第2章信号转换与z变换2

1、l 信号变换原理信号变换原理l 采样信号恢复与保持器采样信号恢复与保持器l 信号转换的工程化技术信号转换的工程化技术l z z 变换变换/z /z 反变换反变换l 扩展扩展 z z 变换变换 采样器采样器采样信号采样信号 量化量化数字信号数字信号模拟信号模拟信号模拟信号、采样信号、数字信号之间的转换关系模拟信号、采样信号、数字信号之间的转换关系计算机控制系统信息转换图计算机控制系统信息转换图 计算机运算和处理的是数字信号，实际系统中被控对象的计算机运算和处理的是数字信号，实际系统中被控对象的数学描述大多是模拟信号。计算机与被控对象组成的闭环反馈数学描述大多是模拟信号。计算机与被控对象组成的闭环

2、反馈系统中信号类型是不统一的，为了设计与分析计算机控制系统，系统中信号类型是不统一的，为了设计与分析计算机控制系统，必须对模拟信号进行采样和量化，把数字信号复现成模拟信号，必须对模拟信号进行采样和量化，把数字信号复现成模拟信号，即对两种信息进行变换。即对两种信息进行变换。模拟信号到数字信号的信息变换。模拟信号到数字信号的信息变换。数字控制器数字控制器保持器保持器被控对象被控对象输出输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入输入x(t)T计算机控制系统方框图计算机控制系统方框图f(t)t0(b) (b) 连续信号连续信号f(t)f*(t)(a) (a) 采样开关采样开关

3、T(c) (c) 开关函数开关函数KT005T3TT7T1P(t)f *(t)kT05T3TT7T1(d) (d) 采样信号采样信号调制器f(t)f *(t)P(t)(e) (e) 采样过程采样过程f *(t)=p(t) f (t) 因因 T T，所以分析时可近似认为，所以分析时可近似认为 =0=0，以单位脉冲，以单位脉冲函数函数(t)(t)代替代替p(t)p(t)。 00理论表达形式理论表达形式：(t) 0 t=0t0工程表达形式工程表达形式：(t) 0 1 1 t=0t0理想单位脉冲理想单位脉冲T T( (t t) )定义定义：理想单位脉冲序列理想单位脉冲序列T T( (t t) )：kT

4、kTtt)()(数学表达式：数学表达式：T T(t)(t)t t0 0T 2T考虑物理上可实现，又可近似为：考虑物理上可实现，又可近似为：可见，可见， 具有采样信号的特性。具有采样信号的特性。kTkTttfttftf)()()()()(*0*)()()()()(kTkTttfttftf 连续函数连续函数 f f( (t t) )，经一个以，经一个以T T 为周期的脉冲采样器为周期的脉冲采样器调制后可以得到采样函数调制后可以得到采样函数 。*( )ft*( )ft由模拟信号到数字信号的信息变换，由模拟信号到数字信号的信息变换，信信息变换的可靠性。息变换的可靠性。数字控制器数字控制器保持器保持器被

5、控对象被控对象输出输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入输入x(t)T计算机控制系统方框图计算机控制系统方框图*( )( )()( )( )Tkftf ttkTf tt( )Tt( )sjktTkktC e 2sT221( )sTjktTkTCt edtT/2,/2TT( )Tt0( ) ( )( )tt f t dtf t/20/2111( )ssTjktjktktTCt edteTTT1( )sjktTkteT *1( )( )sjktkftf t eT *( )ft*001( )( )( )sjktststkFsft edtf t eedtT0( )( )s

6、tF sf t edt*001( )( )( )sjktststkFsft edtf t eedtT*1()()snFjF jjnT*1()skFsF sjkT（ )=*1()snFsF sjnT（ )=sj2sT*1()()skFjF jjkT)(jF)(*jF 采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系，即采样采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系，即采样函数的傅氏变换式：函数的傅氏变换式：为原连续函数为原连续函数 f f ( (t t) ) 的频谱，的频谱，为采样函数为采样函数 的频谱的频谱 。 *( )ft 被控对象一般具有低通滤波特性，因而被控对象一般具有低通滤波特性，因而f f(t)(t)

