第九章,第四节三重积分一ppt课件

1、第四节第四节 三重积分三重积分(一一) 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分一、三重积分的定义一、三重积分的定义举例：空间立体的质量计算：设有一空间立体举例：空间立体的质量计算：设有一空间立体 ，其体密度为其体密度为 f (x , y , z)，求其质量，求其质量 M（1将将 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域,21nvvv 直径记为：直径记为：质量记为：质量记为：nMMM ,21,1 niiMM则则（2在每个小区域在每个小区域iv 上任取一点上任取一点),(iii ,),(iiiiivfM 则则,),(1 niiiiivfM （3

2、取极限，记取极限，记.),(lim10 niiiiivfM 则则,21n , ,max21n 定义：设定义：设 f ( x , y, z ) 为有界闭区域为有界闭区域 上的有界函上的有界函数数（1将将 任意分成任意分成 n 个小区个小区域域,21nvvv 直径记为：直径记为：,21n （2在每个小区域在每个小区域iv 上任取一点上任取一点),(iii ,),(iiiivf ,),(1 niiiiivf 作乘积作乘积并作和并作和（3记记 niiiiivf10),(lim , ,max21n 若极限若极限存在，且与存在，且与 的分法及点的分法及点),(iii 的取法无关，的取法无关， 则称此极限为

3、则称此极限为 f ( x , y, z ) 在闭区域在闭区域 上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . 用用平平行行于于坐坐标标面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果)2(,lkjizyxv 则则 vdzyxf),( = dxdydzzyxf),(. .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz几点说明：几点说明：（1三重积分中各符号的含义及名称与二重积分三重积分中各符号的含义及名称与二重积分的情形相似。的情形相似。所以所以（

4、3当当 f ( x , y, z ) 在在 上连续时，三重积分一定存在上连续时，三重积分一定存在 （4三重积分与二重积分具有完全类似的性质。三重积分与二重积分具有完全类似的性质。（5假设假设 f ( x , y, z ) 是是 上的体密度函数，上的体密度函数，那么那么 dvzyxfM),(, 的的平平面面来来划划分分二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx如图，如图，,xyDxoy 面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域 zyxzzyx),(| ),(1看作定值，看作定值，先将先将yx,)1

5、( ),(),(21),(yxzyxzdzzyxf闭闭在在再再计计算算),()2(yxF xyDdyxF ),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf ),(),(2xyDyxyxz 作作定定积积分分到到从从将将21),(zzzyxf上的二重积分上的二重积分区间区间xyD),(yxF xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx xyDdyxF ),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf ),(),(21),(yxzyxzDdzzyxfdxy 记记为为 dvzyxf),( ),(),(21),(yxzyxzDdzzyxfd

6、xy 将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算积分次序是先定积分，后二重积分积分次序是先定积分，后二重积分（3进一步，假设进一步，假设 是是 X 型区域型区域xyD,| ),(bxayxDxy dvzyxf),(那么那么 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx)()(),(),(2121),(将三重积分化为三次积分将三重积分化为三次积分次序：先对次序：先对 z , 再对再对 y ，最后对，最后对 xxyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx)()(21xyyxy ab)(1xyy )(2xyy （3） 假设假

7、设 是是 X 型区域型区域xyD ),(),(21),(yxzyxzDdzzyxfdxy dvzyxf),(,| ),(dycyxDxy dvzyxf),(那么那么 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy)()(),(),(2121),(将三重积分化为三次积分将三重积分化为三次积分次序：先对次序：先对 z , 再对再对 x ，最后对，最后对 yxyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx)()(21yxxyx ab)(1xyy )(2xyy （4） 假设假设 是是 Y 型区域型区域xyD ),(),(21),(yxzyxzDdzzyxfdxy dvzyxf)

8、,(（5假设假设 是前后结是前后结构构 dvzyxf),( ),(),(21),(zyxzyxDdxzyxfdyz 而后者又可进一步化为三次积分。而后者又可进一步化为三次积分。对于对于 为左右结构情形同理。为左右结构情形同理。即若用平行于即若用平行于 x 轴的直线穿过轴的直线穿过 ，与其边界曲面，与其边界曲面的交点至多有两个，亦可将的交点至多有两个，亦可将 投影到投影到 yoz 面上。面上。 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解.022yxz 如图，如图，, 12 yx, 11: xxy01 12xy 111: xDxy12 yxxyD解解 xdxdydz yxDxdzdxd

9、yxy1010,10| ),( xxyyxDxyxozy111),(,10| ),(xyDyxyxzzyx yxxxdzdydx101010 xdyyxxdx1010)1( 102)1(21dxxx241 xy 1yxz 1过程：先定积分，再二重积分，并将二重积分化过程：先定积分，再二重积分，并将二重积分化为累次积分。为累次积分。 dvzyxf),( ),(),(21),(yxzyxzDdzzyxfdxy baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx)()(),(),(2121),(有时上述过程也可反过来：先二重积分，再定积分有时上述过程也可反过来：先二重积分，再定积分其步骤如下：其步骤如下：

10、（1将将 投影到某个坐标轴上投影到某个坐标轴上，如如 z 轴，得一投影区间轴，得一投影区间z,21cc(2) 对任意对任意,21ccz , z（1将将 投影到某个坐标轴上，如投影到某个坐标轴上，如 z 轴，得一轴，得一投影区间投影区间,21cc(2) 对任意对任意,21ccz , 用用过过z轴轴且且平平行行xoy平平面面 去去截截 ，得得截截面面zD; ),( ,| ),(21zDyxczczyx 则则 zDdxdyzyxf),(（3先将先将 z 看作常数，对看作常数，对 f (x, y,z ) 在在zD作二重积分作二重积分)(zF记为记为 （4再将再将 F(z) 在在,21cc作定积分作定积

11、分 dvzyxf),( 21)(cczdzF zDccdxdyzyxfzd),(21上述方法称为截面法，在下面两种情形下，比较上述方法称为截面法，在下面两种情形下，比较适合用此方法。适合用此方法。（1被积函数是一个一元函数，被积函数是一个一元函数， zDdxdyzyxf),(比较容易。比较容易。（2截面截面zD的形状比较简单的形状比较简单z dvzyxf),( zDccdxdyzyxfzd),(21或计算二重积分或计算二重积分xyzozD解：被积函数为解：被积函数为 z 的一元函数的一元函数c cz: ,| ),(czczyx ,cc 1| ),(222222czbyaxyxDz 在在 z 轴

12、上的投影区间为轴上的投影区间为 1222222czbyax 解：被积函数为解：被积函数为 z 的一元函数的一元函数xyzozDc cz zDccdxdydzz2 ccDdzSzz2)1()1(222222czbczaSzD ),1(22czab 1| ),(222222czbyaxyxDz 原原式式 zDccdxdyzdz2 z例例 3 3 计计算算三三重重积积分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由 椭椭球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空间间闭闭区区域域. 解：被积函数为解：被积函数为 z 的一元函数的一元函数xyzozDc cz ccDdzSzz2),1(22czabSzD ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式1| ),(222222czbyaxyxDz 原原式式 zDccdxdydzz2 原原式式 xDdydzxxd)1(221 xyzo解：被积