2021年中考数学真题分项汇编专题34 函数与几何综合问题（解答题）-（解析版）

1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期） 专题34函数与几何综合问题（解答题）一、解答题1（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D若，求证：若，求四边形的面积（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，4，9，1【分析】（1）等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明；添加辅助线，过点A作于点H

2、，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则；（2）分多钟情况进行讨论：当点C在第二象限内，时；当点C在第二象限内，时；当点C在第四象限内，时【详解】解：（1）证明：如图1，而，如图1，过点A作于点H由题意可知，在中，设，解得，：（2）过点A作于点H，则有如图2，当点C在第二象限内，时，设，又，整理得，解得如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，则，又，而，当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有(a)如图4，点B在第三象限内在中，又，而，(b)如图5，点B在第一象限内在中，又，而，综上所述，的长为，4，9，1【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、

3、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑2（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，连结直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结（1）求的半径和直线的函数表达式（2）求点，的坐标（3）点在线段上，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或【分析】（1）由，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式；（2）先作辅助线构造相似三角形，求出，即可得到点为，点为；（3

4、）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解【详解】解：（1），为的直径，点为，半径为设直线的函数表达式为把，代入得，解得直线的函数表达式为；M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为（2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1）， ，且，点为点，关于点对称，点为（3）作轴于点，分三种情况（如图2）：作轴于点，即点为符合条件的一个点当时，（），当时，,，综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、

5、全等三角形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强，对学生的分析能力要求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨论的思想方法3（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为（1）求一次函数的表达式：（2）求点的坐标及外接圆半径的长【答案】(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为【分析】(1)过D点作DEy轴交x轴于H点，过A点作EFx轴交DE于E点，过B作BFy轴交EF于F点，证明

6、ABFDAE，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，RtCPD外接圆的半径即为CP的一半【详解】解：(1)过D点作DEy轴交x轴于H点，过A点作EFx轴交DE于E点，过B作BFy轴交EF于F点，如下图所示：与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，DH:OA=1:4，设，则，ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90°，BAF+EAD=90°，BAF+FBA=90°，FBA=EAD，在ABF和DAE中： ,ABFDAE(AAS)， 又，解得(负值舍去)，

7、代入中， ，解得 ，一次函数的表达式为；(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，整理得到：，解得 ，点的坐标为；D点的坐标为（4,1）四边形ABCD为正方形，且，在中，由勾股定理：，又CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，CPD外接圆的半径为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标4（2021·江苏中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，设（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，当时

8、，求线段的长；在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式【答案】（1）；，h最大值=；（2）【分析】（1）过点F作FMBC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案；（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解

9、析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：当0m时，当m时，分别求解即可【详解】解：（1）过点F作FMBC，交BC的延长线于点M，在等腰直角三角形中，AE=FE，在正方形中，B=90°，BAE+AEB=FEM+AEB，BAE=FEM，又B=FME，FM=BE=，EM=AB=BC，CM=BE=，CF=；BAE=FEC，B=ECP=90°，即：，CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，GAB=QAD，GB=DQ，EAF=45°，BAE+QAD=BAE+GAB=90°-45°=45°，即：GAE=

10、EAF=45°，ABG=ABE=90°，B、G、E三点共线，又AE=AE，EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，在中，即：，DQ=，EQ= DQ+BE=+m=，QP=1-()=，即：×(1-m)= ×h，=，即m=时，h最大值=；（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，直线m过AB的中点且垂直AB，直线m的解析式为：x=，过点F作FMx轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，F(1+m，m)，设AE的解析式为：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，AE的解析式为：y=

11、x+1，同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，当0m时，如图，G(，)，N(，m-m2)，y=-(m-m2)=，当m时，如图，G(，)，N(，)，y=-=，综上所述：【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键5（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点、，点在一次函数的图像上（1）如图，在点、中，点M的关联点是_（填“

12、B”、“C”或“D”）；若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_；（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标【答案】（1）B；（2）或；（3）或【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式

13、求解即可；（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可【详解】解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，即顺时针旋转时，解得：，即关联点，或逆时针旋转时，解得：，即关联点，即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，（1）由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关

