一阶常微分方程初等解法

1、一阶常微分方程一阶常微分方程初等解法初等解法2011.11.12一阶常微方程的初等解法一阶常微方程的初等解法u变量分离方程与变量变换u线性微分方程与常数变易法u恰当微分方程与积分因子u一阶隐式微分方程与参数表示重点重点：变量分离方程、线性微分方程、常数变易法、恰当微分方 程、积分因子、一阶隐式微分方程与参数解法；难点难点：变量变换、积分因子、分项组合法、建立微分方程模型.总 结1：变量分离方程与变量变换：变量分离方程与变量变换在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点，下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：例例 求解方程 . yxdydx可以变化为： ，解解xdxydy两边积分，即得 ，22

2、222cxy因而，通解为 . cyx221.1变量分离方程变量分离方程的方程，称为变量分离方程变量分离方程，这里),(xf)(x分别是yx,连续函数.形如)()(yxfdxdy) 1 . 2(如果, 0)(y我们可将（2.1）改写成,)()(dxxfydy这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到.)()(cdxxfydy（ 为常数）c下面来做几道题来来练习一下变量分离方程，例例1.lnxydxdy解解 将方程变量分离，得到 xdxydyln).0(y两边积分得,lnln1cxxxy这里 是任意常数，从上式解出 可得显示通解为1cy,lnxxxecy这里 是一个任意常数，此外， 也是方程的解，

3、它可以被包含在通解中（取 ）.c0y0c例例2. 0, 0,)()(yxbyaxdxcydxdy解解 方程可变量分离为,)()(dybyadxdxc积分得,lnlnkbyyadxxc这里 为任意 k常数，上式可化为, keyexbyadxc其中 .因kek 方程还有特解 .并考虑到条件 0y, 0, 0yx于是方程的通解为, keyexbyadxc这里0k为任意常数.时，0t,)0(,)0(00yyxx代如得,0000byadxceyexk即解为,0000dxcbyabyadxcexeyeyex或写成. 1)()()(0)(000yybaxxdceyyexx 如果考虑方程的满足初值条件的解，可

4、将初值条件1.2 可化为变量分离的方程类型可化为变量分离的方程类型这里只介绍两种简单的情形 1形如)(xygdxdy的方程，称为齐次微分方程，齐次微分方程，u这里)(ug是的连续函数.作变量变换,xyu 于是. udxduxdxdy原方程变为.)(xuugdxdu这是一个变量分离方程，这样就可以用前面的方法求解.例例3求解方程.tanxyxydxdu解解这是齐次微分方程，以uxy及udxduxdxdy代入，则原方程变为,tanuuudxdux即.tanxudxdu将上式变量分离，有,cotxdxudu 两边积分有,lnsinlncxu令,cec得到.sincxu 代入原来的变量，得到原来方程的

5、通解为.sincxxy例例4求解方程yxydxdyx 2).0( x解解将方程改写为xyxydxdy 2,0 x这是齐次微分方程.以uxy及udxduxdxdy代入则原方程变为.2 udxdux分离变量，得到,2xdxudu两边积分，得到通解.lncxu当0lncx时，,ln2cxu此外，方程还有解, 0u代回原来的变量，原方程的通解为0ln,ln2cxcxxy即. 0y 2形如222111cybxacybxadxdy的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里222111,cbacba均为常数.我们分三种情形来讨论：kccbbaa212121（常数）情形.这是方程化为, kdxdy有通解为,

6、 ckxy其中c为任意常数.212121cckbbaa令,22ybxau这时有212222cuckubadxdybadxdu是变量分离方程.2121bbaa如果方程中21,cc不全为零，方程右端分子、分母的一次多项式，因此yx, 0222cybxa, 0111cybxa代表Oxy平面上两条相交的直线，设交点为.,若令, xX, yY则上式化为, 0, 02211YbXaYbXa从而方程变为.2211XYgYbXaYbXadXdY因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可的原方程的解.上述方法也适用于如下方程：, 0,222111dyxyxgdxxyyfcybxacybxafdxdy,22x

