二阶线性常微分方程的幂级数解法,

1、二阶线性常微分方程的哥级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用哥级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用哥级数来表示微分方程的解呢？丁、一”一一、一一例1、求万程y-xy=0的通解解：设y=a0+ax+a2x2+a/n+为方程的解，这里a(i=0,12,n,)是待定常系数，将它对x微分两次，有II将y,y的表达式代入方程，并比较的同次哥的系数，得到应<x<钠21a2=0,32a3-a0=0,43a4-a1=0,5，4a5-a2=0,|或一般的可推得.；IFI:a3k=-a0，2356田(3k-1)3k_a1a3k1=.，3467川3k(3k1)其中小，a2是任意的，因

2、而代入设的解中可得：这个哥级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和(其中包括两个任意常数a°及为)便是所要求的通解。例6求方程y''-2xy'-4y=0的满足初值条件y(0)=0及y'(0)=1的解。解设级数y=a0+a1x+a2x2+anxn+为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到a0=0,a二1,因而将y,y,y'的表达式带入原方程，合并x的各同次哥的项，并令各项系数等于零，得到因而最后得仅供个人学习参考111a2ki=1=,a2k=0,k(k-1)!k!对一切正整数k成立。将ai(i=o,1,2,|)的值代回y=a0+ax+a2x2+a/

3、n+就得到这就是方程的满足所给初值条件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其哥级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用哥级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何？这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。考虑二阶齐次线性微分方程1- I''及初值条件y(xo)=yo及y(%)=yo的恒况。1. '|j/y不失一般性，可设Xo=O,否则，我们引进新变量t=x-Xo,经此变换，方程的形状不变，在这时对应于x=xo的就是to=o了，因此，

4、今后我们总认为x0=o。定理1o若方程Jy+p(x)dy+q(x)y=o中系数p(x)和q(x)都能展成x的哥级数，且dxdxI收敛区间为|x|r,则方程空+p(x)dy+q(x)y=。有形如dxdx的特解，也以|x|<R为级数的收敛区间。在上两例中方程显然满足定理的条件，系数-x,-2x和-4可看作是在全数轴上收敛的哥级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程这里n为非负常数，不一定是正整数，(吟+p(x)或+q(x)y=o)在此p(x)=LdxdxxQO2nq(x)=1-显然它不满足定理1。的条件，因而不能肯定有形如y=anx的特xn=o仅供个人学习参考解。但它

5、满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的哥级数解。定理11若方程dy+p(x)dy+q(x)y=0中系数p(x),q(x)具有这样的性质，即dxdxxp(x)和x2q(x)均能展成x的哥级数，且收敛区间为|x|<R,若a0#0,则方程2dy,、dyp(x)7+q(x)y=0有形如y=x"anxdxdxn4即oon的特解，口是一个特定的常数，级数y=£anx也以|x|<R为收敛区间。若n=0a。=0,或更一般的，叫=0(i=0,12|,m-1),但am*0,则引入记号0="+m,bk=am«,则1'II/、oOcO-aOnm-rnkk

6、y=x£anx=x工am”=x£bkxn=mk=0k=0这里b°=am'0,而。仍为待定常数。2_例7求解n阶贝赛尔方程x2y+x-y+(x2-n2)y=0。dxdx解将方程改写成V-Z-.:I1d2y1dyx2-n2二4十一j+-y=0,dxxdxx易见，它满足定理11的条件(xp(x)和x2q(x)均能展成x的哥级数，且收敛区间为|x|R),且xp(x)=1,x2q(x)=x2-n2,按展成的哥级数收敛区间为g<x”,由定理11,方程有形如QO_、ak的解，这里a0#0,而ak和"是待定常数，将丫=乙akx代入：k=0仅供个人学习参考d

