椭圆的定义与标准方程学习教案

1、椭圆的定义与标准椭圆的定义与标准(biozhn)方程方程第一页，共36页。第1页/共36页第二页，共36页。第2页/共36页第三页，共36页。第3页/共36页第四页，共36页。引例(yn l)： 若取一条长度一定(ydng)且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？圆的定义：平面内到定点的距离(jl)等于定长的点的轨迹是圆222)()(rbyax第4页/共36页第五页，共36页。探究(tnji)：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖

2、处，并用笔尖(bjin)拉紧绳子，再移动笔尖拉紧绳子，再移动笔尖(bjin)一周，一周，这时笔尖这时笔尖(bjin)画出的轨迹是什么图形呢？画出的轨迹是什么图形呢？思考：如何定义(dngy)椭圆？F1F2xy0p第5页/共36页第六页，共36页。 如何如何(rh)定义椭圆定义椭圆?圆的定义: 平面上到定点的距离等于(dngy)定长 的点的集合叫圆.椭圆的定义(dngy): 平面上到两个定点F1, F2的距离之和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.第6页/共36页第七页，共36页。1、椭圆(tuyun)的定义：1F2FM 平面内到两个定点平面内到两个定点F1、F2的的距离之和等于

3、距离之和等于(dngy)常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆。椭圆。 这两个定点叫做椭圆这两个定点叫做椭圆(tuyun)的焦点，两焦点的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆间的距离叫做椭圆(tuyun)的焦距。的焦距。cFF221为椭圆时,022 ca2 2a aMMF FMMF F2 21 133常数要常数要大于大于焦距焦距 22动点动点 M M 与两个定点与两个定点F F1 1和和F F2 2的距离的和是的距离的和是常数常数 11平面内平面内-这是大前提这是大前提第7页/共36页第八页，共36页。 1. 改变两图钉改变两图钉(tdng)之间的距离，使之间的距离，使其

4、与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉绳长能小于两图钉(tdng)之间的距离之间的距离吗？吗？ 第8页/共36页第九页，共36页。 1. 改变两图钉改变两图钉(tdng)之间的距离，之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？圆吗？2绳长能小于两图钉绳长能小于两图钉(tdng)之间的距离之间的距离吗？吗？ 第9页/共36页第十页，共36页。回忆圆标准方程推导(tudo)步骤 求动点轨迹方程的一般求动点轨迹方程的一般(ybn)步骤：步骤：1、建立适当、建立适当(shdng)的坐标系，用有序实数的坐标系，用有序

5、实数对对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;2、写出适合条件、写出适合条件 P（M） ;3、用坐标表示条件、用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。、化方程为最简形式。结论结论：若把绳长记为：若把绳长记为2a，两定点，两定点间的距离记为间的距离记为2c(c0).（1）当）当2a2c时，轨迹是时，轨迹是 ；（2）当）当2a=2c时，轨迹时，轨迹 是是 ； （3）当）当2a0)，则F1、F2的坐标(zubio)分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题（问题(wnt)：下面怎样化简？）：下面

6、怎样化简？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制由椭圆的定义得，限制(xinzh)条条件：件：由于由于得方程得方程第12页/共36页第十三页，共36页。222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆由椭圆(tuyun)定义可知定义可知整理整理(zhngl)得得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边两边(ling

7、bin)再平方，得再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程第13页/共36页第十四页，共36页。刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导(tudo)焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题（问题(wnt)：下面怎样化简？）：下面怎样化简？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制由椭圆的定义得，限制(xinzh)条条件：件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在).0(12222babyax第14页/共36页第十五页，共36页。OXYF1F2

8、M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆椭圆(tuyun)的标准方程的的标准方程的特点：特点：（1）椭圆(tuyun)标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数(cnsh)a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。第15页/共36页第十六页，共36页。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个分母哪个(n ge)大，焦点就在哪个大，