7、yxfdxdyxyfdxdyx. 0,ydxxdyyxNydyxdxyxM例例5求解方程.31yxyxdxdy解解解方程组, 03, 01yxyx得. 2, 1yx令, 2, 1YyXx代入方程，有.YXYXdXdY再令,XYu 则化为,2112duuuuXdX两边积分，得,12lnln22cuuX则 .12122122cxyxy此外0222XXYY也是解,26222cxyxxyy原方程的通解为其中c为任意常数.返回2.线性微分方程与常数变易法线性微分方程与常数变易法 ,xQyxPdxdy一阶线性微分方程 xQxP,其中x在考虑的区间上是的连续函数.若 , 0 xQ方程变为 , yxPdxdy

8、称为一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程. , 0 xQ称为一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程.现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法.我们知道,dxxPcey是齐次线性微分方程的通解.将常数c变易为x的待定函数 .xc令 ,dxxPexcy微分之，得到 .dxxPdxxPexPxcedxxdcdxdy这样就可以得到 ,xQexcxPexPxcedxxdcdxxPdxxPdxxP即 ,dxxPexQdxxdc积分后得到 ,cdxexQxcdxxP这里c是任意常数，将上式代入到原方程得到通解 .cdxexQeydxxPdxxP这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法.常

9、数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.例例6求方程111nxxenydxdyx的通解，这里n为常数.解解将方程改写为.11nxxeyxndxdy首先，求其次线性微分方程01yxndxdy的通解，为.1nxcy其次应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解.把上式中的c看成x的待定函数 ,xc即 ,1nxxcy微分得 .111xcxnxdxxdcdxdynn将其代入到前式中，可得到 ,xedxxdc积分之，得到 .cexcx因此，将所求的 xc代入原方程，其通解为 ,1cexyxn这里c是任意常数.返 回3.3.恰当微分方程与积分因子恰当微分方程与积分因子3.1

10、恰当微分方程恰当微分方程yxu,如果方程的左端恰好是某个二元函数, 0,dydxyxfyxfdxdy,我们把一阶方程写成微分的形式或把yx,平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程. 0,dyyxNdxyxM的全微分，即,dyyudxxuyxdudyyxNdxyxM则称方程为恰当微分方程.容易验证，原方程的通解就是,cyxu（ 是任意常数）.c例例7046633222dyyyxdxxyx的通解.解解这里,46,633222yyxNxyxM这时,12,12xyxNxyyM因此方程是恰当微分方程.现在求, u是它同时满足如下两个方程：.46,633222yyxyuxyxxu前一个式子，对x积分

11、，得到 ,3223yyxxu将得到的方程对 求导，并使它满足上一个方程，即得y ,466322yyxdyydyxyu于是 ,43ydyyd积分后可得 ,4yy .34223yyxxu因此，方程的通解为,34223cyyxx这里 是任意常数.c往往在判定方程式恰当微分方程后，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分，这种方法要求熟记一些简单的二元函数的全微分，如,2yxdyxdyydxyxdxdyydx,ln,2yxdxyxdyydxxydxxdyydx.ln21,arctan2222yxyxdyxxdyydxyxdyx

12、xdyydx例例8用“分项组合”的办法，求解例7.解解把方程重新“分项组合”，得到, 066432232ydyxdxxydyydxx即, 033222243dyxdxydydx或者写成, 032243yxyxd于是，方程的通解为,32243cyxyx这里 是任意常数.c3.2 积分因子积分因子如果存在连续可微的微的函数, 0,yxuu使得 0,dyyxNyxudxyxMyxu为一恰当微分方程，即存在函数 ，使v,dvuNdyuMdx则称yxu,为方程的积分因子积分因子.这里cyxv,是方程的通解.则 我们可以知道方程0 xdyydx的积分因子有.1,1,1,12222yxxyyx只要方程有解存

13、在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.例例 9求解方程21yxyxdxdy.0y解解 方程可以改写为 ,22dxyxydyxdx容易看出，此方程有积分因子,122yxu以 乘之得u,22222dxyxyxd故通解为.22xccy例例 10 求解方程. 0dyxyydx解解 这里, 1, 1,xNyMxyNyM方程不是恰当的.因为yMxNyM2只与 有关，y故方程有只与 有关的积分因子y.12ln22yeeuydyy以21yu 乘方程两边，得到. 02ydyyxdyydx因此，通解为.lncyyx将方程改写为,ydyxdyydx左端有积分因子,12yu 积分可以得到.2ydyyxdyydx因此

