洛必达必做题

1、2-71. 已知y=x3-x, 计算在x=2处当Dx分别等于1, 0.1, 0.01时的Dy及dy.解 Dy|x=2, Dx=1=(2+1)3-(2+1)-(23-2)=18, dy|x=2, Dx=1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=1=11;Dy|x=2, Dx=0.1=(2+0.1)3-(2+0.1)-(23-2)=1.161, dy|x=2, Dx=0.1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.1=1.1;Dy|x=2, Dx=0.01=(2+0.01)3-(2+0.01)-(23-2)=0.110601, dy|x=2, Dx=0.01=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.

2、01=0.11. 2. 设函数y=f(x)的图形如图所示, 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Dy及Dy-dy并说明其正负. 解 (a)Dy>0, dy>0, Dy-dy>0. (b)Dy>0, dy>0, Dy-dy<0. (c)Dy<0, dy<0, Dy-dy<0. (d)Dy<0, dy<0, Dy-dy>0. 3. 求下列函数的微分: (1); (2) y=x sin 2x ; (3); (4) y=ln2(1-x); (5) y=x2 e2x ; (6) y=e-xcos(3-x);

3、 (7); (8) y=tan2(1+2x2); (9); (10) s=A sin(wt+j) (A, w, j是常数) .解 (1)因为, 所以. (2)因为y¢=sin2x+2x cos2x, 所以dy=(sin2x+2x cos2x)dx. (3)因为, 所以. (4). (5)dy=y¢dx=(x2e2x)¢dx=(2xe2x+2 x2e2x)dx=2x(1+x) e2x. (6) dy=y¢dx=e-xcos(3-x)dx=-e-xcos(3-x)+e-xsin(3-x)dx=e-xsin(3-x)-cos(3-x)dx . (7). (8)

4、 dy=dtan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)dtan(1+2x2)=2tan(1+2x2)×sec2(1+2x2)d(1+2x2)=2tan(1+2x2)×sec2(1+2x2)×4xdx=8x×tan(1+2x2)×sec2(1+2x2)dx. (9). (10) dy=dAsin(w t+j) =Acos(w t+j)d(wt+j)= Aw cos(wt+j)dx .4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: (1) d( )=2dx ; (2) d( )=3xdx;(3) d( )=costdt; (4) d( )=sin

5、wxdx; (5) d( ); (6) d( )=e-2xdx ; (7) d( ); (8) d( )=sec23xdx .解 (1) d( 2x+C )=2dx . (2) d()=3xdx.(3) d( sin t+C )=costdt. (4) d()=sin wxdx. (5) d( ln(1+x)+C ). (6) d()=e-2xdx. (7) d(). (8) d()=sec23xdx . 5. 如图所示的电缆的长为s, 跨度为2l, 电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f, 则电缆长可按下面公式计算:,当f变化了Df时, 电缆长的变化约为多少？解 . 6. 设扇形的圆心角a=

6、60°, 半径R=100cm(如图), 如果R不变, a 减少30¢, 问扇形面积大约改变了多少？又如果a 不变, R增加1cm, 问扇形面积大约改变了多少？解 (1)扇形面积, . 将a=60°, R=100, 代入上式得(cm2). (2) .将a=60°, R=100, DR=1代入上式得(cm2). 7.计算下列三角函数值的近似值: (1) cos29° (2)tan136°.解 (1)已知f (x+Dx)»f (x)+f¢(x)Dx, 当f(x)=cos x时, 有cos(x+Dx)»cos x

7、-sin x×Dx , 所以cos29°=. (2)已知f (x+Dx)»f (x)+f¢(x)Dx, 当f(x)=tan x时, 有tan(x+Dx)»tan x+sec2x×Dx, 所以tan136°=. 8. 计算下列反三角函数值的近似值 (1) arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995.解 (1)已知f (x+Dx)»f (x)+f¢(x)Dx, 当f(x)=arcsin x时, 有,所以»30°47¢¢. (2)已知f (x+Dx)&

8、#187;f (x)+f¢(x)Dx, 当f(x)=arccos x时, 有,所以»60°2¢. 9. 当较小时, 证明下列近似公式: (1) tan x»x (x是角的弧度值); (2) ln(1+x )»x; (3),并计算tan45¢和ln1.002的近似值. (1)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)»f(x0)+f¢(x0)Dx, 取f(x)=tan x, x0=0, Dx=x, 则有 tan x=tan(0+x)»tan 0+sec20×x=sec20×x=x

9、. (2)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)»f(x0)+f¢(x0)Dx, 取f(x)=ln x, x0=1, Dx=x, 则有 ln(1+x)»ln1+(ln x)¢|x=1×x=x. (3)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)»f(x0)+f¢(x0)Dx, 取, x0=1, Dx=x, 则有. tan45¢»45¢»0.01309; ln(1.002)=ln(1+0.002) »0.002. 10.计算下列各根式的的近似值: (1); (2).解 (1)设, 则当|x|较小时, 有, . (2)设, 则当|x|较小时, 有, 于是. 11.计算球体体积时, 要求精确度在2%以内, 问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？解 球的体积为, , 因为计算球体体积时, 要求精度在2%以内, 所以其相对误差不超过2%, 即要求, 所以 , 也就是测量直径的相对误差不能超过. 12. 某厂生产如图所示的扇形板, 半径R=200mm, 要求中心角a为55°. 产品检验时, 一般用测量弦长l的办法来间