9、焦点就在哪个(n ge)轴上轴上222=+abc平面平面(pngmin)内到两个定点内到两个定点F1，F2的距离的的距离的和等和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关的关系系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识再认识(rn shi)！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO第16页/共36页第十七页，共36页。三、例题三、例题(lt)(lt)分析分析543(-3,0)、(3,0)6x例例1. .已知椭圆方程为已知

10、椭圆方程为 ,则则(1)a= , b= , c= ; (2)焦点在焦点在 轴上轴上,其焦点坐标为其焦点坐标为 , 焦距为焦距为 。 (3)(3)若椭圆方程为若椭圆方程为 , , 其焦点坐标为其焦点坐标为 . . 2212516xy1251622 yx(0,3)、(0,-3)第17页/共36页第十八页，共36页。例例2.求下列求下列(xili)椭圆的焦点坐标，以及椭圆上椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。每一点到两焦点距离的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434) 3(22 yx解：椭圆解：椭圆(tuyun)方程具有形方程具有形式式12222byax其其中中(qzh

11、ng)1, 2ba因此因此31422bac两焦点坐标两焦点坐标为为)0 , 3(),0 , 3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42 a第18页/共36页第十九页，共36页。例例1椭圆椭圆(tuyun)的两个焦点的坐标分别是（的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆），椭圆(tuyun)上一点上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆求椭圆(tuyun)的标准方程。的标准方程。 1 12 2yoFFMx.解：解： 椭圆椭圆(tuyun)的焦点在的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4

12、 b2=a2c2=5242=9所求椭圆所求椭圆(tuyun)的标准方程为的标准方程为 ) 0( 12222babyax192522yx第19页/共36页第二十页，共36页。求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程（1）首先）首先(shuxin)要判断类要判断类型，型，（2）用待定系数法求）用待定系数法求ba,椭圆椭圆(tuyun)的的定义定义a2=b2+c2第20页/共36页第二十一页，共36页。例例2 2. .已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且经经过过点点（， - -），求求它它的的标标准准方方程程. .2 22

13、 22 22 22 22 2解解 : :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方程程为为x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由椭椭圆圆的的定定义义知知5 53 35 53 32 2a a = =+ +2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因为为c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = =

14、 6 6. .22222222因因此此，所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为xyxy+=1.+=1.106106求椭圆标准方程求椭圆标准方程(fngchng)(fngchng)的解题步骤：的解题步骤：（1）确定）确定(qudng)焦点的位置；焦点的位置；（2）设出椭圆的标准）设出椭圆的标准(biozhn)方程；方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.第21页/共36页第二十二页，共36页。1 111 11变变式式引引申申：求求焦焦点点在在y y轴轴上上，且且经经过过点点A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的3 323

15、32椭椭圆圆的的标标准准方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 设设 所所 求求 椭椭 圆圆 的的 方方 程程 为为+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1将将 A A ( (, ,) ) , , B B ( ( 0 0 , , - -) ) 代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 椭椭 圆圆 的

16、的 标标 准准 方方 程程 为为+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考？思考(sko)一个问题一个问题:把把“焦点在焦点在y轴轴上上”这句话去掉，怎么办？这句话去掉，怎么办？第22页/共36页第二十三页，共36页。2222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnm,nm,n满满足足什什么么条条件件，并并指指出出焦焦点点坐坐标标. .2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnmn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为( m-n

17、,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0).第23页/共36页第二十四页，共36页。2 22 2变变式式引引申申: :若若焦焦点点在在y y轴轴上上；如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示椭椭圆圆，mm, ,n n应应满满足足什什么么条条件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n,当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0，表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. .22

18、22xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆，则则mnmnnm0,nm0,且且c =n-m,c =n-m,所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xyxy(2)(2)若若+=1+=1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn第24页/共36页第二十五页，共36页。3 5(, )( 3, 5)2 2与221(0,0,)xymnmnmn1)5()3(1)25()23(2222nmnm10, 6nm221610 xy解：设椭圆(tuyun)的标准方程则