14、联点；若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；故答案为：B；由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或， 若，解得：，此时即点，不在线段上；若，解得：，此时即点，在线段上；综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点故答案为：；（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，又因为点在一次函数的图像上，即：，点在线段上，点、，当， 或，当；综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点 （3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，又因为在一次函数的图像上，

15、即：，点，若，解得：，即点，若，解得：，即点，综上所述：或【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解6（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-80；（3）4【分析】（1）根据一次函数的图象与性质即可求出

16、A、B两点的坐标；（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；（3）根据圆周角性质可得，由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果【详解】解：（1）当时，解得，A（-8，0）当时，B（0，4）（2）A（-8,0），点P在直线上，点P在第二象限，0，且0解得-80；（3）B（0，4），为的外接圆，设，则当最小时，的面积最小当时，有最小值，且为的直径即的半径为4【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是

17、解题的关键7（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），顶点为C平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MNCE时，请直接写出点K的坐标【

18、答案】（1）；（2）F（-4，3），（3）【分析】（1）根据待定系数法将点A（1，0），B（0，3）代入抛物线yx2+bx+c，即可求出原抛物线解析式；（2）根据新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点可知抛物线平移方式为右移4个单位下移1个单位，从而确定新抛物线解析式，进而确定点C、D、G坐标，由以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形即可确定点F坐标的可能位置，判断是否在原抛物线或新抛物线上即可解答；（3）由，MNCE，可知M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，故可设点M坐标为（a，b），可得点N坐标为（a+4，b-1），由图像可知M在新抛物线、N在原抛物线上，据此列

19、方程求出点M、N坐标，由直线MN解析式即可求出与y轴交点坐标即K点坐标【详解】解：（1）由抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），得： ，解得：，原抛物线对应的函数表达式为：；（2）由（1）得：原抛物线为：，故顶点C坐标为 新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，新抛物线对应的函数表达式为：，即：故新抛物线顶E点坐标为，与y轴交点G坐标为，以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为时，点F坐标为，即，根据平移性质可知：一定在原抛物线；当平行四边形为时，点F坐标为，

20、即，此时；故不在新抛物线上，综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是时，F的坐标为；（3），MNCE，M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线，解得： ，即M点坐标为，点N坐标为，设直线MN解析式为，解得：，即：，故直线MN与y轴交点K坐标为【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、函数图像与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，掌握图像平移的性质确定函数解析式和点的坐标是解题关键8（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次

21、函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标【答案】（1）；（2），点C的坐标为【分析】（1）先求出A点坐标，再用待定系数法即可求解；（2）根据已知条件求出B坐标，再求出D的坐标，然后用待定系数法求出解析式，再联立解析解出即可【详解】（1）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：a2，故，将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k6，故反比例函数表达式为：y（x0） ；(2)是以为底的等腰三角形，设一次函数AD的表达式为：ykx+b 得：

22、 解得：解析式为：联立反比例函数和直线AD的解析式得解得（舍去）或点C的坐标为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，要注重数形结合，把函数转化成方程，体现了方程思想，综合性较强9（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；（2）连接、，记、的面积分别为、，设，求的最大值【答案】（1），D点横坐标为；（2）【分析】（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和

23、D点在直线l上即可得到D点横坐标；（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可【详解】解：（1），A点横坐标为1,A点在一次函数的图像上，,A点也在反比例函数图像上，反比例函数解析式为：，直线轴，D点纵坐标为t，D点在直线l上，D点横坐标为，综上可得：，D点横坐标为（2）直线轴，交于点，交图像于点，E点纵坐标为t，将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，A点到DE的距离为，轴于点，当时，最大=；的最大值为【点睛】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的

24、点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等10（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值【答案】【分析】先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案【详解】解：把代入，得轴，点横坐标为把代入，得点为的中点，点在直线上，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的

25、知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键11（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，连接反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、一次函数的图象经过、两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为_【答案】（1）, ；（2）【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求【详

26、解】（1） 四边形是矩形， 为线段的中点 将代入，得 将，代入，得： ，解得 （2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键12（2021·广西中考真题）如图，在中，于点，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接（1）当矩形是正方形时，直接写出的长；（2）设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要

