第五章刚体力学基础习题课(第三讲)13

1、1第五章第五章 刚体力学基础习题课（第三讲）刚体力学基础习题课（第三讲）大学物理（一）大学物理（一）主讲：陈秀洪主讲：陈秀洪一、小结一、小结二、二、 例题例题2tdd 1 1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2 2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3 3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 . . ,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 00zziiRv Rvii iiRa 22 iiinRRvanaaainii iRi tdd )(t 1 1、刚体定轴转动的描述、刚体定轴转动的描述一、小结一、小结32 2、力矩、

2、力矩 Pz*OFdFrMo sinMFrd : :力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrMo 对对o点点 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFFM4zOkFr FFFz FrkMz sin rFMzzFF 1 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 321MMMM 其中

3、其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF对对Z轴的力矩：轴的力矩：FrMo 沿沿Z轴的分量轴的分量5mrJrmJmjjjd,22 3 3、转动惯量、转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量 2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJmjjjd22 ：质量元：质量元md转动惯量的决定因素为：转动惯量的决定因素为：转轴的位置。转轴的位置。质量分布；质量分布；总质量；总质量；6vrxyzom4

4、 4、转动定律、转动定律 JM 221 JEk 5 5、转动动能、转动动能 M与与具有：同轴性、同时性、同方向性。具有：同轴性、同时性、同方向性。 21d MA6、力矩的功、力矩的功7、 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理21222121d21 JJMA (1)(1)质点的角动量质点的角动量vmrL 质点以角速度质点以角速度作半径为作半径为r 的的圆运动，相对圆心的角动量大圆运动，相对圆心的角动量大小：小： JmrL 2vrLLrpmo sinrmvL 大小大小8 8、角动量、角动量7（2 2）质点系的角动量：）质点系的角动量：（3 3）刚体作定轴转动的角动量：）刚体作定轴转动的

5、角动量： iiiiiiivmrPrL)()(质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即： 作定轴转动的刚体，其作定轴转动的刚体，其内部所有质点绕轴做半径内部所有质点绕轴做半径不等的圆周运动，具有相不等的圆周运动，具有相同的角速度：同的角速度： zzJL 矢量式：矢量式：00zz ziiizJrmL )(281010、角动量守恒定律、角动量守恒定律9、角动量定理：、角动量定理：外外MdtLd 122121LLLddtMLLtt 外外zzMdtdL 12zdM21zzttLLt （1 1）质点系角动量定理）质点系角动量定理（2 2）刚体定轴转动角动量定理）刚

6、体定轴转动角动量定理（1 1）质点系角动量守恒定律）质点系角动量守恒定律0: 外外条条件件 M常常矢矢量量结结论论 iiiiiivmrLL:（2 2）刚体定轴转动角动量守恒定律）刚体定轴转动角动量守恒定律0 zM条件：条件：结论：结论：常常量量 zzJL9定轴转动定轴转动角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论： 多个刚体，角动量守恒表达式多个刚体，角动量守恒表达式为：为：CJLiii 单个刚体，角动量守恒单个刚体，角动量守恒 即：即： =C 刚体作惯性转动。刚体作惯性转动。 zzJL 0 zM条件：条件：结论：结论：常常量量 zzJL )(212211JJJJ 1 2 01 02 z1J2J

7、0 z10质点和刚体，角动量守恒表达式为：质点和刚体，角动量守恒表达式为： JvmrJvmr 00注意：注意： 是质点速度在是质点速度在转动平面内的分量。转动平面内的分量。vv、0omr v00 0v Jrmvrmv 011对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守 恒的表达恒的表达式：式：0 dJdJ)J(dLd 若动作后角速度增加，则若动作后角速度增加，则 与与d 同向，所以同向，所以 JJlnJJlndJdJdJdJJJ 0000000即：即：例如：花样滑冰运动员。例如：花样滑冰运动员。问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能

8、 如何变化？如何变化？12 刚体力学习题课（刚体力学习题课（14） 1.质量为质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m，长为长为L的匀质柔软绳索的匀质柔软绳索(如图如图)，设绳与圆盘无相对滑，设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的时，绳的加速度的大小。大小。x01x2xs解解:受力分析如图受力分析如图:gxLm22Tr2T 1T NgrLmM)( gxLm11T二、二、 例题例题13x01x2xsgxLm22Tr2T 1

9、T NgLmrM)( gxLm11T1111axLmTgxLm (1);2222axLmTgxLm (2) )21(2212rLmrMrrTrT (3);2211;TTTT (4) raaa 21(5)21xxrL (6)12xxs (7)解得解得:LMmsmga)2( 1a2a 142.固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴平对称轴00转动，设大小圆柱的半径分别为转动，设大小圆柱的半径分别为R和和r，质量分别为质量分别为M和和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体和物体m2相连，相连，m1和和m2则挂

