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1、3.3 拟凸函数与拟凹函数向量空间拟凹函数和凹函数关系向量空间拟凹函数和凹函数关系向量空间拟凸函数和凸函数关系上等值集与下等值集 设函数 f ：SRn R, S为凸集，集合 U (f , b) xS: f (x) b) 称为函数 f 的一个上等值集。 L (f , b) xS: f (x) b) 称为函数 f 的一个下等值集 向量空间拟凹函数举例 向量空间拟凹函数举例且拟凹函数与拟凸函数 设函数 f ：SRn R, S为凸集，如果任意b R集合U (f , b) 总为凸集，称函数 f 为拟凹函数。 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为拟凸函数。 如果任意b R集合U

2、 (f , b) 总为严格凸集，称函数 f 为严格拟凹函数。 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为 严格拟凸函数。拟凹函数与拟凸函数代数定义 设函数 f ：SRn R, S为凸集， 如果任意u,v Rn (0,1), f (v) f (u),有 f ( u (1-) v) f(u), f为拟凹函数 f(v), f为拟凸函数拟凹函数与拟凸函数几何图示MNN2M2拟凸函数拟凸函数拟凹函数拟凹函数拟凹函数与拟凸函数 当无差异曲线凸向原点, 效用函数是拟凹函数。为什么？ 当等产量曲线凸向原点，生产函数是拟凹函数。为什么？证明 函数 f 为凹函数，对任意u,v Rn (0,1

3、), 有 f ( u (1-) v) f (u) (1-) f (v) 假设f (v) f (u),有 f ( u (1-) v) f(u), 所以f为拟凹函数如果函数f (x) 二次可导，nnnnnnnnfffffffffffffff21222212112111210B111110fffB22212121112120ffffffffB拟凸函数和拟凹函数判断法则 在非负象限，拟凹的必要条件是： 在非负象限，拟凹的充分条件是：拟凹和拟凸函数00, 0, 021nBBB，n为奇数，n为偶数00, 0, 021nBBB，n为奇数，n为偶数 在非负象限，拟凸的必要条件是： 在非负象限，拟凸的充分条件是：拟凹和拟凸函数0, 0, 021nBBB0, 0, 021nBBB 证明下面函数是拟凹函数：拟凹和拟凸函数练习) 1,0 ; 0,( ,),(bayxyxyxfb

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