高考数学复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 理

1、第四节基本不等式及其应用总纲目录教材研读1.基本不等式考点突破2.几个重要的不等式3.利用基本不等式求最值考点二基本不等式的实际应用考点二基本不等式的实际应用考点一利用基本不等式求最值考点三含参问题考点三含参问题教材研读教材研读1.基本不等式基本不等式(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.ab2ab2abab2.几个重要的不等式几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)(a,bR),当且仅当a

2、=b时取等号.(4)+2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.22ab222ab22abbaab3.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小小值,是2.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大大值,是.(简记:和定积最大)p24s1.(2017北京朝阳二模,3)“x0,y0”是“+2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件yxxyA答案答案A当x0,y0时,由基本不等式得+2(当且仅当x=y时取等号)成立;当x0,y0,0,此时

3、+2仍然成立,所以选A.yxxyxyyxyxxy2.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有()A.最大值0B.最小值0C.最大值-4D.最小值-41xC答案答案Cx1,则x+3”是假命题的实数x的值为2.11x答案答案2解析解析x1,x-10,x+=x-1+13,当且仅当x-1=,即x=2时,取“=”,当x=2时,x+3是假命题.11x11x11x11x5.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为4,此时x=.232答案答案4;232解析解析由题意得=,即x+2y=3,则2x+4y2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.22(4)xy22

4、(2)xy24xy22xy32232考点一利用基本不等式求最值考点一利用基本不等式求最值考点突破考点突破典例典例1(1)已知a0,b0,且4a+b=1,求ab的最大值;(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;(3)已知正数x,y满足x+2y=1,求+的最小值.2x1y解析解析(1)解法一:a0,b0,4a+b=1,1=4a+b2=4,当且仅当4a=b=,即a=,b=时,等号成立.,ab.所以ab的最大值为.解法二:4a+b=1,ab=4ab=,当且仅当4a=b=,即a=,b=(满足a0,b0)时,等号成立,所以ab的最大值为.(2)由x+3y=5xy(x0,y0),得+=

5、5,4abab121812ab141161161414242ab1161218121163x1y则3x+4y=(3x+4y)=(13+12)=5.当且仅当=,即x=2y时,“=”成立,此时由解得(满足x0,y0).故3x+4y的最小值为5.(3)因为正数x,y满足x+2y=1,1531xy1512313yxxy15123132yxxy1512yx3xy2 ,35xyxyxy1,12xy所以+=(x+2y)=2+2=4+4+2=8,当且仅当=,即x=2y时取等号.所以+的最小值为8.2x1y21xy4yxxy4yxxy4y xxy4yxxy2x1y方法技巧方法技巧(1)利用基本不等式解决条件最值

6、问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.1-1已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得=4a1,则+的最小值为()A.B.C.D.不存在mna a1m4n3253256A答案答案A由题意可知a5q2=a5q+2a5(q0),且a50,化简得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍

7、去).由=4a1,得a1qm-1a1qn-1=16,qm+n-2=16=24,m+n=6,+=,当且仅当=,即m=2,n=4时,等号成立.mna a21a1m4n14mn6mn1645mnnm16452m nnm324mnnm1-2已知a1,且a-b=2,则a+的最小值是3.11b答案答案3解析解析由a-b=2得a-1=b+1,所以a+=a-1+12+1=3,当且仅当a-1=,即a=2,b=0时,等号成立.11b11b1(1)1ab11b1-3设0 x0),当且仅当y=x时取等号,所以(x+y)的最小值为(+1)2,于是(+1)29恒成立.所以a4,故选B.(2)因为a0,b0,+=1,所以a

8、+b=(a+b)=10+10+2=16(当且仅当a=4,b=12时取等号),由题意,得16-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,1axyyxaxyaaa1axyaa1a9b19abba9ab9即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,又因为x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.易错警示易错警示1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正各项都是正数;二定和或积为定值;三相等等号能取得”,这三个条件缺一不可.2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.3-1已知函数f(x)=x+2的值域为(-,04,+),则a的值是()A.B.C.1D.2ax1232答案答案C由题意可得a0,当x0时,f(x)=x+22+2,当且仅当x=时取等号;当xm2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-