二项式定理知识点总结汇编

1、学习-好资料二项式定理一、二项式定理：(a+bf=C0an+C：an，b十一+C：an”bk+C：bn(nwN")等号右边的多项式叫做n(a+bn的二项展开式，其中各项的系数C：(k=0,1,2,3n)叫做二项式系数。对二项式定理的理解：(1)二项展开式有n+1项(2)字母a按降哥排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升哥排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n(3)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b,等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a=1,b=x,则(1+xf=C0xn+C：x+C：xn十一+C：xn(nWN*

2、)(4)要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+bf展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式abn二、二项展开式的通项：Tk1=C：an,bk二项展开式的通项T«=C：anAbk(k=0,1,2,3门)是二项展开式的第k+1项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定哥的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用对通项Tk+=C：an*bk(k=0,1,2,32的理解：(1)字母b的次数和组合数的上标相同(2) a与b的次数之和为n(3)在通项公式中共含有a,b,n,k,

3、Tk由这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素更多精品文档学习-好资料n4-1D.3例1C：+3C；+9Cn3+一+3nC：等于4nnnA.4nBo34nCo-13例2.(1)求(1+2x)7的展开式的第四项的系数；1.9.3.一一(2)求(x-)9的展开式中X3的系数及二项式系数.X三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0_n1_n-12_n_2k_n_k.n-Cn7cn-Cn7cn-Cn，Cn-Cn，增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n如果二项式的哥指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n

4、偶数：(C：max=Cn2；n1n:h如果二项式的哥指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即(C：»ax=Cn=Cn二项展开式的各系数的和等于2n,令a=1,b=1即C0+C；+C；=(1+1)n=2n；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a=1,b=-1即C0C2.c1C3.o：,CnCn-CnCn-211例题：写出(x-y)的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和更多精品文档学习-好资料四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1)求多项式(a1+a2+十an

5、)n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。1Q例题：求多项式(x2+-2)3的展开式x(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求(1十x)2(1x)5的展开式中X3的系数例题:(1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。更多精品文档学习-好资料,1c(2)求x+2的展开式的常数项。x【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知(12x)7=a0+a1x+a

6、2x2+a7x7,求：(1)ai+a2+11!+a7;(2)ai+a3+%+a7；(3)|a()|+|a|+IH+|a?|.更多精品文档学习-好资料六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：(1)进行近似计算(2)证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明：2n>2n(n之3,nwN嫩2n=(1+1/的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1)近似计算的处理方法当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1+x)n的近似值。例题：(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是()A.1.23B,1.24C.1.33D,1.34(2)整

7、除性问题或求余数的处理方法解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题，通常把哥的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为±1,若k为其他数，则需对哥的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了要注意余数的范围，对给定白勺整数a,b(b丰0)，有确定的一对整数q和r,满足a=bq+r,其中b为除数，r为余数，r=0,b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求201363除以7所得的余数更多精品文档学习-好资料例题：若n为奇数，则7n+C：7n,+C27n/+

8、十C/7被9除得的余数是（）A.0Bo2C。7D.8一.1c-例题：当nwN且n>1,求证2<(1+)<3n【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定更多精品文档学习-好资料综合测试、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在(xJ31)0的展开式中,x6的系数为2.3.4.5.6.7.A.27C：0B.27C40C.-9C60D.9C40已知a+bA0,b=4a,等，那么正整数n等于A.4A.10B.(a+bn的展开式按a的降哥排列,其中第n项与第n+1项相C.10D.11已知(.a,5310被8

9、除的余数是A.1n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11：2,则n是()B.B.(1.05)6的计算结果精确到A.1.23B.式有理项的项数是A.1设（3x式的B.11C.12D.13C.D.0.01的近似值是1.24C.1.33D.1.34(nWN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开C.3D.113+x2)n展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若t+h=272,则展开A.x2项的系数是B.1C.2D.更多精品文档学习-好资料8.在（1+xx2）6的展开式中x5的系数为9.10.A.4B.5C.（晨+5/1）n展开式中所有奇数项系数之和等于A.330B.462C.D

10、.71024,则所有项的系数中最大的值是680D.790(&+1)4(x1)5的展开式中,4，x的系数为A.40B.10C.40D.45二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为则x在0,2兀内的值为A.一或一63二f2二C.一或33一二#5二D.1或3612.在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n-5的A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果13.(x22x）9展开式中x9的系数是414.若(2x+=a0+ax+a4x4,则(

11、a。+a?+a4f-侬+a32的值为32n15 .若（x+x）的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是16 .对于二项式（1-x）1999,有下列四个命题:展开式中T1000=一C1999x；展开式中非常数项的系数和是1;更多精品文档学习-好资料展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；当x=2000时，（1-x）1999除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是.（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分.17. （12分）若（我+4V展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.x（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18. （12分

12、）已知（1+2x）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数.更多精品文档学习-好资料19. （12分）是否存在等差数列an，使a1c:+a2c；+a3c2+an+C：=n.2n对任意nWN*都成立？若存在，求出数列an的通项公式；若不存在，请说明理由.20. （12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？更多精品文档学习-好资料21. (12分)设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN),若其展开式中，关于x的一次项系数为11,试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22. (14分)规定Cm=x(x-