7、的带宽的带宽是有限的，是有限的，a a为非周期频谱图。为非周期频谱图。 由于采样过程会产生高频频谱，由于采样过程会产生高频频谱，b b为周期频谱图。为周期频谱图。 K=0K=0时叫主频谱，主频谱就是原连续函数的频谱，时叫主频谱，主频谱就是原连续函数的频谱，只是幅值为原来的只是幅值为原来的1/T1/T。0()( )j tF jf t edt*1()()snFjF jjnTmax2s（1） 这时，采样信号这时，采样信号 的频谱是由多个孤立频谱组成的频谱是由多个孤立频谱组成的离散频谱。如果将的离散频谱。如果将 经过一个频带宽带大于经过一个频带宽带大于 小小于于 的理想滤波器的理想滤波器 , ,滤波器

8、输出就是原连续函数滤波器输出就是原连续函数f f( (t t) )的频谱。的频谱。maxs)(jW*( )ft*( )ft)(*tf2s2s23s23s*()Fj0max2s（2） 这时，采样函数这时，采样函数 的频谱已变成连续频谱。重叠后的频的频谱已变成连续频谱。重叠后的频谱中没有哪部分与原连续函数频谱谱中没有哪部分与原连续函数频谱 相似相似, ,采样信号采样信号 不能通过低通滤波方法不失真的恢复原连续信号。不能通过低通滤波方法不失真的恢复原连续信号。*( )ft*()Fj*( )ft max2smaxmax为了不失真的使采样函数恢复原连续函数：为了不失真的使采样函数恢复原连续函数：max/

9、Tmax2s 理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续信理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采样频率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中样频率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中往往采用折中的方案。往往采用折中的方案。工程上，采样周期怎样确定呢？工程上，采样周期怎样确定呢？ 如声音的最高频率为如声音的最高频率为4000Hz4000Hz，当采样频率为，当采样频率为8000Hz8000Hz时就能够在计算机中完全复现声音信号。时就能够在计算机中完全复现声音信号。 工程上一般不知道系统的最高角频率，

10、所以常用系统的工程上一般不知道系统的最高角频率，所以常用系统的预期开环频率特性的截止频率预期开环频率特性的截止频率c c或系统预期闭环频率特性或系统预期闭环频率特性的谐振频率的谐振频率0 0来确定采样频率。来确定采样频率。 s 10c采样周期选取的一般原则：采样周期选取的一般原则：（1 1）系统受扰动情况）系统受扰动情况 若扰动和噪声都较小，采样周期若扰动和噪声都较小，采样周期T T应选大些；应选大些； 对于扰动频繁和噪声大的系统，采样周期对于扰动频繁和噪声大的系统，采样周期T T应选小些。应选小些。（2 2）被控系统动态特性）被控系统动态特性 滞后时间大的系统，采样周期滞后时间大的系统，采样

11、周期T T应选大些；应选大些； 滞后时间小的系统，采样周期滞后时间小的系统，采样周期T T应选小些。应选小些。（3 3）控制品质指标要求）控制品质指标要求 若超调量为主要指标，采样周期若超调量为主要指标，采样周期T T应选大些；应选大些； 若希望过渡过程时间短些，采样周期若希望过渡过程时间短些，采样周期T T应选小些。应选小些。被控参数被控参数采样周期采样周期T(S)T(S)主汽压力、汽包压力、炉膛负压、主汽压力、汽包压力、炉膛负压、凝汽器真空、汽包水位、汽机转速凝汽器真空、汽包水位、汽机转速1 1流量、主汽温度、一般压力真空和电气参流量、主汽温度、一般压力真空和电气参量量3 35 5一般液位