14、，通解为.lncyyx将方程改写为,yxydxdy这是齐次微分方程，令, uxy代入得到,1 uuudxdux即.12xdxduuu因此，通解为,lnln1cxuu代回原来变量，即得.lncyyx把 看作未知数， 看作自变量，xy方程变为线性微分方程, 1yxdydx同样解得.lncyyx此外，易见0y也是原方程的解.返回4.一阶隐式微分方程与参数表示一阶隐式微分方程与参数表示. 0, yyxF一阶隐式微分方程的一般形式可表示为xy4.1 可以解出可以解出 （或（或 ）的方程）的方程1. 首先讨论形如dxdyxfy,的方程的解法，这里假设函数dxdyxf,有连续的偏导数.1 . 4引进参数,

15、pdxdy则) 1 . 4(变为pxfy,2 . 4将2 . 4两边对x求导数，并以pdxdy代入，得到.dxdppfxfp3 . 4方程3 . 4是关于px,的一阶微分方程.若已求得3 . 4的通解形式为,cxp将它代入2 . 4得,cxxfy这就是1 . 4的通解.若求得3 . 4的通解形式为,cpx则得到1 . 4的参数形式的通解为,pcpfycpxp其中 是参数， 为任意常数.c若求得3 . 4的通解形式为, 0,cpx则得到1 . 4的参数形式的通解, 0,pxfycpxp其中 是参数， 为任意常数.c例例 11求方程023ydxdyxdxdy的解.两边对 求导，得到x. 0232p

16、dxxdpdpp当0p时，上式乘以 得到p. 02323dxpxpdpdpp积分之，注意到中间一项为,2xdp得到.4324cxpp解解 解出 ，并令y, pdxdy得到,23xppy4 . 4解出 ，得到x.4324ppcx将它代入,4 . 4得到.43243ppcpy因此，得到方程的参数形式的通解,212,43322ppcyppcx. 0p当0p时，由4 . 4直接推知0y也是方程的解.2. 形如dxdyyfy,的方程的解法，这里假设函数dxdyyf,有连续的偏导数.5 . 4引进参数, pdxdy则)5 . 4(变为pxfy,6 . 4将6 . 4两边对y求导数，并以pdydx1代入，得

17、到.1dydppfyfp7 . 4方程7 . 4是关于py,的一阶微分方程.设求得通解为, 0,cpy则得到5 . 4的参数形式的通解, 0,pyfxcpyp其中 是参数， 为任意常数.c例例 12求方程023ydxdyxdxdy的解.解解 解出 ，并令x, pdxdy得到8 . 4, 0,23pppyx两边对 求导，得到y,2311232pdydppydydpppp积分之，即有,24ppcy代入8 . 4求得.43222434ppcppppcx所以，方程的通解为,22,434322ppcyppcx. 0p此外，还有解. 0yxy4.2 可以解出可以解出 （或（或 ）的方程）的方程3 . 现在

18、讨论形如0, yxF的方程的解法.9 . 40,pxF记.dxdyyp从几何的观点看，代表Oxp平面上的一条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式 ,tptx10. 4这里 为参数，再注意到，沿方程（4.9）的任何一条积分曲线上，恒满足基本关系t.pdxdy 以（4.10）代入上式得 ,dtttdy两边积分，得到 , cdttty于是得到方程（4.9）的参数形式的通解为 ,cdtttytx 为任意常数.c例例 13 求解方程0333yxyx这里).(dxdyy 解解 令,txpy则由方程得,133ttx从而.1332ttp于是,12193323dttttdy积分之，得到.1412312192333323cttdtttty因此方程的通解表成参数形式.14123,132333cttyttx4. 形如0, yyF的方程，其求解方法与上面一样.记,yp参数形式引入参数 ，将方程表示为t ,tpty由关系式pdxdy 得 ,dxtdtt由此得 .,ctdttxtdttdx于是 ,tycdtttx为方程的参数形式的通解，其中 为任意常数.c此外，不难验证，若0