数值分析（本科）第1章 科学计算与matlab

1、模型模型误差误差截截断断误误差差观观测测误误差差舍入误差舍入误差检验？应用？检验？应用？问题问题1：如何如何将数学问题转变成可计算问题（算法构造）？：如何如何将数学问题转变成可计算问题（算法构造）？问题问题2：如何控制误差？：如何控制误差？对于大多数问题，误差是未知的。对于大多数问题，误差是未知的。十进制数的标准形式十进制数的标准形式四舍五入四舍五入( (保留保留n n位位) )，得，得十进制数的标准形式十进制数的标准形式四舍五入四舍五入( (保留保留n n位位) )，得，得真解真解实际计算方式实际计算方式向向前前误误差差向向后后误误差差真解真解误差估计的基本方法：误差估计的基本方法：本课程中

2、通常采用向前误差。本课程中通常采用向前误差。本本课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。如单精度数可以写成如下形式：如单精度数可以写成如下形式：注意注意：n 计算机的浮点数系所能表示的数均是有范围的，超出这个范计算机的浮点数系所能表示的数均是有范围的，超出这个范围就会产生围就会产生上溢上溢或或下溢下溢。本本课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。这些数在计算机中的表

3、示均依赖于计算机的浮点数系。如单精度数可以写成如下形式：如单精度数可以写成如下形式：注意注意：n 即使在这个范围内，也并不是所有的实数均能由浮点数系表即使在这个范围内，也并不是所有的实数均能由浮点数系表示示例如，单精度数有例如，单精度数有6-76-7位有效数字。位有效数字。解解. . 容易推导出容易推导出因此因此, ,有计算公式有计算公式而而第第一种计算方法一种计算方法按此方法得计算结果按此方法得计算结果另一方面，另一方面，解解. . 这些结果是这些结果是错误的！错误的！两式两式相减得相减得解解. . 误差在计误差在计算过程中算过程中不断被传不断被传播积累放播积累放大！大！解解. .另一种方法

4、另一种方法: : 经计算得经计算得这些结果这些结果与真解是与真解是很相近的！很相近的！两式两式相减得相减得解解. . 误差在计误差在计算过程中算过程中被控制住，被控制住，不被放大！不被放大！n避免相近的数相减避免相近的数相减表达式表达式等价等价，计算结果却不相同！计算结果却不相同！n避免相近的数相减避免相近的数相减其他情况其他情况n避免大数和小数相加减避免大数和小数相加减解解. . 这这就是所谓的就是所谓的“大数吃小数大数吃小数”现象！现象！n避免大数和小数相加减避免大数和小数相加减则会出现则会出现“大数吃小数大数吃小数”现象。现象。当充分大时，部分和不是越来越大，而是停在某个大数上，当充分大

5、时，部分和不是越来越大，而是停在某个大数上，n 简化计算步骤简化计算步骤比较两种表达式中乘法的计算次数。比较两种表达式中乘法的计算次数。两种表达式等价，但计算量却相差甚远！两种表达式等价，但计算量却相差甚远！模型模型误差误差截截断断误误差差观观测测误误差差舍入误差舍入误差检验？应用？检验？应用？问题问题1：如何如何将数学问题转变成可计算问题（算法构造）？：如何如何将数学问题转变成可计算问题（算法构造）？问题问题2：如何控制误差？：如何控制误差？对于大多数问题，误差是未知的。对于大多数问题，误差是未知的。十进制数的标准形式十进制数的标准形式四舍五入四舍五入( (保留保留n n位位) )，得，得十

6、进制数的标准形式十进制数的标准形式四舍五入四舍五入( (保留保留n n位位) )，得，得真解真解实际计算方式实际计算方式向向前前误误差差向向后后误误差差真解真解误差估计的基本方法：误差估计的基本方法：本课程中通常采用向前误差。本课程中通常采用向前误差。本本课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。如单精度数可以写成如下形式：如单精度数可以写成如下形式：注意注意：n 计算机的浮点数系所能表示的数均是有范围的，超出这个范计算机的浮点数系所能表示的数均是有范围的，

7、超出这个范围就会产生围就会产生上溢上溢或或下溢下溢。本本课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。课程中所有涉及的数均以小数形式表示和计算。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。这些数在计算机中的表示均依赖于计算机的浮点数系。如单精度数可以写成如下形式：如单精度数可以写成如下形式：注意注意：n 即使在这个范围内，也并不是所有的实数均能由浮点数系表即使在这个范围内，也并不是所有的实数均能由浮点数系表示示例如，单精度数有例如，单精度数有6-76-7位有效数字。位有效数字。解解. . 容易推导出容易推导出因此因此, ,有计算公式有计算公式而而第第一种计算方法一种计算方法按此方法得计算结果按此方法得计算结果另一方面，另一方面，解解. . 这些结果是这些结果是错误的！错误的！另一方面，另一方面，解解. . 这些结果是这些结果是错误的！错误的！另另一种方法一种方法: :n避免相近的数相减避免相近的数