12、一般液位6 68 8一般温度一般温度10102020成分：成分：Ox,NOx,Sox,COx10103030 根据系统上升时间而定采样周期，即保证上升根据系统上升时间而定采样周期，即保证上升时间内进行时间内进行2 2到到4 4次采样。设次采样。设Tr Tr 为上升时间，为上升时间，NrNr 为为上升时间采校次数，则经验公式为：上升时间采校次数，则经验公式为： 42TTNrr由数字信号到模拟信号的信息变换。由数字信号到模拟信号的信息变换。数字控制器数字控制器保持器保持器被控对象被控对象输出输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入输入x(t)T计算机控制系统方框图计算机

13、控制系统方框图 数字信号的恢复是指将采样信号恢复为模拟信号的过程，数字信号的恢复是指将采样信号恢复为模拟信号的过程，物理上能够实现这一过程的装置称为保持器。物理上能够实现这一过程的装置称为保持器。 理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际中只能用理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。理想低通滤波器的截止频率理想低通滤波器的截止频率 ，并且满足：，并且满足：maxmaxmaxmax|01| )(|jWh 当采样频率当采样频率 大于大于时，在被控对象前加一个理想低通滤波器，可以再现主频谱时，在被控

14、对象前加一个理想低通滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频频谱分量。分量而除掉附加的高频频谱分量。max2s 如果有一脉冲序列如果有一脉冲序列 ，从脉冲序列的全部信息，从脉冲序列的全部信息中恢复原来的连续信号中恢复原来的连续信号u u( (t t) ) 的过程是由保持器完成的。的过程是由保持器完成的。 u u( (t t) )值的复现是通过多项式外推实现的。即是由值的复现是通过多项式外推实现的。即是由t = kT t = kT 前各采样时刻的值推算出来。实现这样外推的前各采样时刻的值推算出来。实现这样外推的一个方法，是利用一个方法，是利用u u( (t t) )的幂级数展开公式：的幂级数展

15、开公式：2 )(2)()()()(kTtkTukTtkTukTutu式中式中， kTt ( k+1)T 。*( )u t各阶导数的近似值用各阶差商表示：各阶导数的近似值用各阶差商表示： 由此类推，计算由此类推，计算n n阶导数的近似值需已知阶导数的近似值需已知n+1n+1个采样时刻的个采样时刻的瞬时值。若右边只取前瞬时值。若右边只取前n+1n+1项，便得到项，便得到n n阶保持器的数学表达式。阶保持器的数学表达式。 .) 1()(1)(TkukTuTkTu)2() 1(2)(1)(2 TkuTkukTuTkTu22()(1) ( )()()()2 (1)(2) ()2u kTu kTu tu

16、kTtkTTu kTu ku kTtkTT由数字信号到模拟信号的信息变换，由数字信号到模拟信号的信息变换，信信息变换的可靠性。息变换的可靠性。数字控制器数字控制器保持器保持器被控对象被控对象输出输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入输入x(t)T计算机控制系统方框图计算机控制系统方框图 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，即即 。它将前一采样时刻。它将前一采样时刻nTnT的采的采样值样值u(nT)u(nT)保持到下一采样时刻保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信，其输入信号与输出信号的关系如图所示。号的关系如图所

17、示。 零阶保持器输入输出关系零阶保持器输入输出关系a-a-零阶保持器单元方框图零阶保持器单元方框图 b-b-零阶保持器输入零阶保持器输入 c-c-零阶保持器输出零阶保持器输出( )()(1)hu tu kTkTtkT 零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的单位脉冲响应 Ttttgh11 setgLsGTshh1为了便于计算，把脉冲响应函数为了便于计算，把脉冲响应函数分解为右图分解为右图(b),(b),根据线性函数可加性，根据线性函数可加性，可表示为：可表示为：式中，式中，1( 1( t t ) )为单位阶跃函数：为单位阶跃函数： 00011ttt由拉氏变换可得零阶保持器的由拉氏变换可得零阶保持器

18、的传递函数：传递函数： tgh1j TheWjj或或jWjWjWhhh式中式中 22|2sin|TjWTTTjWhh 令令s=j s=j ，得零阶保持器的频率特性：，得零阶保持器的频率特性： 零阶保持器的幅频特性如图所示。它的幅值随角频率零阶保持器的幅频特性如图所示。它的幅值随角频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。但是，它不是一的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。但是，它不是一个理想的滤波器，除了主频谱之外，还允许附加高频谱通过个理想的滤波器，除了主频谱之外，还允许附加高频谱通过一部分。因此，被恢复的信号与原信号是有差别的。一部分。因此，被恢复的信号与原信号是有差别的。 零阶保持器的幅