27、求写出自变量的取值范围）；（3）如图，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由【答案】（1）；（2）；（3）6【分析】（1）直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出：，进一步计算即可；（2）先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出，代入化简即可；（3）设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，列出面积的表达式求解即可【详解】解：（1）根据题意：可知均为等腰直角三角形，则，DC=8，AC=，；（2）四边形EFGH为矩形，在中，；（3）由（2）得P在上，设l：，则，当面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，令，

28、得，则，【点睛】本题主要考查正方形性质，矩形的性质，勾股定理，特殊角锐角三角函数，反比例函数与一次函数综合问题，能够根据题意列出相应的方程是解决本题的关键13（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用（理解）（1）如图1，垂足分别为C、D，E是的中点，连接已知，分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；比较大小：_（填“”、“”或“”），并用含a、b的代数式表示该大小关系（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n设，记当时，_；当时

29、，_；通过归纳猜想，可得l的最小值是_请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立【答案】（1），=；，；（2），1；l的最小值是1，理由见详解【分析】（1）先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；（2）把m，n的值直接代入=进行计算，即可；过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论【详解】解：（1），ACD+A=ACD+BCD=90°，即：A=BCD，又ADC=CDB=90°，即：，即：（负值舍去），E是的中点，

30、=；，即：故答案是：；（2）当时，=，当时，=，故答案是：，1；l的最小值是：1，理由如下：由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，=（的面积+的面积）+的面积+（的面积+的面积）+（的面积+的面积+的面积 +的面积）= （的面积+的面积）+（的面积+的面积）+（的面积+的面积）+（的面积+的面积）+的面积=(1+1+1+1+的面积)1，l的最小值是1【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键1

31、4（2021·四川中考真题）已知反比例函数的图象经过点（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CHx轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；若，求证：【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）证明见详解；证明见详解【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；（2）利用锐角三角函数值tanEBO=，tanDBC=相等，可证EBO=DBC，利用平角定义DBC+OBC=EBO+OBC=180°即可；设AC与OD交于K，先证四

32、边形ABCD为矩形，可得KAD=KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由AKO为AKD的外角，可得AKO=2ADK，由ADOH 性质，可得DOH=ADK即可【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点，该反比例函数的表达式为；（2）设点C（），则B（2，），D（），OE=，BE=2，CD=3-，BC=，tanEBO=，tanDBC=，EBO=DBC，DBC+OBC=EBO+OBC=180°，点O，点B，点D三点共线；设AC与OD交于K，ADy轴，CBy轴，ADBCx轴，AFx轴，DHx轴，ABDC，四边形ABCD为平行四边形，AFx轴，ADx轴，AFAD，BAD=90°，四

33、边形ABCD为矩形，KAD=KDA，KA=KC=，AO=AK，AOD=AKO，又AKO为AKD的外角，AKO=KAD+KDA=2ADK，ADOH ，DOH=ADK，AOD=2DOH【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键15（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且（1）求

34、反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标【答案】（1）；（2）（0，14）或（0，-2）【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得出，再结合得出CF的长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式；（2）设P点坐标为（0，y），根据得出，从而确定点P的坐标；【详解】解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，AD=BC=8，CD=AB=3，E为AD的中点，DE=AE=4，CF=6，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），E，F两点在反比例函数

35、的图象上；-4a=-6（a-3），解得a=9，E（-4，9），k=-4×9=-36，反比例函数的解析式为；（2）a=9，C（0，6），点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），PC=|6-y|y=14或-2；点P的坐标为（0，14）或（0，-2）【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k16（2021·湖南中考真题）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，

36、作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方

37、程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标【详解】解：（1）抛物线经过，两点，解得：，该抛物线的函数表达式为：；（2）经过点A，直线：；设，则，抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称，M点横坐标为，；又，当时，的值最小，为；该矩形周长的最小值为；（3）存在，或；由（2）可知，抛物线的函数表达式为：；且，顶点D坐标为，如图4，作DEQM，因为，；又抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，令，解得：，；,，当F点在点A处时，能使得，此时;如图5，在BC另一侧，当时，过C点作CNBH，垂足为点N，由角平分线的性质可得：CN=CO=2，BN=

