《算术平均数与几何平均数》

1、算术平均数与几何平均数一、复习旧知，以旧悟新：一、复习旧知，以旧悟新：一、复习旧知，以旧悟新：一、复习旧知，以旧悟新：1. 对称性对称性:abba 2. 传递性传递性: ,ab bcac 3. 加法性质及其推论加法性质及其推论:a ba c b c ,a bc da c c d 4. 乘法性质乘法性质:,0,0ab ca cb cab ca cb c0,0aba bc ddc 5. 除法性质除法性质:6. 乘方性质乘方性质:0nnabab7. 开方开方性质性质:0nnabab二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若二、

2、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abba 展开整理得：展开整理得：二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abb

3、a 展开整理得：展开整理得：( ( 何何 时时 取取 等等 号号 ？ ) )二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若. 时取等号时取等号当且仅当当且仅当ba . 222abba 展开整理得：展开整理得：( ( 何何 时时 取取 等等 号号 ？ ) )定定 理：理：) ( . 2 , 22”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：1. 定理适用范围：定理适用范围：a, bR.2. 取取 “=” 的条件的条件 a = b.) ( . 2 , 22”时取“时取

4、“当且仅当当且仅当那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：注意注意: :思思 考：考： 由定理猜测：若由定理猜测：若a, bR+, a + b会具备什么性质呢？会具备什么性质呢？思思 考：考： 由定理猜测：若由定理猜测：若a, bR+, a + b会具备什么性质呢？会具备什么性质呢？. 2, abbaRba 猜测：若猜测：若思思 考：考：定定 理：理：) ( . 2 , ”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么是正数是正数如果如果 baabbaba定定 理：理：1. 这个定理适用的范围：这个定理适用的范围：a , bR+ .) ( . 2 , ”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么是正

5、数是正数如果如果 baabbaba定定 理：理：注意注意: :. ., ,2 . 2们的几何平均数们的几何平均数小于它小于它个正数的算术平均数不个正数的算术平均数不两两这个定理可以表述为：这个定理可以表述为：的几何平均数的几何平均数为为的算术平均数，的算术平均数，为为称称baabbaba 的几何解释：的几何解释： 2abba . 2,2abCDbaabCDabCBCACDABDDCCABba 而半径而半径从而从而则则作弦作弦，过，过取一点取一点上上为直径作圆，在直径为直径作圆，在直径以以的几何解释：的几何解释： 2abba DBDACba三、理解定理，初步应用：三、理解定理，初步应用：2221. , , .a b cabcabbcca例已 知为 两 两不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：222abab证 明 ：222bcbc222acac222abcabbcac将以上三个同向不等式相加得：22222abab例2：求证：222abab证明：22222()2ababab2222()()abab两边同时除以两边同时除以4得：得：22222abab作业：作业：1已知a、b