19、频特性零阶保持器的幅频特性 零阶保持器的相频特性从下图可看出，输入比输出平均零阶保持器的相频特性从下图可看出，输入比输出平均滞后了滞后了T/2T/2时间。零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统时间。零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统的不稳定因素。的不稳定因素。 零阶保持器的相频特性零阶保持器的相频特性0sin(/2)()/2hTWjTT0()/2, (/)hsWjTkkINT 201sin(/2)()/2TjTjheTWjTejT零阶保持器的输入和输出信号零阶保持器的输入和输出信号 若将阶梯波输出信号的各中点连接起来，可以得到一条若将阶梯波输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号滞

20、后比连续信号滞后T/2T/2的曲线，反映了零阶保持器的相位滞后的曲线，反映了零阶保持器的相位滞后特性。特性。n 零阶保持器零阶保持器和一阶或高阶保持器相比，它具有最小的相和一阶或高阶保持器相比，它具有最小的相位滞后，而且反应快，对稳定性影响相对减少，再加上容位滞后，而且反应快，对稳定性影响相对减少，再加上容易实现，所以在实际系统中，经常采用零阶保持器。易实现，所以在实际系统中，经常采用零阶保持器。n 具有低通滤波特性，但不是一个理想的滤波器零阶保持具有低通滤波特性，但不是一个理想的滤波器零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素，平均滞后器附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素，平均滞后

21、 T/2 时间。时间。( )()()()hu tu kTu kT tkT1kTtkT ()(1)( )()()hu kTukTu tu kTtkTT12()( )1( )1( )2 1()1()(2 )1(2 )1(2 )ttTg ttttTtTTTtTtTtTT 221222111221111( )sTsTsTsThWseeeesTssTssTs211( )(1)sTheWsTsTsT221sin(/2)()1 ()(arctan)/2hTWjTTTTT 为什么要进行信息变换？为什么要进行信息变换？参考答案：参考答案：计算机与被控对象组成的闭环反馈系统的两种信计算机与被控对象组成的闭环反馈系

22、统的两种信号类型不统一，必须通过信息转换使信号满足各环节的输入号类型不统一，必须通过信息转换使信号满足各环节的输入输出关系。输出关系。模拟信号是怎样按照一定的时间间隔抽样成离散模拟信号是怎样按照一定的时间间隔抽样成离散信号的呢？信号的呢？参考答案：参考答案： 连续函数连续函数 f f ( (t t) ) ，经一个以，经一个以T T 为周期的脉冲采样器调为周期的脉冲采样器调制后可以得到采样函数制后可以得到采样函数 。 几个问题：几个问题：0*)()()()()(kTkTttfttftf*( )ftmax2s参考答案：参考答案：为了不失真的使采样函数恢复原连续函数：为了不失真的使采样函数恢复原连续

23、函数：采样函数怎样才能不失真地恢复原连续信号？采样函数怎样才能不失真地恢复原连续信号？工程上，采样周期怎样确定呢？工程上，采样周期怎样确定呢？参考答案：参考答案：理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采样频信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采样频率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中往往采用折率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中往往采用折中的方案。中的方案。几个问题几个问题：怎样将计算机的数字信号转换为连续信号？怎样将计算机的数字信号转换为连续信号？经零阶保持器恢复的信号经零阶保持器恢

24、复的信号u*(t)与原连续函数与原连续函数u(t)有多有多大差别？大差别？ 参考答案：参考答案：幅频特性：除了允许主频谱通过之外，还允许附加的幅频特性：除了允许主频谱通过之外，还允许附加的 高频频谱通过一部分。高频频谱通过一部分。相频特性：附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因相频特性：附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因 素素 。几个问题几个问题：参考答案：参考答案：当当 时，在被控对象前加一个理想滤波时，在被控对象前加一个理想滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频分量。这种滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频分量。这种滤波器叫做保持器。器叫做保持器。max2s 例如，一个例如，一个

