图形变换的矩阵方法ppt课件

1、1第四章第四章 图形变换的矩阵方法图形变换的矩阵方法 1 概述概述 2 二维图形变换二维图形变换 3 三维图形变换三维图形变换 本章小结本章小结2mnmmnnxxxxxxxxx212222111211该向量集合实践上就是一个矩阵。该向量集合实践上就是一个矩阵。 假设这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说，假设这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说，我们可以用矩阵来描画表示空间中的图形。我们可以用矩阵来描画表示空间中的图形。1 1 概述概述一、空间图形的矩阵表示一、空间图形的矩阵表示 假设用一个行向量假设用一个行向量 x1 x2 xn 表示表示n维空间中一维空间中一个点坐标，那么个点坐标，那么n

2、维空间中维空间中m个点坐标就可以表示为一个个点坐标就可以表示为一个向量集合：向量集合： 3 对于二维空间，用对于二维空间，用表示图形表示图形( 其中其中xi yi是顶点坐标。是顶点坐标。nnyxyxyx2211 例：如下图的例：如下图的ABC，用矩阵表示为，用矩阵表示为 133311CBA C(3,1)A (1,1)B (3,3)二、图形变换二、图形变换 是指对图形进展平移、旋转、缩放、投影透视等是指对图形进展平移、旋转、缩放、投影透视等变换。变换。 图形变换的本质是改动图形的各个顶点的坐标。图形变换的本质是改动图形的各个顶点的坐标。4 因此，图形变换可以经过对表示图形坐标的矩阵进因此，图形变

3、换可以经过对表示图形坐标的矩阵进展运算来实现，称为矩阵变换法。展运算来实现，称为矩阵变换法。 矩阵变换法的普通方式：矩阵变换法的普通方式：坐标矩阵坐标矩阵图形顶点图形顶点原来的原来的 矩阵矩阵变换变换= 坐坐标标矩矩阵阵图图形形顶顶点点变变换换后后的的 本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三维图形的各种变换。维图形的各种变换。52 2 二维图形变换二维图形变换 分为两类：二维根本变换，二维组合变换。分为两类：二维根本变换，二维组合变换。 二维根本变换：比例变换缩放、对称变换、错切二维根本变换：比例变换缩放、对称变换、错切变换、旋转变换、平移

4、变换。变换、旋转变换、平移变换。 二维组合变换：由多种根本变换组合而成的变换。二维组合变换：由多种根本变换组合而成的变换。一、二维根本变换一、二维根本变换 矩阵变换法的方式为：矩阵变换法的方式为：22211nnnyxyxyx 22dcba= 22211nnnyxyxyx6 经过对变换矩阵经过对变换矩阵 T 中各元素的不同取值，可以实现中各元素的不同取值，可以实现各种不同的二维根本变换。各种不同的二维根本变换。比例变换缩放变换比例变换缩放变换 变换矩阵：变换矩阵： daT00 设二维平面的一个点坐标为设二维平面的一个点坐标为x y，对其进展矩阵变，对其进展矩阵变换：换：dybxcyaxdcbay

5、xdybxycyaxx变换后该点的坐标为：变换后该点的坐标为：7dyaxdayx00dyyaxx即即比例变换缩放变换比例变换缩放变换其中，其中，a为为x方向的缩放因子，方向的缩放因子，d为为y方向的缩放因子。方向的缩放因子。 根据根据a、d取值的不同，分为几种情况：取值的不同，分为几种情况： 当当a=d，图形沿，图形沿x方向和方向和y方向等比例缩放方向等比例缩放 当当a=d1，图形沿，图形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大ABC例：设例：设ABC对应的矩阵为对应的矩阵为122100CBA设设2002TCBACBA2442002002122100，对，对ABC进展变换：进展变换：ABC8bya

6、xdayx00dyyaxx即即比例变换缩放变换比例变换缩放变换 当当a=d，图形沿，图形沿x方向和方向和y方向等比例缩放方向等比例缩放 当当a=d1，图形沿，图形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 当当0a=d1，图形沿，图形沿x、y方向等比例放大方向等比例放大 当当0a=d0，沿，沿x方向错切挪动；方向错切挪动； cy0，沿，沿y方向错切挪动；方向错切挪动； bx0，沿，沿y方向错切挪动；方向错切挪动； b=0即即bx=0，不错切恒等变换。，不错切恒等变换。22错切变换可以了解为沿某个方向的挪动错切变换可以了解为沿某个方向的挪动 包括两种：沿包括两种：沿x方向错切，沿方向错切，沿y方向的错

