPBBBBdddddAdAAA第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面

15、大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的大地线的克莱劳方程克莱劳方程 ：r rsinA=sinA=常数常数 对于椭球面上一大对于椭球面上一大地线而言，每点处平行地线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线圈半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一方位角正弦的乘积是一个常数。个常数。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数上以法线为准的观测方向，其改正数11为：为：1= -1= -（sinA-c

16、osAsinA-cosA）tantan例：例：A=0A=0，=5=5，则，则1=0.051=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或没垂直角）。仅在国家一、二等和观测方向的天顶距（或没垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。三角测量计算中，才规定加入此项改正。 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 因照准点因照准点 B B高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度 H2H2，使得在，使得在A A点照准点照准B B点的法截点的法截线线AbAb与与AbAb之间有一夹角之间有一

17、夹角22。B2 B2 照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；A1 A1 测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；H2 H2 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；M1 M1 测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。例：例：A1=45A1=45，B2=45B2=45，H2=2000mH2=2000m，1=0.11=0.1局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数所加的为截面差改正

18、数33。例：例：A1=45A1=45，Bm=45Bm=45，S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001截面差改正主要与测站点至照准点间的距截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。进行改正。 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 设设A A、B B两点的大地高分别为两点的大地高分别为H1H1为为H2H2，h=H2-H1h=H2-H1，d d为空间直线长。为空间直线长。由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦长弦长弧长弧长第四节第四节 地面观测值归算至椭

19、球面地面观测值归算至椭球面 目的目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。算未知边长。方法一：按球面三角形解算公式：方法一：按球面三角形解算公式： 方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。公式解算三角形求得球面边长。球面三角形球面角超球面三角形球面角超 =（A A0 0+B+B0 0+C+C0 0）-180-180= =/R2/R2，为三角，为三角形面积。形面积。 A A1 1=A=A0 0-/3-/3， B

20、B1 1=B=B0 0-/3-/3，C C1 1=C=C0 0-/3-/3。 第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 大地问题正解大地问题正解已知已知P P1 1点大地坐标（点大地坐标（B B1 1，L L1 1）、）、P P1 1P P2 2大地线长大地线长S S和大地方位角和大地方位角A A1 1，推求推求P P2 2点大地坐标（点大地坐标（B B2 2，L L2 2）和大地方位角和大地方位角A A2 2。 大地问题反解大地问题反解已知已知P1P2P1P2两点的大地坐标（两点的大地坐标（B B1 1，L L1 1）、（）、（B B2 2，L L2 2）反算）反算P P1 1

21、P P2 2的大的大地线长地线长S S和大地方位角和大地方位角A A1 1、A A2 2。第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 1 1、按解算的距离分为短距离（、按解算的距离分为短距离（400km)400km)、中距离、中距离（4004001000km)1000km)和长距离（和长距离（100010002000km)2000km)的解算。的解算。 2 2、直接解法和间接解法、直接解法和间接解法 直接解法直接解法直接解求点直接解求点B B、A A和相邻起算点的大和相邻起算点的大地经差。地经差。 间接解法间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加

22、入到已知点的相应大地数据中。主要用于短差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。距离大地问题的解算。 第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 3 3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。用于短距离）。基本思路：基本思路：a a、按照平均引数展开的台劳级数把大地线两端点的经、按照平均引数展开的台劳级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长差、纬差和方位角差各表示为大地线长S S的幂级数；的幂级数；b b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终、利用大地线微分方程推求幂级数中

23、各阶导数，最终得到大地问题解算公式。得到大地问题解算公式。 第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 平均引数平均引数xmxm为为xoxo、xaxa的中点，将的中点，将f(xf(xa a) )、f(xf(xo o) )都以都以x xm m为出发点展为台劳级数。为出发点展为台劳级数。第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算1 1、经差、经差l l、纬差、纬差b b、方位角差、方位角差a a是是S S的函数，故可以将其的函数，故可以将其展为展为S S的台劳级数（按平均引数在的台劳级数（按平均引数在 S/2S/2处展为处展为S S的幂级的幂级数）。数）。2 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dSdL/dS以以BmBm、AmAm按台劳级数展开。按台劳级数展