25、A/D转换器，理论上转换器，理论上5V对应数字量对应数字量800H，但实际上，但实际上4.9974.999V均产生数字量均产生数字量800H，那么绝对误差将为那么绝对误差将为 或者相对误差将为或者相对误差将为|(4.9974.999)/ 25| 2mA精度的高低是用误差来衡量的，误差大精度低，精度的高低是用误差来衡量的，误差大精度低，误差小精度高。误差小精度高。|(4.9974.999)/ 25| /50.04%121nD 有时也用最小有效位有时也用最小有效位LSBLSB代表的模拟量来表示，如代表的模拟量来表示，如1212位位A/DA/D芯片的分辨率为：芯片的分辨率为： 如果输入电压最大值为如

26、果输入电压最大值为5V5V，则，则1212位位A/DA/D芯片能够分芯片能够分辨的输入电压最小变化量为：辨的输入电压最小变化量为：412112.44 10214095D1251.2221VmVsSTARTSTART为为A/DA/D转换启动信号（输入，高电平有效）；转换启动信号（输入，高电平有效）；EOCEOC为为A/DA/D转转换结束信号（输出，转换期间该端一直为低电平，当换结束信号（输出，转换期间该端一直为低电平，当A/DA/D转换转换结束时，输出一个高电平）。结束时，输出一个高电平）。 OEOE为数据输出允许信号（输入，高电平有效），当为数据输出允许信号（输入，高电平有效），当A/DA/D

27、转换结转换结束时，向该端输入一个高电平，才能打开输出三态门，输出数束时，向该端输入一个高电平，才能打开输出三态门，输出数字量。字量。VREF(+)、VREF()为基准电压引脚，基准电压的取值为基准电压引脚，基准电压的取值范围为范围为-10+10VDC，可视实际情况选择。，可视实际情况选择。 A/D转换器的输入电压转换器的输入电压Vin，位数，位数n，参考电压，参考电压VREF(+)、VREF(-)的关系为：的关系为： ADC0809为为8位位A/D转换器，故转换器，故n=8。 单极性输入时，若单极性输入时，若VREF(+)5V，VREF(-)0V，Vin1.5V，则，则D(1.5-0)/(5-

28、0)25676.8774DH。 双极性输入时，若双极性输入时，若VREF(+)+5V，VREF(-)-5V，Vin-1.5V，则，则D(-1.5+5)/(5+5)25689.6905AH。 ( )2( )( )ninREFREFREFVVDVV maxumaxmin21nuumaxminlg/1 /lg2nuuminu假设映射为线性关系，于是由假设映射为线性关系，于是由()Yf X得到：得到：0000()mmBBYXABAA由由 得到得到( )Cg Y0000()mmCCCYBCBB00B 若若 ，于是得到，于是得到0000() ()mmAACCXACC0000()mmCCCXACAA由上式得

29、到由上式得到式中式中C C 为计算机已知的数字量，计算出来的为计算机已知的数字量，计算出来的X X 就是就是被检测的工程量。被检测的工程量。 以以PLC S7-200和和05V标准输入信号为例。经标准输入信号为例。经A/D转换转换器转换后，得到的数值是器转换后，得到的数值是640032000,C0=6400，Cm=32000，于是有，于是有 若温度传感器检测的温度范围为若温度传感器检测的温度范围为-1060，用上述的，用上述的方程可表达为方程可表达为 当计算机的当计算机的A/D转换数据，即采样数据为转换数据，即采样数据为C=16000时，时，得到得到X=16.25，意味着此时温度值为，意味着此