7、切。方向的错切。 沿沿y方向错切方向错切例：设矩形例：设矩形ABCD对应的矩阵为对应的矩阵为11110101DCBA设设T中的中的b2，对矩形，对矩形ABCD进展变换：进展变换：DCBADCBA31112121102111110101DABC,101bT变变换换矩矩阵阵,bxyxbyx101bxyyxx即即ABCD23DABCABCD错切变换可以了解为沿某个方向的挪动错切变换可以了解为沿某个方向的挪动 包括两种：沿包括两种：沿x方向错切，沿方向错切，沿y方向的错切。方向的错切。 沿沿y方向错切方向错切变换特点：变换特点： 变换后点的变换后点的x坐标不变，坐标不变，y坐坐标平移了标平移了bx；

8、平行于平行于y轴的直线变换后仍平轴的直线变换后仍平行于行于y轴；轴； 平行于平行于x轴的直线变换后，轴的直线变换后，x=0的点不动的点不动(不动点不动点)，x0的点沿的点沿y方向平移了方向平移了bx，构成与，构成与x轴夹角为轴夹角为的直线，且的直线，且 tgbx / xb。,101bT变变换换矩矩阵阵,bxyxbyx101bxyyxx即即bxx24旋转变换旋转变换 二维图形的旋转，普通是指图形绕坐标原点的旋转。二维图形的旋转，普通是指图形绕坐标原点的旋转。并规定：逆时针方向旋转时角度并规定：逆时针方向旋转时角度取正值；取正值； 顺时针方向旋转时角度顺时针方向旋转时角度取负值。取负值。cossi

9、nsincosT变变换换矩矩阵阵cossinsincoscossinsincosyxyxyxcossinsincosyxyyxx留意：绕非原点的恣意一点的旋转变换属于组合变换。留意：绕非原点的恣意一点的旋转变换属于组合变换。25旋转变换旋转变换 二维图形的旋转，普通是指图形绕坐标原点的旋转。二维图形的旋转，普通是指图形绕坐标原点的旋转。并规定：逆时针方向旋转时角度并规定：逆时针方向旋转时角度取正值；取正值； 顺时针方向旋转时角度顺时针方向旋转时角度取负值。取负值。设设=3086605050866030303030.cossinsincosTcossinsincosT变变换换矩矩阵阵例：设矩形例

10、：设矩形ABCD对应的矩阵为对应的矩阵为5105120200.DCBAABCDDABC旋转变换后的矩阵为旋转变换后的矩阵为DCBA.299175029929820173210026 对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种根本变换进展小结：种根本变换进展小结： 变换矩阵的普通方式为变换矩阵的普通方式为dcbaTdaT00 比例变换比例变换 当当a=d，图形等比例缩放，图形等比例缩放 对称变换对称变换 对坐标轴的对称变换对坐标轴的对称变换 对直线的对称变换对直线的对称变换对坐标原点的对称变换对坐标原点的对称变换v 当当ad，图形畸变，图形畸变

11、1001Tx:轴轴1001Ty:轴轴0110Txy:0110Txy:1001T27 对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四对上述比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换四种根本变换进展小结：种根本变换进展小结： 变换矩阵的普通方式为变换矩阵的普通方式为dcbaT 错切变换错切变换 沿沿x方向错切方向错切 旋转变换旋转变换101cT101bTcossinsincosTv 沿沿y方向错切方向错切28 五齐次坐标表示法和平移变换五齐次坐标表示法和平移变换 1. 齐次坐标表示法齐次坐标表示法 在变换矩阵在变换矩阵 的条件下，讨论了平面图形的比例、的条件下，讨论了平面图形的比例、对称和旋转变换，为

