大二下数值计算chapter

1、2011-4-20E=mcE=mc2 2Email: 密码密码: comphynju 矩阵对角化与本征值问题矩阵对角化与本征值问题BAX 线性方程组：线性方程组：XAX本征值问题：本征值问题：BAX 线性方程组：线性方程组：KKKKKmj-1mjmj+1XAX本征值问题：本征值问题：BAX 线性方程组：线性方程组：KKKKKmj-1mjmj+1.)(.)()(.)()()(1221122232122221212121NNNNNjjjjjjKxxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKKxdtxdmF.)(.)()(.)()()(122112223212222121

2、2121NNNNNjjjjjjKxxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKxxKdtxdmFxxKKxdtxdmFtijjeAxNjNjAAAAAAAAKm.2100.0.0.12100.01210.0012.21212nininnnjnninijinjnjxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaa2121211222221111211XAX000021211222221111211ninnnjnninijinjnjxxxxaaaaaaaaaaaaaaa0)det( IA求矩阵特征值与特征向量的方法求矩阵特征值与特征向量的方法1. 1. 乘幂法乘幂法 ( (最大特征值最大特征值)

3、)2. 2. 反幂法反幂法 ( (最小特征值最小特征值) )3. Jacobi3. Jacobi方法方法 ( (对称矩阵对称矩阵) )4. QR4. QR方法方法 ( (更一般的算法更一般的算法) )乘幂法：求矩阵的按模最大的特征值与乘幂法：求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。相应的特征向量。基本思想：通过迭代产生向量序列，由基本思想：通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量的近似值。此计算特征值和特征向量的近似值。乘幂法乘幂法1110A特征值为特征值为:1=1.618032= 0.6180311)0(X)()1(kkAXX做如下迭代：做如下迭代：53321110)2()3(XAX

4、1.5 1.6666785531110)3()4(XAX1.66667 1.6 32211110)1()2(XAX2 1.5 138851110)4()5(XAX1.6 1.625 21131381110)5()6(XAX1.625 1.61538 1 2 21111110)0()1 (XAX)1(1)(1/kkxx)1(2)(2/kkxx342121131110)6()7(XAX1.61538 1.61905 553434211110)7()8(XAX1.61905 1.61765 895555341110)8()9(XAX1.61765 1.61818 1448989551110)9()1

5、0(XAX1.61808 1.61798 233144144891110)10()11(XAX1.61798 1.61806 3772332331441110)11()12(XAX1.61806 1.61803 3772332331441110)11()12(XAX1.61806 1.61803 特征值为特征值为:1=1.618032= 0.618031110A任取初时向量任取初时向量X(0)RknkikkkknkikkkxxxxAAXxxxxX21)(111211)1(kikikxx1lim 为为A按模最大特征值按模最大特征值X(k+1)为对应的特征向量为对应的特征向量乘幂法的规范运算：乘幂

6、法的规范运算：任取初时向量任取初时向量X(0)R，通常取，通常取X(0)（1,1,1）T迭代过程为：迭代过程为：11)1()1()1(11)()1(/,.)2 , 1 , 0(|maxkkkkkinikkkmmXYkxmAYX例：用乘幂法求矩阵例：用乘幂法求矩阵210120012A的按模最大的特征值和相应的特征向量。的按模最大的特征值和相应的特征向量。.10,) 1 , 0 , 0(3)0(TX取：取：解：解：TX) 1 , 0 , 0()0(Step1.,) 1, 5 . 0, 0(, 2,) 2, 1, 0(1) 1 () 1 (1)0() 1 (TTmYXmAXYStep2.,) 1,

7、8 . 0, 2 . 0(, 5 . 2,) 5 . 2, 2, 5 . 0(2)2()2(2) 1 ()2(TTmYXmAXY9996973. 2100006049. 09990924. 29996973. 21389故由mm相应的特征向量为：相应的特征向量为：)9996973. 2 ,9993946. 2,8436517. 2(1u) 1,9996973. 0,9219772. 0(9990924. 2)9990924. 2,9981848. 2,7650948. 2()8(8)7()8(XmAXY9996973. 2)9996973. 2 ,9993946. 2,8436517. 2(9

8、)8()9(mAXY精确解：精确解：, 1, 2, 3121:1对应的本征向量T) 1, 1, 1 ( 9996973. 21迭代解：迭代解：Tu)9996973. 2 ,9993946. 2,8436517. 2(1反幂法反幂法反幂法：计算矩阵按模最小的特征值及特征向反幂法：计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法量的方法基本思想：逆矩阵的特征值是原矩阵特征值的基本思想：逆矩阵的特征值是原矩阵特征值的倒数，特征向量相同倒数，特征向量相同XXAXAX1;1反幂法算法：反幂法算法：任取初时向量任取初时向量X(0)R，通常取，通常取X(0)（1,1,1）T迭代过程为：迭代过程为：kkkkkkkin