10、在圆柱体的两侧，如图则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设所示，设R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。张力。1m2moo 解：受力分析如图解：受力分析如图)1(1111amTgm )2(2222amgmT 1mgm11T2mgm22T1T 2T )3()2121(2221 mrMRrTRT ).7();6();5();4(221121TTTTraRa ).(13. 62121)(222212221 sradrmRmmrMRgrmRm NRmgmTT2 .171111 NrmgmT

11、T8 .202222 1a2a153.长为长为L的均匀细杆可绕过端点的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动。把杆的固定水平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌面上的小球面上的小球m相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度弹性的，求碰后小球获得的速度. 00 vL解解:机械能守恒机械能守恒:0)31(212202 mLLmg碰撞碰撞:角动量守恒角动量守恒,机械能守恒机械能守恒. )31()31(202mLmLvmL 222202)31

12、(2121)31(21 mLmvmL 解得解得:gLv321 (1)(2)(3)16ff 对于对于(2)式式,也可从如下得到也可从如下得到:设碰撞时间为设碰撞时间为:t v 0 对小球由质点的动量定理对小球由质点的动量定理:mvtf 对棒由角动量定理对棒由角动量定理:L0.)(0 JJtLf 231mLJ ff 0223131 mLmLmLv 174. 4. 一半径为一半径为R R0.30 m0.30 m，质量为，质量为M M15 kg15 kg，质量均匀，质量均匀分布的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转分布的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在

13、绳的下端动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量悬一质量m m8.0 kg8.0 kg的物体。不计圆柱体与轴之间的的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求物体自静止下落，摩擦，求物体自静止下落，5 s5 s内下降的距离。内下降的距离。 mMoR解：受力分析如图解：受力分析如图gmT T)1(maTmg )2(212 MRTR )3(TT )4( Ra Mmmgth 22解得：解得：)5(212ath )(2 .63m 18 例例1、 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内

14、距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子子弹射入竿的过程系统角动量守恒弹射入竿的过程系统角动量守恒 )31(22malmam voamv302233malmam v m射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .)30cos1(2 lgm 222)31(21 malm)30cos1( mgamamalmmalmg6)3)(2)(32(22 v19 例例2：长为：长为L的匀质细棒，一端悬于的匀质细棒，一端悬于O点，

15、自由下垂，点，自由下垂，紧接紧接O点悬一单摆，轻质摆绳的长为点悬一单摆，轻质摆绳的长为L，摆球的质量为，摆球的质量为m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完全弹性碰撞，碰后单摆停止。全弹性碰撞，碰后单摆停止。 求：求：(1) 细杆的质量；细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大角度细杆摆动的最大角度OLm解解: :)1 (212mgLmv 球下摆机械能守恒球下摆机械能守恒)2( JmvL 球与细杆作完全弹性碰撞球与细杆作完全弹性碰撞角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：)3(212122 Jmv )4()cos1(2212 LMgJ杆

16、摆动机械能守恒：杆摆动机械能守恒：解得解得: :31cos3 mM231MLJ v 20例题例题3、一均匀圆盘、一均匀圆盘,质量为质量为M,半径为半径为R,可绕铅直轴可绕铅直轴自由转动自由转动,开始处于静止状态开始处于静止状态,一个质量为一个质量为m的人的人,在在圆盘上从静止开始沿半径为圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动的圆周走动,如图所示如图所示.求当人走完一周回到盘上原位置时求当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面圆盘相对于地面转过的角度转过的角度. .rR rv解解: :,rv设设人人对对盘盘的的速速率率为为 圆盘绕轴的角速度为圆盘绕轴的角速度为 rvvr 人人对对地地速速度度为

17、为v 由人、圆盘组成的系统对铅由人、圆盘组成的系统对铅直轴角动量守恒直轴角动量守恒021)(2 MRrrvmr2221:MRmrmrvr 解得解得21. .rR rvvdtd :由由于于0, 0:0 t初初始始 trtMRmrdtmrvdt022021 trdtvMRmrmr02221222212MRmrmr 式中式中: :负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反. .2221MRmrmrvr 22例例4：一根长为：一根长为l，质量为，质量为m的匀质细杆，一端与光滑的匀质细杆，一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定的水平轴相连，可在竖直平