12、何没有讨论图形的平移变换呢？缘由对称和旋转变换，为何没有讨论图形的平移变换呢？缘由是是T 不具备对图形进展平移变换的功能。不具备对图形进展平移变换的功能。 欲想实现平面图形的平移，那么图形上恣意一点的坐标，欲想实现平面图形的平移，那么图形上恣意一点的坐标，平移前后的必需满足：平移前后的必需满足：22Tmyylxx29从矩阵的乘法可知，要想得到从矩阵的乘法可知，要想得到 myylxx那么，平移变换应具有如下方式：那么，平移变换应具有如下方式：令：令： ， ，那么，那么有有1, 0bc1 damldcbayxmdybxlcyax为了得到为了得到myylxx30mylxmlyx10011 由上可知，

13、把向量由上可知，把向量x y 改写为改写为x y 1，就可进展平移，就可进展平移变换了。变换了。 在此将在此将 x y 1 称为平面坐标点称为平面坐标点x y的齐次坐标表示法。的齐次坐标表示法。普通情况下：用普通情况下：用n+1维向量表示维向量表示n维向量，第维向量，第n+1个分量取个分量取为常数齐次项的表示方法为齐次坐标表示法。为常数齐次项的表示方法为齐次坐标表示法。 规范化齐次坐标表示法：假设齐次项为规范化齐次坐标表示法：假设齐次项为1，那么为规范，那么为规范化齐次坐标表示法。化齐次坐标表示法。31 变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中l、m为平移参数。为平移参数。mlT1001 2. 2.平移

14、变换平移变换 对恣意一点x y 1，那么x y 1 =x+l y+m 留意：方式上与x y 1并不一致。 普通将变换矩阵扩展为T33，使其具备更多的功能，它的普通方式为：ml100132smlqdcpbaT33(比例、对称、错切和旋转变换比例、对称、错切和旋转变换)(透视变换透视变换)(全比例变换全比例变换)(平移变换平移变换)相应的平移矩阵：相应的平移矩阵： 101000133mlT 11010001 1mylxmlyx， 引入引入 后，不仅添加了功能，而且使变换前后的坐标后，不仅添加了功能，而且使变换前后的坐标方式一致。方式一致。33T33 假设坐标变换结果是非规范化齐次坐标表示，应将其化

15、假设坐标变换结果是非规范化齐次坐标表示，应将其化为规范齐次坐标表示。方法是一切项都除以齐次项。如：为规范齐次坐标表示。方法是一切项都除以齐次项。如： 100010001 1sysxsyxsyx由此可知，当： sss11(全比例减少全比例减少)；(全比例放大全比例放大)；(缩至原点缩至原点)。34二、二维组合变换二、二维组合变换 在图形变换中，往往需求一些比根本变换更复杂的变在图形变换中，往往需求一些比根本变换更复杂的变换。我们称由多个二维根本变换组成的复杂变换为二维组换。我们称由多个二维根本变换组成的复杂变换为二维组合变换二维根本变换的级联。合变换二维根本变换的级联。 曾经证明：任何二维组合变

16、换均可分解为多个根本变曾经证明：任何二维组合变换均可分解为多个根本变换的乘积。换的乘积。 二维组合变换矩阵二维组合变换矩阵TT1T2TmTi 是根本是根本变换矩阵，具不可交换性。由此可知，进展二维组合变变换矩阵，具不可交换性。由此可知，进展二维组合变换的关键问题是求换的关键问题是求Tm个根本变换矩阵。个根本变换矩阵。 下面经过两个例子引见组合变换：下面经过两个例子引见组合变换： 绕坐标原点以外的恣意一点绕坐标原点以外的恣意一点P(x0 y0)旋转旋转角的旋角的旋转变换转变换35 绕坐标原点以外的恣意一点绕坐标原点以外的恣意一点P(x0 y0)旋转旋转角的旋角的旋转变换转变换 可分解为：可分解为

17、：P(x0 y0)ABCDABCD 平移变换平移变换 使旋转中心使旋转中心P平移到坐平移到坐标原点。标原点。1010001001yxTP(0 0)ABCDABCD 旋转变换旋转变换 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转角。角。100002cossinsincosT36 绕坐标原点以外的恣意一点绕坐标原点以外的恣意一点P(x0 y0)旋转旋转角的旋角的旋转变换转变换 可分解为：可分解为：P(x0 y0)ABCD 平移变换平移变换 使旋转中心使旋转中心P回到原来回到原来的位置。的位置。1010001003yxTP(0 0)ABCD 组合变换矩阵组合变换矩阵TT1 T2 T3ABCDP(x0 y0)1110