19、有 ，解得 所以，所求椭圆的标准(biozhn)方程为第25页/共36页第二十六页，共36页。2222分分析析：点点P P在在圆圆x +y =4x +y =4上上运运动动, ,点点P P的的运运动动引引起起点点MM的的运运动动. .我我们们可可以以由由MM为为线线段段PDPD的的中中点点得得到到点点MM与与点点P P坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点P P的的坐坐标标满满足足圆圆的的方方程程得得到到点点MM的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圆圆x x + +y y = =4 4上上任任取取一一个个点点P P，过过点点P P作作x x轴轴的

20、的垂垂线线P PD D，D D为为垂垂足足. .当当点点P P在在圆圆上上运运动动时时，线线段段P PD D的的中中点点M M的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 设设点点的的坐坐标标为为( (x x, ,y y) ), ,点点的的坐坐标标为为( (x x , ,y y ) ), ,则则y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因为为点点( (x x , ,y y ) )在在圆圆x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x +

21、+ y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以点点的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .第26页/共36页第二十七页，共36页。.2222变变式式引引申申：已已知知圆圆x +y = 9,x +y = 9,从从这这个个圆圆上上任任意意一一点点P P向向x x轴轴作作垂垂线线PPPP ，点点M M在在PPPP 上上, ,并并且且PM = 2MP ,PM = 2MP , 求求点点M M的的轨轨迹迹00000 00000000

22、0000 000002222000022222 22 2解解：设设点点MM的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点P P的的坐坐标标为为(x ,y )(x ,y )，则则点点P P 的的坐坐标标为为(x ,0).(x ,0).由由PM=2MPPM=2MP得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.P(x ,y )P(x ,y )在在圆圆x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +

23、9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,点点MM的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. .9 9第27页/共36页第二十八页，共36页。211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 52. 、 是定点，且，动点 满足， 则点 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段3.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为，则 到另一焦点的距离为（ ） (A) (B)37 (C)5 (D)变式题组一变式题组一第28页/共36页第二十九页

24、，共36页。2149xkyykxymmxyFF+=2222212 1.如果方程+=1表示焦点在 轴上的椭圆， 那么实数 的取值范围是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1） 2.椭圆+=1的焦距是2，则实数 的值是（ ）4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 3.已知 、是椭圆的251 FABABFD2两个焦点，过的直线与椭圆交于 、 两点，则的 周长为（ ） (A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28变式题组二变式题组二第29页/共36页第三十页，共36页。1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332

25、222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx第30页/共36页第三十一页，共36页。2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果椭椭圆圆+ += =1 1上上一一点点P P到到焦焦点点F F的的距距离离等等于于6 6，那那么么点点P P到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦点点F F的的距距离离是是（）. .2 22 2x xy y2 2. .椭椭圆圆+ += =1 1的的焦焦点点坐坐标标是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5A A. .( ( 7 7, ,0 0) )B B. .( (0

26、 0, , 7 7) )C C. .( (7 7, ,0 0) )DD. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .两两个个焦焦点点的的坐坐标标是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且经经过过点点P P( (, ,- -) )的的椭椭圆圆方方程程2 22 2是是( () ). .x xy yy yx xA A. .+ += =1 1B B. .+ += =1 11 10 06 61 10 06 6x xy yy yx xC C. .+ += =1 1DD. .+ += =1 19 96 69 96 6巩固巩固(gngg)练练习习14DD第31页/共36页第三十二页，共36页。2 22 2x xy y4 4. .椭椭圆圆+ += = 1 1的的焦焦距距是是2 2( () ). .mm4 4A A. .5 5A A. .5 5或或8 8C C. .3 3或或5 5D D. .2 20 02 22 22 21 11 11 1x xy y5 5. .已已知知经经过过椭椭圆圆+ += = 1 1的的右右焦焦点点F