18、面内转动，另一端固定一质量也是一质量也是m的小球，且小球半径的小球，且小球半径Rl。设杆由水平。设杆由水平位置自由释放。位置自由释放。求：杆下摆至任意角度时的角速度和角求：杆下摆至任意角度时的角速度和角 加速度加速度 mgmgO23解：细杆在下摆过程中，解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，重力矩作用杆的质心处，即：即： cos21 lmgM小球的重力矩：小球的重力矩： cos2 lmgM由转动定律：由转动定律：222131mlmlJJJJMM 球球杆杆 所以有：所以有： )31(coscos222mlmllmglmg 即：即：lg8cos9 mgmgO24 dlgdlgdddtdddd

19、td8cos98cos9 即：即： 008cos9dlgd解得：解得：lg4sin9 mgmgO利用机械能守恒定律求解：利用机械能守恒定律求解：021sin2sin2 Jmglmgl2231mlmlJ 25 例题例题5、如图、如图,一矩形匀质薄板一矩形匀质薄板ABCD,长为长为l、宽、宽为为d、质量为、质量为m。板绕竖直轴。板绕竖直轴AB以初角速度以初角速度 转动，转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？减为初角速度的一半？0 解：

20、这是定轴转动问题，利用解：这是定轴转动问题，利用定轴转动定律求解。定轴转动定律求解。如图：取面元如图：取面元ldxds x dxABCDld xo受阻力：受阻力：ldxxkdf2)( 对轴的阻力矩：对轴的阻力矩：dxlxkdM32 所有对轴的阻力矩：所有对轴的阻力矩：4203241ldkdxlxkMd 26x dxABCDld xo4203241ldkdxlxkMd 面密度：面密度：ldm ，板对轴的转动惯量：，板对轴的转动惯量：23023131mdldldxxJd 由定轴转动定律：由定轴转动定律：dtdJM dtdmdldk 2423141 即：即：22200034 dkldmdtt 解得：

21、解得：0234 kldmt 27 例题例题6.装置如图所示装置如图所示,绳的上端绕在圆柱上绳的上端绕在圆柱上,下端系一重下端系一重物物,质量为质量为m.重物自然下垂重物自然下垂,由静止开始下落由静止开始下落,并带动圆柱并带动圆柱自由转动自由转动.求重物降落高度为求重物降落高度为h时的速率时的速率v.已知圆柱的质已知圆柱的质量为量为M,半径为半径为R.(绳子的质量不计且不可伸长绳子的质量不计且不可伸长.) MhmvR解解: :恒恒地组成的系统机械能守地组成的系统机械能守Mm,222)21(2121 MRmvmgh （1 1） Rv （2 2）mMmghv22: 解解得得TT gm法二法二: :m

22、aTmg 221MRTR RaTT ;Mmmga 22 ahv2mMmgh22 28 例题例题7.7.如图所示如图所示, ,两个均匀圆柱各自绕自身的轴转两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动动, ,两轴互相平行两轴互相平行. .圆柱半径分别为圆柱半径分别为 质量分别质量分别为为 . .开始时两柱分别以角速度开始时两柱分别以角速度 同向旋转同向旋转. .然后缓缓移动它们然后缓缓移动它们, ,使之相互接触使之相互接触. .求两柱的最终角速求两柱的最终角速度度 21,RR21,MM21, .,21 1M1 1R2M 2 2R 1M2M 1 2 1R2R1f2f解解: :2211 RR（1 1）)(11111

23、1 JJdtfR(2)(2)(222222 JJdtfR（3 3）21ff （4 4）2222211121;21RMJRMJ （5 5）)(2112221111MMRRMRM )(2122221112MMRRMRM 29 例题例题8. 如图，已知：如图，已知：木板宽木板宽L=0.60m、质量、质量M =1kg，木板绕木板绕水平固定光滑水平固定光滑OO轴的转动惯量为轴的转动惯量为J=ML2/3。质质量为量为m=1010-3kg的的子弹子弹以以v0 =500m/s速率，距速率，距OO轴为轴为l = 0.36m处垂直射穿木板，处垂直射穿木板，子弹穿出木板后速率为子弹穿出木板后速率为v=200m/s。求求:（1）子弹给木板的冲量；）子弹给木板的冲量； （2）木板获得的角速度。）木板获得的角速度。OO Llv0vA30解解（1）由动量定理，得）由动量定理，得sNmvmvI 3)(0（2）由角动量守恒，得）由角动量守恒，得 Jmvllmv 0231MLJ 其中：其中：srad /9 解得：解得：OO Llv0vA木板给子弹的冲量木板给子弹的冲量sNmvmvI 30子弹给木板的冲量子弹给木板的冲量31v0v0Oxdx2L23L 例题例题9. 已知：棒长已知：棒长2L，