18、00000)cos(sinsin)cos(cossinsincosyxyxT37 2. 对恣意直线的对称变换对恣意直线的对称变换 设直线方程为：设直线方程为：AxByC0 (A0，B0)，直线在，直线在x轴上的截距为轴上的截距为C / A，在，在y轴上的截距为轴上的截距为C / B , 直线与直线与x轴的夹角轴的夹角= arctg( A / B) 。 可分解为：可分解为： 平移变换平移变换 沿沿x轴方向平移轴方向平移 C / A，使直，使直线经过坐标原点。线经过坐标原点。ABCoxyABCC / BC / A100100011ACT/38 旋转变换旋转变换 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转-角，使

19、直线与角，使直线与x轴重合。轴重合。100002)cos()sin()sin()cos(T 对对x轴进展对称变换轴进展对称变换1000100013T 旋转变换旋转变换 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转+角。角。 100004cossinsincosT39 平移变换平移变换 沿沿x方向平移方向平移C / A，使直线回到原位置。，使直线回到原位置。100100015ACT/ 因此，对恣意直线的对称变换矩阵因此，对恣意直线的对称变换矩阵TT1 T2 T3 T4 T5，即：，即：12sin) 12(cos02cos2sin02sin2cosACACT40 二维组合变换二维组合变换 1. 绕坐标原点以外的恣

20、意一点的旋转变换。绕坐标原点以外的恣意一点的旋转变换。 2. 对恣意直线的对称变换。对恣意直线的对称变换。留意：留意： 1. 二维组合变换可分解为多个二维根本变换，组合变二维组合变换可分解为多个二维根本变换，组合变换矩阵是根本变换矩阵的乘积；换矩阵是根本变换矩阵的乘积； 2. 分解时，运用的根本变换类型及其组合顺序并不独分解时，运用的根本变换类型及其组合顺序并不独一。一。41snmlrjihqfedpcbaT443 3 三维图形变换三维图形变换 三维图形变换是二维图形变换在三维空间中的扩展，三维图形变换是二维图形变换在三维空间中的扩展，因此，它和二维图形变换类似。因此，它和二维图形变换类似。

21、仿照二维图形变换，用四维齐次坐标仿照二维图形变换，用四维齐次坐标x y z 1表示三表示三维空间的点维空间的点x y z，其变换方式为：，其变换方式为：三 维 根 本 变 换三 维 根 本 变 换比例、对称、比例、对称、错切、旋转错切、旋转透视变换透视变换平移变换平移变换全比例变换全比例变换1144zyxTzyx42一、三维根本变换一、三维根本变换 1. 比例变换比例变换100000000000044jeaT1144jzeyaxTzyx 当当 a=e=j1，各向等比例缩放，各向等比例缩放 a=e=j=1，恒等变换，恒等变换aej，各向缩放比例不同，产生形变，各向缩放比例不同，产生形变(畸变畸变

22、)0s1，全比例减少，全比例减少;s0。 1-2 对对yoz平面投影平面投影xyz1-2 对对yoz平面投影平面投影最终最终图形图形旋转平移前旋转平移前xyz65zzylyx0因此侧视投影的变换矩阵为：因此侧视投影的变换矩阵为：10001000001000010001000010000110000100000100101000010000100000llT侧侧视视yoz投影变换投影变换绕绕z旋转旋转90o沿沿x平移变换平移变换11zyxTzyx侧侧视视66 ， 俯视投影俯视投影 视点位于物体的正上方，视点位于物体的正上方， 向向xoy坐标平面进展投影。坐标平面进展投影。各点的各点的z坐标变为坐

23、标变为0 ， x、y坐标不变。坐标不变。 思索绘图时的一致性，思索绘图时的一致性，将图形绘在同一个坐标平面将图形绘在同一个坐标平面上，作如下处置：上，作如下处置：1-3对对xoy平面投影平面投影xyz 将将xoy平面上的俯视图绕平面上的俯视图绕x轴旋转轴旋转-90度。度。 为了与为了与xoz平面上已有的图形坚持一定的间距，再平面上已有的图形坚持一定的间距，再沿沿z轴平移轴平移-nn0。67nyzyxx010000000100000110001000010000110000010010000011000000000100001nnT俯视俯视xoy投影变换投影变换绕绕x旋转旋转-90o沿沿z平移变