38、BO=4，由勾股定理可得：且,即，且；解得：，;设直线BH的函数解析式为：，直线BH的函数解析式为：，联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得：解得：（与B点重合，故舍去），或，综上可得，抛物线上存在点，使得，或【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等17（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）（

39、1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值【答案】（1），；点的坐标是（2）见解析【分析】（1）根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；（2）方

40、法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点（在的左边），令=0，解得：，点E在抛物线上，点的横坐标是，四边形ACDE是平行四边形，；设点坐标为，点坐标为四边形是平行四边形，将沿平移可与重合，点坐标为点在抛物线上，解得，所以连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为则，解得，（不合题意，舍去）点的坐标是 （2）方法一：证明：依题意，得，设直线解析式为，则，解得直线的解析式为同理，直线的解析式为设直线的解析式为联立，消去得直线与抛物线只有一个公共

41、点，联立，且，解得，同理，得，两点关于轴对称，的值为方法二：证明：同方法一得直线的解析式为设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为联立，消去得，解得直线的解析式为联立，且，解得点坐标为同理，点坐标为，的值为【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题18（2021·湖南中考真题）已知二次函数（1）若，求方程的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点、，且，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ，求证：

42、；连接BC，过点D作于点E，点在y轴的负半轴上，连接AF，且，求的值【答案】（1） （2）证明见解析；=2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可（2）通过条件，得到OC=OB，再根据ASA即可得到两个三角形角形全等通过分析条件，证明，得到，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可.【详解】解：（1）当，时，方程为：， （2）证明：，且，在与中， ，解：，又， ，且，,，在中，又，又， ，即：，=2或=-1（舍），【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .19（2021&#

43、183;内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点（1）如图1，当，且时，求点M的坐标：若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF若，求证：射线FE平分【答案】（1）；，见解析；（2）见解析【分析】（1）直接将点代入解析式，又有，即可解出坐标；相等，先求出点，由两点求出

44、直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线【详解】解：（1）如答案图6.点在抛物线上，且，解得，（舍去），点在该抛物线上，设直线MB交x轴于点H，解析式为，解得当时，过点M作轴，垂足为R，根据勾股定理得，（2）如答案图7.证明：对称轴，过点M作轴，垂足为Q，当时，解得，设直线EM的解析式为，解得设直线EM交

45、y轴于点S，过点S作，垂足为P 当时，当时，设，则在中，（负值舍去），射线FE平分【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力20（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值【答

46、案】（1）；（2）或4；（3）4【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得；（2）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得【详解】解：（1）将点代入得：，二次函数的对称轴为，解得，则此二次函数的表达式为；（2），即，则此二次函数的对称轴为，由题意，分以下三种情况：当，即时，在内，随的增大而减小，则当时，取得最小值，因此有，解得或（不符题设，舍去）；当，即时，在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值

47、，因此有，解得或（均不符题设，舍去）；当，即时，在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，因此有，解得或（不符题设，舍去），综上，的值为或4；（3）由（1）可知，由得：，即，令，在内，随的增大而增大，要使得当时，总有，则只需当时，即可，因此有，解得，则实数的最小值为4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键21（2021·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大求出点P的坐标（3）在（2）的结论下，点M

48、为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）【分析】（1）根据OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断出四边形BACP的面积最大时，BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式SBPC=，即可求出SBPC面积最小时点P的坐标；（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当B

49、P为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标【详解】解：（1）OB=OC=3OA，AC=，即，解得：OA=1，OC=OB=3，A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，则，解得：，抛物线的解析式为；（2）如图，四边形PBAC的面积=BCA的面积+PBC的面积，而ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要BPC的最大面积即可，过点P作y轴的平行线交BC于点H，B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，则，解得：，直线BC的表达式为y=x+3，设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），SBPC=，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有

50、最大值，此时x=，代入得，P（，）；（3）若BP为平行四边形的对角线，则PQBM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，Q（，）；若BP为平行四边形的边，如图，QPBM，QP=BM，同上可得：Q（，）；如图，BQPM，BQ=PM，点Q的纵坐标为，代入中，解得：或（舍），点Q的坐标为（，）；如图，BPQM，BP=QM，点Q的纵坐标为，代入中，解得：（舍）或，点Q的坐标为（，）；综上：点Q的坐标为（，）或（，）或（，）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键22（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方