30、时温度值为16.25。 00() (6400)320006400mAACXA70(6400)1025600CX 例如：例如： 一个一个D/A转换器，某二进制数码的理论输出为转换器，某二进制数码的理论输出为2.5V，实际输出值为实际输出值为2.45V，则该，则该D/A转换器的精度为转换器的精度为2%。 若已知若已知D/A转换器的精度为转换器的精度为0.1%，则理论输出为，则理论输出为2.5V时，其实际输出值可在时，其实际输出值可在2.50252.4975V之间变化之间变化。 s运算放大器运算放大器A1在电路中起反相比例求和作用，可以实现在电路中起反相比例求和作用，可以实现 D/A的单极性输出。此

31、时，的单极性输出。此时，VOUT1、VREF、 D7D0(D)的关系为：的关系为：1/2nOUTREFVVD 上式说明，对于上式说明，对于DAC0832（n=8），若取），若取VREF =5V，当，当D7D0=00H（0）时，）时，VOUT1=0V。当当D7D0=FFH（255）时，）时，VOUT1= -5V；当；当D7D0=7FH（127）时，）时，VOUT1= -2.5V。33211121()(1)22OUTREFOUTREFnRRDVVVVRR 上式说明，对于上式说明，对于DAC0832（n=8），若取），若取VREF =5V，当，当D7D0=00H（0）时，）时，VOUT2= -2.5

32、V；当；当D7D0=FFH（255）时，时，VOUT2=2.5V；当；当D7D0=7FH（127）时，）时，VOUT2=0V。maxlg/1 /lg2Rnuumax21Rnuu所以所以假设各环节的变换皆为线性变换关系，因此上述过程恰是假设各环节的变换皆为线性变换关系，因此上述过程恰是A/D变换过程中信号变换的逆过程，因此变换过程中信号变换的逆过程，因此A/D变换过程的变换过程的标度变换公式仍然适用，即标度变换公式仍然适用，即0000()mmCCCXACAA上式中，上式中，X为计算机内部计算得到的物理量，即执行为计算机内部计算得到的物理量，即执行机构输出的物理量，范围为机构输出的物理量，范围为A

33、0Am；C为与为与X对应的数对应的数字量，即字量，即D/A变换前的数字量，范围为变换前的数字量，范围为C0Cm。 stF sL f tf t edt*0( )() ()kftf kTtkT*0 ( )( )( )()kkZ f tZ ftF zf kT zsTze( )f t*( )ft( )f t *0skTkFsf kT e*0 ( )( )( )()kkZ f tZ ftF zf kT z)(zF( )f t)(zF( )f t*0( )() ()kftf kTtkT 任何采样时刻为零值的函数 与 相加，得曲线 ，将不改变 的采样值，因而它们的z变换相同。由此可见，采样函数 与 是一一对

34、应关系， 与 是一一对应的，而 与 不是一一对应关系，一个 可有无穷多个 与之对应。 0 0T T3 3T T5 5T T( )( )tf t( ) t*()f t( )f t*()f tt( ) t( )f t( )( )f tt*( )ft*( )ft( )F z( )F s( )f t( )F z( )f t( )F z( )f t*( )ft *00.kftf kTtkTftf TtTf kTtkT 012( )()0 12.kkkF zf kT zff T zfT zf kT z ()1()1,0,1,2,.f kTkTk0120( )()111. 1.kkkF zf kT zzzz

35、z1z112( ).kz F zzzz1( )( )1F zz F z11( )11zF zzz 1221.aTaTkaTkF zezezez 1aTez 1122.aTaTaTkaTkez F zezezez 111zezFaT 111aTaTzF zezzeate)()()(sNsMsFniiiasAsF1)()(sM)(sN)(sF( )f t()( )|iiisaAsa F s11iiaTAez)()(assasFassassasF11)()(1111( )1ztsz 拉氏反变换变换1111zataTesaez 拉氏反变换变换1111111(1)( )11(1)(1)aTaTaTezF

36、 zzezzez23( )(2) (1)sF sss( )F s2( )(2)21ABCF ssss2223(2)1(2) (1)ssAsss2223(2)(2) (1)sdsBsdsss22(1) (3)2(1)ssss213(1)2(2) (1)ssCsss2122( )(2)21F ssss2121 221122( )(1)11TTTTTezF zezezez212121(2)22(1)1TTTTezezez2222(2)22()TTTTezzzzeze 求拉氏变换式求拉氏变换式 的的 变换的含义是，将拉氏变换式所变换的含义是，将拉氏变换式所代表的连续函数代表的连续函数 进行采样，然后求