24、换平移变换因此俯视投影的变换矩阵为：因此俯视投影的变换矩阵为：11zyxTzyx侧侧视视68投投影影平行投影平行投影透视投影透视投影一点透视一点透视两点透视两点透视三点透视三点透视斜平行投影斜平行投影斜轴侧斜轴侧斜二轴侧斜二轴侧斜等轴侧斜等轴侧正平行投影正平行投影正轴侧投影正轴侧投影正投影正投影(正视、侧视、俯视正视、侧视、俯视)正三轴侧正三轴侧正等轴侧正等轴侧正二轴侧正二轴侧69 2. 轴测投影变换轴测投影变换 使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上使正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上称为轴侧投影。称为轴侧投影。 包括正轴侧投影和斜轴侧投影两种方式。包括正轴侧投影和斜轴侧投

25、影两种方式。 正轴测投影变换正轴测投影变换 该变换是使物体先绕该变换是使物体先绕 z 轴旋转轴旋转角，再绕角，再绕x轴旋转轴旋转- (0 )角，最后向角，最后向xoz平面投影。因此，其变换矩阵为三个平面投影。因此，其变换矩阵为三个根本变换矩阵的乘积：根本变换矩阵的乘积：1000010000000001100000000001100001000000cossinsincoscossinsincos正正T绕绕z轴旋转轴旋转绕绕x轴旋转轴旋转向向xoz面投影面投影7010000000000cossincossinsinsincos正正T 例：设例：设 、 ，对单位立方体进展正轴测投影，对单位立方体进

26、展正轴测投影变换。变换。o60o3011111011110110011110101011001000HGFEDCBAS单位正方体各单位正方体各顶点齐次坐标顶点齐次坐标矩阵：矩阵：xyzABCDEFGH711000086600002500866004330050.正正THGFEDCBA.118300366016830036601433005014330050161600866012500866018660001000SxyABCDEFGHzA单位立方体正轴测投影单位立方体正轴测投影xBzCDGEFH72xyABCDEFGHzA单位立方体正轴测投影单位立方体正轴测投影xBzCDGEFH 轴侧投影的

27、图形会产生形变，轴侧投影的图形会产生形变，形变程度用变形系数衡量。形变程度用变形系数衡量。 各轴的轴向变形系数如下：各轴的轴向变形系数如下：222sinsincosAEEAx222sincossinACCAycosABBAz 根据轴向变形系数之间的关系，根据轴向变形系数之间的关系，轴侧投影可分为等轴侧、二轴侧等轴侧投影可分为等轴侧、二轴侧等投影方式。投影方式。73222sinsincosx222sincossinycosz 正等轴测投影：正等轴测投影： 由由x=y=z 可求得可求得= 45o、= 35o16，代入正轴，代入正轴测投影变换矩阵测投影变换矩阵 T正，得：正，得：当当x=y=z 时时

28、1000081600004080070700408007070.正等正等TxyABCDEFGHz单位立方体正等轴测投影单位立方体正等轴测投影xz74222sinsincosx222sincossinycosz 正二轴测投影：正二轴测投影： 由由x=2y=z 可求得可求得= 20o42、= 19o28，代入正，代入正轴测投影变换矩阵轴测投影变换矩阵T正正 ，得：，得：当当x=2y=z 时时1000000094300000003120035400118009350.正正二二TxyABCDEFGHz单位立方体正二轴测投影单位立方体正二轴测投影xzo75 2. 轴测投影变换轴测投影变换 正轴测投影变换

29、正轴测投影变换 斜轴测投影变换斜轴测投影变换 如何将正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平如何将正视图、侧视图、俯视图投影到同一个投影平面上呢？面上呢？ 该变换是使物体先沿该变换是使物体先沿x含含y错切，再沿错切，再沿z含含y错切，最后错切，最后向向xoz平面投影。因此，其变换矩阵也是三个根本变换矩平面投影。因此，其变换矩阵也是三个根本变换矩阵的乘积：阵的乘积：错切错切含含沿沿斜斜yxdT100001000010001错切错切含含沿沿yzf10000100010000110000100000001fd面投影面投影向向xoz100001000000000176 在变换矩阵在变换矩阵T斜中，当斜

