《提公因式法》1

1、第二章第二章 分解因式分解因式2.2 2.2 提公因式法（一）提公因式法（一）1.1.多项式的分解因式的概念：多项式的分解因式的概念： 把一个多项式化为把一个多项式化为_的形的形式，叫做把这个多项式分解因式式，叫做把这个多项式分解因式. .2.2.分解因式与整式乘法是分解因式与整式乘法是_的过程的过程. .3.3.分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点: : 分解的分解的对象对象必须是必须是_._. 分解的分解的结果结果是几个整式的是几个整式的_的形式的形式. .几个整式的积几个整式的积互逆互逆多项式多项式乘积乘积ax ax ayay ma + ma + mbmb + mc + mc 2

2、R + 2r 2R + 2r 观察下列各式的结构有什么共同观察下列各式的结构有什么共同特点？特点？多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式，叫做叫做这个多项式各项的这个多项式各项的公因式公因式. . 1) a c+ b c 2)3 x2 +9xy 3) a2 b 2a b2 + ab 4) 4xy2-6xy+8x3y（1）确定下列各多项式中的公因式？）确定下列各多项式中的公因式？小组探究过关武器：小组探究过关武器：c 3x ab 2xy（2 2）多项式中的公因式是如何确定的？）多项式中的公因式是如何确定的？( (交流探索）交流探索） 怎样根据多项式的各项确定怎样根据多项式的各项

3、确定多项式的公因式？多项式的公因式？1.1.系数：系数：公因式的系数是多项式各项系数的公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；最大公约数；2.2.字母：字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母取多项式各项中都含有的相同的字母；的字母；3.3.指数：指数：相同字母的指数取各项中指数最小相同字母的指数取各项中指数最小的一个，即字母的最低次幂的一个，即字母的最低次幂. .例例: : 找找 3x3x2 2y y2 2 6xy 6xy3 3 的公因式。的公因式。系数：最大公约数系数：最大公约数3字母：相同字母指数：字母：相同字母指数：最低次幂最低次幂xy2 所以，所以， 3x3x2 2y y2 2 6

4、xy 6xy3 3的公因式是的公因式是3xy3xy2 2因为因为写出下列多项式各项的公因式：写出下列多项式各项的公因式：(1)(2)(3)(4) 牛刀小试牛刀小试872x222axyyxa32224xxx233642a ba bab8axy2x2ab例例: 找找 2 x2+ 6 x3 的公因式。的公因式。定系数定系数2定字母定字母x 定指数定指数2所以，公因式是所以，公因式是 2 x22 +6x3= 2x2+ 2x2 .3x = 2x2 (1+3x)2x 如果一个多项式的各项含有公因式，那么如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式就可以把这个公因式提出来，从而

5、将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做方法叫做提公因式法。提公因式法。2 X + 6 x = 2 X (1 +3 X)232 （1） 3a2-9ab233933aa aab ab例例1 将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：解：原式解：原式 =3aa-3a3b =3a(a-3b) 方法步骤：方法步骤：1.找出公因式；找出公因式；2.提出公因式（用多项式提出公因式（用多项式中每一项除以公因式，得中每一项除以公因式，得提取后的另一个因式）提取后的另一个因式）3.将多项式化成两个因式 乘积的形式。 例2 把9x26xy+3xz分解因式.=3x3

6、x - 3x2y + 3xz 解：解：=3x (3x-2y+z)9x2 6 x y + 3x z 当多项式的某一项和当多项式的某一项和公因式相同时，提公因公因式相同时，提公因式后剩余的项是式后剩余的项是1 1。错误错误小颖解的有误吗？小颖解的有误吗？把把8a8a3 3b2 12ab 12ab 3 3 c c + + abab分解因式分解因式. .解：解： 8 a3b2 12ab3c + ab = ab8a2b - ab12b2 c +ab1 = ab(8a2b - 12b2c)例例3 3例例4： 24x3 12x2 +28x 解：原式解：原式=(324x212xx28)(x426xx4x3x4

7、)7=x4(26xx3)7当多项式第一项系数是负当多项式第一项系数是负数，通常先提出数，通常先提出“ ”号，号，使括号内第一项系数变为使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都正数，注意括号内各项都要变号。要变号。把下列各式分解因式，你有什么要注意的？把下列各式分解因式，你有什么要注意的？合作交流合作交流;) 1 (222axyyxa.8122) 3(322xyxyx.242)2(23xxx注意：注意： (1)公因式要提尽；公因式要提尽； (2)防止漏项；防止漏项； (3)首项为负先提出。首项为负先提出。 提公因式法分解因式提公因式法分解因式1. 正确的找出多项式各项的公因式，正确的找出多项

8、式各项的公因式， 多项式多项式是几项，提公因式后也剩几项；是几项，提公因式后也剩几项；2. 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后该项剩余式后该项剩余1（不能漏写（不能漏写1)；3. 当多项式第一项系数是负数当多项式第一项系数是负数,通常先提出通常先提出“- -”号，使括号内第一项系数变为正数（注意括号，使括号内第一项系数变为正数（注意括号内各项都要变号）。号内各项都要变号）。 把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式：（1 1）1212x x2 2y+18xyy+18xy2 2； （2 2）-x-x2 2+xy-xz+xy-xz；（3 3）2x2x

9、3 3+6x+6x2 2+2x+2x现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。你认为他们的解法正确吗？试说明理由。甲同学：甲同学：解解:12:12x x2 2y+18xyy+18xy2 2 =3xy(4x+6y)=3xy(4x+6y)乙同学：乙同学：解解:- :-x x2 2+xy-xz+xy-xz =-x(x+y-z) =-x(x+y-z)丙同学：丙同学：解解:2:2x x3 3+6x+6x2 2+2x+2x =2x(x =2x(x2 2+3x)+3x)找错误找错误提公因式法分解因式与单项式提公因式法分

10、解因式与单项式乘多项式有什么关系？乘多项式有什么关系？ 提公因式法与单项式乘多项式提公因式法与单项式乘多项式是是互逆的恒等变形互逆的恒等变形. . 25x-5 3x 3-3x2 9x 8a2c+ 2bc - -4a3b3 +6a2b-2ab - -2x212xy2 +8xy3 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：答案：答案： 5(5x+1) 3x(x2x3) 2c(4a2+b) - -2ab(2a2b2- -3a+1) - -2x(x+6y2- -4y3)2 2、确定公因式的方法：确定公因式的方法：小结与反思小结与反思3 3、用、用提公因式法分解因式提公因式法分解因式的步骤的步骤：1、什么叫公什么叫公因式因式、提公因式法、提公因式法？4 4、用提公因式法分解因式应注意的问题：、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1 1）公因式要提尽；）公因式要提尽；（2 2）小心漏项）小心漏项; ;（3 3）首项为负与众不同。）首项为负与众不同。第一步，找出公因式；第一步，找出公因式； 第二步，提公因式；第二步，提公因式； 第三步，第三步，把多项式化把多项式化成两个因式乘积的形式。成两个因式乘积的形式。1)1)定系数定系数 2) 2)定字母定字母 3) 3)定指数定指数1、找出下列各多项式的公因式：、找出下列各多项式的公因式：（1）4x+8y （2）am+an