37、它的进行采样，然后求它的 变换。为变换。为此，首先应通过拉氏反变换求得连续函数此，首先应通过拉氏反变换求得连续函数 ，然后对，然后对它的采样序列做它的采样序列做 变换。变换。 *( )( )( )( )( )F sf tftFsF z( )F s( )F z1lnszT*( )Fs( )F z1lnszT)(sFz)(tfz)(tfz( )f t( )f t1( )Re( )imis TizF zs F szeRe( )() ( )iiiisTsTs szzs F sss F szeze111Re( )()( )(1)!iinniisTnsTs szdzs F sssF szendsze) 3

38、)(1(1)(sssF2, 3, 121mss11( )(1)(1)(3)ssTzF zsssze31(3)(1)(3)ssTzsssze32 ()( 2)()TTzzz zeze33()2()()TTTTz eezeze21( )()F ssa1,2,2sa n 22211( )()2 1 !()()aTsTaTsadzTzeF zsadssazeze 11( )( )Z f tF z22( )( )Z f tF zab12( )( )( )f taf tbf t12( )( )( )F zaF zbF z 右位移右位移 函数函数 表示，表示， 相对时间起点延迟相对时间起点延迟了了 个采样周

39、期。该定理还表明个采样周期。该定理还表明 经过一个经过一个 的的纯滞后环节，相当于其时间特性向后移动纯滞后环节，相当于其时间特性向后移动 步。步。 1()nnnjjZf tnTzF zzf jT z0,( )0tf t()( )nZ f tnTz F znT)(nTtf)(nkfn)(zFnzn10()( )()nnnjjZ f tnTz F zzf jT z(0 )( )(1)0fTf TfnT()( )nZ f tnTz F z 左位移左位移 函数函数 表示，表示， 相对时间起点超相对时间起点超前前 个采样周期出现。该定理还表明个采样周期出现。该定理还表明 经过一个经过一个 的纯超前环节，

40、相当于其时间特性向前移动的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动 步。步。 10()( )()nnnjjZ f tnTz F zzf jT z(0 )( )(1)0fTf TfnT()( )nZ f tnTz F znT)(nTtf)(nkfn)(zFnzn( )f t( )F zlim( )zF z(0)lim( )zfF z( )f t( )F z1(1) ( )zF z1111lim( )lim()lim(1) ( )(1) lim( )lim(1) ( )tkzzzf tf kTzF zzF zzF zz0( )kjfj0( )( )(0,1,2,.)kjg kfj k1( )( )(

41、)( )11F zzG zZ g kF zzz( )f t( )F z( )( )dF zZ tf tTzdz ( )f t( )F z( )f t( )F z0( )( )( )limztf tF zf tZdztTzt()( )aTatF zeZ ef t0t ( )( )0f kg k0t ( )( )f kg k00( )( )() ( )() ( )kiif kg kf ki g if ki g i00( )( )() ( )() ( )kiif kg kg ki f ig ki f i( )( )( ) ( )Z f kg kF z G z( )F z*( )ft1* ( )( )

42、ZF zft111111()( )mmmmnnnnK zb zbzbF zmnza zaza( )F zkz120( )()(0)(1 )(2 )()kkkF zf kT zffT zfT zf kT z*( )(0)(1 ) ()(2 ) (2 ) () ()ftffTtTfTtTf kTtkT25( )32zF zzzkz( )F z1125( )1 32zF zzz123121123232343434545515351 325515101510154530353035105707570zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz123( )51535F zzzz*( )5 ()15 (2

