函数极值和其求法

1、整理课件整理课件函数的极值及其求法函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论值得我们作一般性的讨论.整理课件整理课件一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x

2、6xoxyoxy0 x0 x整理课件整理课件二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x整理课件整理课件注注这个结论又称为

3、这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。即可得到解决。整理课件整理课件(1)(1)如果如果),(

4、00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. .定理2(第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)000(, )fxUx设 在点 连续，在某邻域内可导整理课件整理课件xyoxyo

5、0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)整理课件整理课件00,( )xxfx0因为在区间上，000 (,);f(x)f(x )xxx00,( )xxf x所以在区间上单调增( )f x所以单调减0( ) f x故为极大值000( )( ) ,f xf xxx x(1),(2)(3) 证 只证与类似证明。00,( )0 xx xf x当时，整理课件整理课件例1解963)(2

6、 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx32( )395.f xxxx求出函数的极值整理课件整理课件593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下整理课件整理课件2例32( )(1).f xxx求函数的极值解232(1)( )33xfxxx3523xx( )02fxx5令得驻点；0( )xfx当时，不存在列表讨论如下：32 0(0)0( )20523xxff525 为极大点，为极小点，

7、极大值，极小值222 (, 0) 0 (0,) (,) 555x 33 0( 20 25f(x) 极大）（极小） f (x) 不存在0整理课件整理课件定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值整理课件整理课件例3解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf.

8、 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下整理课件整理课件Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 整理课件整理课件例4解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值

9、为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M整理课件整理课件例例5)0(12,02 aeaxxxx时时证证明明证证xeaxxxf 12)(2记记xeaxxf 22)(则则（不易判明符号）（不易判明符号）xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx时时当当0)(,2ln xfx时时当当的的一一个个极极大大值值点点是是)(2lnxfx 而且是一个最大值点，而且是一个最大值点， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx时时0)0()( fxfxeaxx 122即即

10、整理课件整理课件例6 20( ).10 xxxf xxx求出函数的极值)ln1(2)(02xxxfxx 时时，.)(,0可可能能不不存存在在时时当当xfx ,1 ex得驻点得驻点无驻点，无驻点，时，时，, 1)(0 xfx, 01 exx有两个可疑点：有两个可疑点：是是极极小小值值的的极极大大值值，为为经经判判断断知知，)()(1)0(1 efxff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf解解整理课件整理课件定理定理4 4 ( (判别法的推广判别法的推广) )0( )f xxn若函数在点有直到阶导,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数 , 且1) 当当 为偶数

11、为偶数时时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点是极小点 ;,0)(0)(时xfn0 x是极大点是极大点 .2) 当当 为奇数为奇数时时,n0 x为极值点为极值点 , 且且0 x不是极值点不是极值点 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当当 充分接近充分接近 时时, 上式左端正负号由右端第一项确定上式左端正负号由右端第一项确定 ,0 xx故结论正确故结论正确 .证证: 利用利用 在在 点的泰勒公式点的泰勒公式 ,)(xf0 x可得可得整理课件整理课件三、最值的求法三、最值的求法o

12、xyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在为为零零的的点点，则则并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数处处可可导导，上上连连续续，除除个个别别点点外外处处在在若若函函数数baxfbaxf整理课件整理课件)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例7. 7. 求函数求函数xxxxf1292)(23在闭区间在闭区间,2541上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .解解: 显然显然, ,)(2541Cxf且且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862

13、xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在故函数在0 x取最小值取最小值 0 ; 在在1x及及25取最大值取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx整理课件整理课件点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例8 8敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射

14、击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？整理课件整理课件解解公公里里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最最小小值值点点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分分钟钟射射击击最最好好处处发发起起追追击击后后故故得得我我军军从从B整理课件整理课件思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.整理课件整理课件思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1