7、2ydx2,22、-一(x-n)y=0中，得(x2把x同哥次项归在一起，上式变为令各项的系数等于0,得一系列的代数方程因为a。#0,故从a0a2-n2=0解得«的两个值先考虑a=n时方程x2d2ydx2+x包+(x2dx2、一n）y=0的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数ak把口=n代入以上方程组，得到k(2nk)或按下标为奇数或偶数，我们分别有从而求得般地将ak各代入y;Lakx得到方程d2ydx2+x"dy+(x2-n2)y=0的一个解dx既然是求x2dlydx2+咪+（x2-n2）y=0的特解，我们不妨令其中函数（s）定义如下:s-1-x当s&

8、gt;0时，（s）=%s-1-xxedx；当s<0且非整数时，由递推公式1（s）=（s十1）定义。s（s）具有性质仅供个人学习参考s1=ss-n1=n!;n为正整数oOn一而V】二a0Xk:1k-1a。22kk!n1n2HInk2knX变为注意到函数的性质，即有,2d2ydv,22、Jn(X)是由贝塞尔方程x-4+x-+(x-n)y=0定义的特殊函数，称为n阶贝dxdx赛尔函数。.It因此，对于n阶贝塞尔方程，它总有一个特解Jn(x)。为了求得另一个与Jn(x)线性无关的特解，我们自然想到，求a二一n时方程,22dVdv,22、一x:Tk+x/+(x-n)y=0的形如dxdxI的解，我们

9、注意到只要n不为非负整数，像以上对于"二n时的求解过程一样，我们总可以求得aoa2-n2=0仇(1)2-n2=02 2使之满足ak(k)nak-20中的一系列方程，因而k:2,3,111口2d2ydy/2是xd7仁(x2、-n)y=0的一个特解。此时，若令,k二-n,_1a02k-n则y2日22kk!(-n+1X-n+2)111(-n+kJ变为称J.n(x)为阶贝赛尔函数仅供个人学习参考判别法不难验证级数yin=a°x00k=122kk!n1n2IIInk-na°xk-Ia。2k_n2k；xk2k!-n1-n2|H-nk.na°xk；-1a°2

10、k-nk=122k'k!(-n+1)(-n+2)111(-n+k)x中x±°)都是收敛的,n不为非负整数时，Jn（x）和J_n（X）都是方程,22dydy,22、-一一，、，一一一x-+x+（x-n）y=0的解，而且是线性无关的，因为它们可展为由x的不dxdx同骞次开始的级数，从而它们的比不可能是常数。于是方程2d2ydy22.xdTxdx+（X-nV0的通解可写为丫如外+卬子幻这里cl,c2是任意常数。此情形的Jn（x）和J.n（x）称为第一类贝塞尔函数。2'''例8求万程xy+xy+2914x-.|i25Jy=0的通解。解引入新变量t=2

11、x,我们有L1d2yd2dydtd2y乙'odx2dt将上述关系代入院方程，得到t2251y=0仅供个人学习参考2,3 .2dydy.225这是，n=5的贝塞尔方程，由例7可知，方程ttj+t通解可表为y=C1J3(t)+C2J3(t)55代回原来变量，就得到原方程的通解其中G,C2是任意常数。,"I/,-y第二宇宙速度计算作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在I,zv''这个速度你下，物体将摆脱地球的引力，向地球一样绕着太阳运行，成为人造卫星.i:让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程.以M和m分别表示地球和物体«I/,-的质量.按牛顿万有引力定律，作用于物体的引力F(空气阻力忽略不计)为这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常数。因为，物体运动规律应满足下面的微分方程或这里的负号表示物体的加速度是负的。设地球半径为R(R=63M105m),物理发射速度为vo,因此，当物体刚刚离开地球表面时，我们有r=R,£=V0,即应取初值条件为dt方程建一k号不显含自变量tdtr解得注意到这时初值条件为因而仅供个人学习参考因为物体运动速度必须始终保持是正的，即。，而随着r的不断增大，量，变得222任意小。因此,.学+成一全)看到,条件