43、)35 (3 )fttTtTtT ( )F z10111( )( )( )mmmnnnb zb zbM zF zN zza za( )F z12( )()()()nN zzzzzzz1212( )nnA zA zA zF zzzzzzz( )()iiiz zF zAzzz1(), 0, 1,2,kiiiiiAzf kTZAzkinzz1212( )nnAAAF zzzzzzzz例例2.13 求求 的的 z 反变换反变换 0.5( )(1)(0.5)zF zzz解：解：将将 除以除以z，并展开成部分分式，得，并展开成部分分式，得 ( )F z( )1110.5F zzzz上式两边乘以上式两边乘以

44、z，得，得 1111( )10.511 0.5zzF zzzzz()1 (0.5) 0,1,2,kf kTk 于是得到于是得到 *00( )() ()1 (0.5) ()kkkftf kTtkTtkT( )F z1z34,nz zz( )/F zz3122113( )()nnAAAAF zzzzzzzzzz3122113( )()nnA zA zA zA zF zzzzzzzzz121()A zzz1111(), 0kf kTAkzk11112 13() ( ), 0nkkkiiif kTZF zAkzA zAzk32( )452zF zzzz( )F z2( )(1) (2)zF zzz(

45、)/F zz312122( )1( )(1) (2)(1)12AAAF zF zzzzzzz2111(1)( )|1zAzF z 2211(1)( )1zdAzF zdz 312(2)( )|1zAzF z2( )(1)12zzzF zzzz1() ( )1221, 0kkf kTZF zkkk *0( )(21) ()kkftktkT *( )ft1( )kF z z11()Re ( )imkz zif kTs F z z11Re ( )() ( )iikkz ziz zs F z zzz F z z11111Re ( )()( )(1)!iinknkz ziz znds F z zzzF

46、z zndz25( )32zF zzz( )F z12z 21z 2m 12zz1111112Re ( )() ( )5 (2)5 2(2)(1)kkz zz zkkzs F z zzz F z zzzzzz 21zz21115Re ( )(1)5 15(2)(1)kkkz zzzs F z zzzzz 211()Re ( )5 255(21)ikkkz zif kTs F z z *0( )5(21) ()kkfttkT( )F z12zz2(2)(1)zzz12z 2,31z2m 2n 11122Re ( )(2)2(2)(1)kkkz zzzs F z zzzzz2,31zz2,3121

47、2112111Re ( )(1)2 1 !(2)(1)(2)(2)(2)1kkz zzkkkzzdzs F z zzzdzzzdzkzzzdzzzk ()21kf kTk*0( )(21) ()kkftktkT11()Re ( )imkz zif kTs F z z1( )F z z1( )kF z z 当时，当时， ，含有，含有3个简单极点：个简单极点： ， ， 。但是，当但是，当 时，时， 只有只有2个极个极点点 ， 。因此必须分别求。因此必须分别求 以及以及 （ ）。）。 10( )(1)(2)F zzz1110( )(1)(2)kkzF z zzz0k 10z 21z 32z 1k 1

48、110( )(1)(2)kkzF z zzz11z 22z (0)f()f kT1k 311231(0)Re ( )ikz zifs F z zKKK111010Re( )5(1)(2)kz zzKs F z zzz zz212110Re( )(1)10(1)(2)kz zzKs F z zzz zz 313210Re( )(2)5(1)(2)kz zzKs F z zzz zz123(0)5 1050fKKK1k ()f kT21121()Re ( )ikz zif kTs F z zKK1111110Re( )(1)10(1)(2)kkz zzzKs F z zzzz 21112210Re

49、( )(2)10 2(1)(2)kkkz zzzKs F z zzzz1112()1010 210(21) 1,2,kkf kTKKk 10, 0()10(21), 1kkf kTk*11( )10(21) ()kkfttkTT)(Ttf) 1()(TtfZ1m( ,)( )() 01mF z mZf tZ f tT，)(tf)(tf) 1(TmZ)(mzF，)(tf( ,)( )() 01mF z mZf tZ f tT，110( ,)( )()()kmkF z mZf tz Z f kTmTzf kTmT z1m)(sF()1( ,)( )( ) ( )( )TsmTsTT smTsF z mZF sZ F s eZ F s ez Z F s e(2.90)0 10 0)(tttf，