应用举例16609学习教案

1、会计学1应用应用(yngyng)举例举例16609第一页，共35页。基础知识复习(fx)1、正弦(zhngxin)定理2、余弦定理第1页/共35页第二页，共35页。 2、建模：把已知量与求解量集中(jzhng)在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理(y xin dn l)，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：第2页/共35页第三页，共

2、35页。第3页/共35页第四页，共35页。解斜三角形中的有关解斜三角形中的有关(yugun)名词、术语：名词、术语： （1）坡度：斜面与地平面）坡度：斜面与地平面(pngmin)所成的角度。所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。俯角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角而

3、成的角第4页/共35页第五页，共35页。:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.第5页/共35页第六页，共35页。例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点在河的两岸，要测量(cling)两点之间的距离。两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点(y din)C，测出，测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦分析：已知两角一边，可以用正弦(zhngxin)定理定理解三角形解三角形第6页/共35页第七页，共35

4、页。解：根据解：根据(gnj)正弦定理，得正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离两点间的距离(jl)为为65.7米。米。第7页/共35页第八页，共35页。变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离的距离(jl)(jl)都等于都等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030，灯塔灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060，则，则A A、B B之间的距离之间的距离(jl)(jl)为多少？为多少？第8页/共35页第九页，共35页。例例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一两点都在河的对岸（不可到达），设计

5、一种测量种测量(cling)两点间的距离的方法。两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到到对岸对岸(du n)两点的距离，再测出两点的距离，再测出BCA的大小，借助于的大小，借助于余弦定理可以计算出余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。第9页/共35页第十页，共35页。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并且并且在在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用中，应用(yngyng)正弦定理得

6、正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用中，应用(yngyng)余弦定理余弦定理计算出计算出AB两点间的距离两点间的距离第10页/共35页第十一页，共35页。变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B两点间距离两点间距离 .注：阅读教材注：阅读教材P12P12，了解，了解(lioji)(lioji)基线的概念基线的概念第11页/共35页第十二页，共35页。练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n m

7、ile / hr的速度向正北航行的速度向正北航行。在。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方向，的方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东65o的的方向，已知距离方向，已知距离(jl)此灯塔此灯塔6.5n mile 以外的海区以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？行吗？第12页/共35页第十三页，共35页。练习练习2自动卸货自动卸货(xi hu)汽车的车厢采用液压机构。设计时需要汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的

8、长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为620，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m） （1 1）什么）什么(shn me)(shn me)是是最大仰角？最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABCABC中已知什么中已知什么(shn me)(shn me)，要求什，要求什么么(shn me)(shn me)？CAB第13页/共35页第十四

9、页，共35页。练习练习2自动卸货汽车自动卸货汽车(qch)的车厢采用液压机构。设计时需的车厢采用液压机构。设计时需要计算要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为620，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角(ji jio)CAB6620，求，求BC解：由余弦定理解：由余

10、弦定理(y xin dn l)，得得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB第14页/共35页第十五页，共35页。:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(2)测量高度.第15页/共35页第十六页，共35页。测量测量(cling)(cling)垂垂直高度直高度 1 1、底部可以、底部可以(ky)(ky)到到达的达的 测量测量(cling)(cling)出角出角C C和和BCBC的长度的长度，解直角三角形即可求出，解直角三角形即可求出ABAB的长的长。 第16页/共35页第十七页，共35页。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形几何图形(jh t xng)？已知什么，？已

11、知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 第17页/共35页第十八页，共35页。例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度最高点，设计一种测量建筑物高度(god)AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，由解直角三角形的知识，只要能测出一点只要能测出一点C到建筑物到建筑物的顶部的顶部A的距离的距离CA,并测出并测出由点由点C观察观察A的仰角

12、，就可的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以计算出建筑物的高。所以应该设法以应该设法(shf)借助解借助解三角形的知识测出三角形的知识测出CA的长的长。BEAGHDC第18页/共35页第十九页，共35页。解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别仰角分别(fnbi)是是，CD=a,测角仪器的高是测角仪器的高是h.那么，那么，在在 ACD中，根据正弦定理可得中，根据正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计

13、一种物的最高点，设计一种(y zhn)测量建筑物高度测量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC第19页/共35页第二十页，共35页。分析：根据分析：根据(gnj)已知条件，已知条件，应该设法计算出应该设法计算出AB或或AC的长的长第20页/共35页第二十一页，共35页。CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度答：山的高度(god)约为约为150米。米。解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据根据(gnj)正弦定理，正弦定理，第21页/共35页第二十二页，共35页。例例3 3：如图：如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上

14、向一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶正西行驶(xngsh),(xngsh),到到A A处时测得公路北侧远处时测得公路北侧远处一山顶处一山顶D D在西偏北在西偏北150150的方向上的方向上, ,行驶行驶(xngsh)5km(xngsh)5km后到达后到达B B处处, ,测得此山顶在西偏测得此山顶在西偏北北250250的方向上的方向上, ,仰角为仰角为80,80,求此山的高度求此山的高度CD CD 分析分析(fnx)：要测出高：要测出高CD,只要测只要测出高所在的直角三角形的另一条直出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出可以计算出B

15、C的长。的长。第22页/共35页第二十三页，共35页。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南处时测得公路南侧远处侧远处(yun ch)一山顶一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高度，求此山的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根据根据(gnj)正弦定理正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度答：山的高度(god)约为约为1047米。米。第

16、23页/共35页第二十四页，共35页。变式：某人在变式：某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西200200的方的方向上的向上的A A处，观察到点处，观察到点C C处有一辆汽车沿处有一辆汽车沿公路向公路向M M站行驶站行驶(xngsh)(xngsh)。公路的走向。公路的走向是是M M站的北偏东站的北偏东400400。开始时，汽车到。开始时，汽车到A A的距离为的距离为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，千米后，到到A A的距离缩短了的距离缩短了1010千米。问汽车还需千米。问汽车还需行驶行驶(xngsh)(xngsh)多远，才能到达多远，才能到达M M汽车站汽车站？ 第24页/

17、共35页第二十五页，共35页。:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度第25页/共35页第二十六页，共35页。第26页/共35页第二十七页，共35页。例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后后到达海岛到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发到达C,此船应该沿怎样此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少的方向航行，需要航行多少(dusho)距离（角度精确到距离（角度精确到0.1,距离精确

18、到距离精确到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据，根据(gnj)余弦定理，余弦定理，第27页/共35页第二十八页，共35页。练习练习(linx)1 1如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕绕C点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在在A处，设连处，设连杆杆AB长为长为340mm，由柄，由柄CB长为长为85mm，曲柄自，曲柄自CB按逆时针方按逆时针方向

19、旋转向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距移动的距离离 ）（精确到）（精确到1mm） AA0第28页/共35页第二十九页，共35页。已知已知ABC中，中， BC85mm，AB340mm，C80，求求AC 解：（如图）在解：（如图）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin ABCBCA因为因为BCAB，所以，所以(suy)A为锐角为锐角 ， A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：)(3 .3449848. 05485sin340sinsinmm CBABAC解解 题题 过过 程程第29页/共35页第三十页，共35页。答：活塞移动答：活塞