30、中，当d、f 取不同的值时可得到各种取不同的值时可得到各种不同的斜轴侧透视图：不同的斜轴侧透视图： 同样，斜轴侧投影的图形也会产生形变。各轴的轴向同样，斜轴侧投影的图形也会产生形变。各轴的轴向变形系数如下：变形系数如下：221fdyzx, 根据轴向变形系数之间的关系，斜轴侧投影也可分为根据轴向变形系数之间的关系，斜轴侧投影也可分为斜等轴侧、斜二轴侧斜等轴侧、斜二轴侧(常用方式常用方式)等投影方式。等投影方式。ad=1，f=1；bd=1，f=-1；cd=-1，f=-1；dd=-1，f=177221fdyzx, 斜二轴测投影：斜二轴测投影： 由由x=2y=z 可求得可求得d = f = 0.354

31、，代入斜轴测，代入斜轴测投影变换矩阵投影变换矩阵T斜斜 ，得：，得：当当x=2y=z 时时1000010003540035400001.斜斜T78投投影影平行投影平行投影透视投影透视投影一点透视一点透视两点透视两点透视三点透视三点透视斜平行投影斜平行投影斜轴侧斜轴侧斜二轴侧斜二轴侧斜等轴侧斜等轴侧正平行投影正平行投影正轴侧投影正轴侧投影正投影正投影(正视、侧视、俯视正视、侧视、俯视)正三轴侧正三轴侧正等轴侧正等轴侧正二轴侧正二轴侧79 3. 透视投影变换透视投影变换 对于一个空间物体，假设用轴测投影，物体的平行边对于一个空间物体，假设用轴测投影，物体的平行边投影后依然坚持平行，这与人的视觉是有

32、差别的。投影后依然坚持平行，这与人的视觉是有差别的。 为处理视觉差别，提出透视投影。为处理视觉差别，提出透视投影。 透视投影后物体的平行边不一定坚持平行，这些不平透视投影后物体的平行边不一定坚持平行，这些不平行的边延伸后将会聚于一点，称之为灭点。行的边延伸后将会聚于一点，称之为灭点。 根据灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透根据灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视、三点透视。视、三点透视。 一点透视投影变换一点透视投影变换 先对物体作透视变换，然后向先对物体作透视变换，然后向xoz平面投影。变换矩平面投影。变换矩阵为：阵为：80透视变换透视变换1000010001000011qT

33、其中：其中：q灭点到投影面垂直间隔的倒数。灭点到投影面垂直间隔的倒数。 q0，灭点位于物体内侧。，灭点位于物体内侧。为符合人们的视觉习惯，普通取为符合人们的视觉习惯，普通取q0。 一点透视投影变换一点透视投影变换 先对物体作透视变换，然后向先对物体作透视变换，然后向xoz平面投影。变换矩平面投影。变换矩阵为：阵为：面投影面投影向向xoz1000010000000001100001000000001q81 另外，在画透视图时，假设物体的空间位置缺乏以反另外，在画透视图时，假设物体的空间位置缺乏以反映物体的空间形状，经常先把物体平移到适宜的位置，然映物体的空间形状，经常先把物体平移到适宜的位置，然

34、后再进展投影变换。后再进展投影变换。 这时，一点透视的变换矩阵为：这时，一点透视的变换矩阵为：透视投影内外侧灭点透视投影内外侧灭点灭点灭点( q0)82平移变换平移变换10100001000011nmlT 例：取例：取l = 1，m = -1，n = -2，q = -0.35，对单位立方，对单位立方体作一点透视投影。体作一点透视投影。351201010035000000011.T1011111111011001101011101100100087654321一点透视投影一点透视投影100001000000001q平移下的一点透视投影平移下的一点透视投影1001000000001mqnlq12 34 5 6 7 8单位立方体单位立方体一点透视投影图一点透视投影图xzo83 两点透视投影变换两点透视投影变换 先使物体绕先使物体绕z轴旋转轴旋转角，并思索物体的平移，最后作角，并思索物体的平移，最后作一点透视投影。因此，二点透视投影的变换矩阵为：一点透视投影。因此，二点透视投影的变换矩阵为： 角角轴轴旋旋转转绕绕zT1000010000002cossinsincos平移变换平移变换1010000100001nml一点透视投影一点透视投影100001000000001q)(cossinsincos01001000000qmqnlqq一一般