9、ikmYAXkmXYxm/1,.)2 , 1 , 0(/|)()1()()()(1max)(1)1(kkYAX例：求如下矩阵最小特征值例：求如下矩阵最小特征值及对应的特征向量及对应的特征向量1439AK Y(k) X(k+1)01 10.1904766 0.23809510.8 10.180952 0.2761920.655172 10.174056 0.30377730.572973 10.170142 0.31943440.532636 10.168221 0.32711750.514253 10.167345 0.33061860.506158 10.16696 0.3321670.50

10、2649 1 0.166793 0.33282980.501137 10.166721 0.333117A-1的按模最大特征值为的按模最大特征值为0.333117A-1特征向量为特征向量为(0.501137, 1)TA的按模最小特征值为的按模最小特征值为1/0.333117=3.0019A特征向量为特征向量为(0.501137, 1)T Jacobi Jacobi方法方法 （实对称矩阵的全部特征根与特（实对称矩阵的全部特征根与特征向量）征向量）定理：定理：P为为n阶可逆阵，则阶可逆阵，则A与与P1AP相似，相似阵有相同的特征值；相似，相似阵有相同的特征值；若若A对称，则存在正交矩阵对称，则存在

11、正交矩阵Q(QTQ=I)，使得，使得nTAQQ21计算如下矩阵的特征值和相应的特征向量计算如下矩阵的特征值和相应的特征向量0110AcossinsincosBcossinsincos0110cossinsincosABBTcossin2sincossincoscossin22222当当=/4时：时：2/22/22/22/2B1001ABBT0110AA的特征值为的特征值为1=-1, 2=-1A对应于对应于1= -1的特征向量的特征向量为：为：A对应于对应于2= 1的特征向量为：的特征向量为：2/22/21v2/22/22v当当=/4时：时：2/22/22/22/2B1001ABBT构造一系列特

12、殊形式的正交阵构造一系列特殊形式的正交阵Q1,.,Qn对对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是认为对角元就是A的所有特征值。的所有特征值。Jacobi法基本思路：法基本思路：Givens旋转变换：旋转变换：1cossinsincos1),(qpQp列列q列列p行行q行行记：记：)(),(),( , )(ijTijbqpAQqpQBaA则：则：2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sincos2222qqp

13、ppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabb变换的目的是为了减少非对角元的分量，因此：变换的目的是为了减少非对角元的分量，因此：02sin22cosqqpppqqppqaaabbtan,2taaaspqppqq记记则则1 , 0012 , 02ststst的按模较小根的按模较小根所以：所以：dttct221sin11cos02sin22cosqqpppqqppqaaabb01tan2cot2tan2pqppqqaaa22cot2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sinc

14、os2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabb0,qppqpqqqpppqppppqipiqiiqqipipiipbbtaabtaabqpicadabbqpidacabb2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sincos2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabbJacobiJacobi迭代算法：迭代算法：取取p,q使使ijjipqaa max，则，则),

15、(),()()1(qpQAqpQAkTk定理：定理：若若A A对称，则对称，则,1)1(nkdiagA解解 记记 A(0)=A, 取取p=1,q=2, apq(0)=a12(0)=2,于是有于是有例：用例：用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值方法计算对称矩阵的全部特征值612152224A25. 02)0(12)0(22)0(11aaas780776. 0)1|/(|)sgn(2ssst788206. 011cos2t615412. 01sin2tt1 , 0012 , 02ststst所以所以再取再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,p=2,q=3,apq

16、(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得类似地可得1000788206. 0615412. 00615412. 0788206. 01000cossin0sincos)(1pqRR(1)(0)112.43844800.96106.5615522.0201900.9612.0201906TAR AR241166. 40724794. 00320386. 8631026. 0724794. 0631026. 0438448. 2)2(A496424. 4209614. 00209614. 0320386. 8595192. 00595192. 0183185. 2)3(A496424.

17、4208653. 0020048. 0208653. 0377576. 80020048. 00125995. 2)4(A485239. 40020019. 00388761. 8001073. 0020019. 0001073. 0125995. 2)5(A485401. 4000009. 0001072. 0000009. 0388761. 800001072. 0125825. 2)6(A485401. 4000009. 00000009. 0388761. 8000125825. 2)7(A从而从而A的特征值可取为的特征值可取为 1 2.125825, 2 8.388761, 3 4.

18、485401特征向量为旋转矩阵特征向量为旋转矩阵R=R1R2的相应的各列矢量的相应的各列矢量5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0- 2.0- 3.0- 4.0-4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0- 2.0- 3.0-3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0- 2.0-2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0-1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.00.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.01.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.0 2.02.0- 1.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.0 3.03.0- 2.0- 1.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.1 4.34.0- 3.0- 2.0- 1.0- 0.0 1.0 2.0 3.0 4.3 5.0求矩阵特征值与特征向量求矩阵特征值与特征向量KKKKKmj-1mjmj+1NjNjAAAAAAAAKm.2100.0.0.12100.01210.0012.21212N=100, K=1, m=1zxyk=1k=23456ij二维薄膜振动