二阶常微分方程的几种解法

1、二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一公式解法目前,国内采用的高等数学科书中，求二阶常系数线性非奇次微分方程1:y''+ay'+by=f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高，相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢？事实上，经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。设二阶常系数线性非齐次方程为'''yayby=f(x)(1)这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶，考察相应的特征方程2k2a

2、kb=0(2)对特征方程的根分三种情况来讨论。1若特征方程有两个相异实根ki、k20则方程(1)可以写成'''y-(k1-k2)yk1k2y=f(x)(y-k2y)-k1(y-k2y)=f(x)记z=y-k2y,则(1)可降为一阶方程z-k1Z=f(x)由一阶线性方程的通解公-p(x)dxy二ep(x)dxQ(x)edxc5由业dx解得知其通解为xx£代立+%这里1°h(t)dt表示积分之后的函数是以x为自变量的。冉x-k2y=z=e1x0f(t)eekixxf(t)e”Idt-ek"ki-k20dtC3xy=ek2xo(e(kl-2)uU

3、上2)X0f(t)dt)duqC4k1-k2应用分部积分法，上式即为(k1/2)x=ek2xek1-k2(x1xe(k1/2)x0f11tdt-F0f*"C3K5xf0f(t)edt+ae+c2ex1Lx2x13x12x=万一xe+qe+c3e这里c3=c2-1.例2求解方程y-2y+y=e、lnx若特征方程有重根k,这时方程为-2ky+k2y=f(x)或(y-ky)-k(yky)=f(x)由公式得到xy-ky=e0ef(t)dtcj再改写为-kx'kxx.ktey-key=J0ef(t)dt+c1即色(e上dxx4t.y)=0ef(t)dtCi(5)故y=ekx(x_t)e

4、*f(t)dt+cixekx+c2ekx例1求解方程y-5y+6y=xe2x解这里k2-5k+6=0的两个实根是2,3f(x)=xe2x.由公式(4)得到方程的解是x_x._.3xy二e3t,2t2xx.2tx2t3x2xJ0etedt-e(etedt+c1e+c2exx=ex.0tedt-ex10tdt+c1ex+c2ex解特征方程k22k+1=0有重根1,f(x)=exlnx.由公式(5)得到方程的解是0(x-t)e_tetIntdtc1xexc2exxxxx=e0(x-t)lntdt+c1xe+c2e=ex°xIntdt-°tIntdtc1xexc2ex二x2ex-I

5、nx-c1xexc2ex-24y2常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是(6)'''一ypyqy=f(x),ypyqy=0,其中p、q为常数，根构造方程(7)的两个线性无关的解，再由这两个解构造出方程(7)的通解。特征方程的特征根有三种情况。1 .当特征方程有两个不相同的实根%、时，方程(7)的两个线性无关的解为e'-x、ex从而得方程的通解c1e标+c2e/2-x.2 .当特征方程有二重实根入时，可得方程(7)的两个线性无关的解e,x、xe'x,从而得到方程(7)的通解(c1ax)e'x。3 .当特征方程有一对共腕复根口士iP时，可

6、得方程(7)的两个线性无关的解e佻cosPx、e能sinx。从而得方程的通解ce口cosPx+济气冶Px。综上所述可知，方程(7)总有形如ecosPx、e°xPxsinPx的解，其中口士iP为方程(7)所对应的特征方程的特征根。关于方程(6)的求解，我们就f(x)为e缶或lp2(x)cosxpnsinxl时进行了讨论，给出了这两种情况下的解法。我们将由方程(7)的一个特解，通过参数变易法构造出方程(6)的通解。首先求出方程(7)的一个特解，不妨将此解记为y=y(x)=eScosBx。设方程(6)有形为y=c(x)y1(x)=c(x)e暧cosPx5的解，将y二cyy=cycyi

7、9;'''''''y=cy12cy1cy(其中c为c(x),yi为y(x)代入方程(61得''_'''''一cyi(2yipyi)c(yipyiqy1)c=f(x),yi是方程的解上式为cyi+(2y；+py1)c=f(x)，令c=u布u'+(2yL+p)u=f(x)根据一阶Vi%线性非齐次方程的解法布''-(-yLp)dxi(-y>p)dxu=eVif(x)eVidxgVi-(2-2:tgXp)dxi(2?J2|：tgx)=eeosV(x)edxcii

8、WcosPxf(x)e(2：p)x2lncos-xdxc-(2：p)x2lncosxr=ee2-e4')xf(x)e(-)xcos：xdxcicos-xc=udxc2y=e8cosPxJ-1+e*"?"jf(x)e(*)xcosPxdx+Gdx+c2为方程(6)的cosx通解。三多项式法命题：对于常系数线性微分方程y+py'+qy=pm(x)e"(8)其中p、q与人是常数，pm(x)是x的m次多项式，若令y=ze%,则方程(8)可化为：F''/2!z''+F'(%)/l!z'+F(Qz=Pm(x)7F

9、(九)=九2+p九+q为方程(8)对应齐次方程的特征多项式.此处即要求方程(8)的特解y=6(x)e'x,只要求z''十F'Q)z+F(九)z=pm(x)的特解y=(x),而得到(8)的特解y=®(x)e'x.此解法虽然类似教材5上的待定系数法，仔细斟酌，要简单很多.教材5中则把特解设为y=xkQ(x)me£x,这里k=0、1、2、Q(x)m是m次多项式.例3求微分方程y+2y+y=e'(x-5)的一个解.解：F(九)=九2+2%+1，-1为其二重特征根，故原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解是e'、xe/。F

10、9;(-1)=0,从而令y=ze"，原方程化为：z=x-5，解之得其特解为z=1x3-5x2=x2(x-5)故6261c原万程的特解是y=x2(x-5)e)。原方程的解是，6y=*/+c2xe/+1x2(x5)e7(其中g、伞是常数)6四阶数上升法所谓的阶数上升法就是：设'''ypyqy=f(x)f(x)为多项式时，设_.nn-1f(x)=a0xaxIIIanjxan7此时，方程两边同时对x求n导倒数，得''''''n1,一n-2ypyqy=na°x(n-1)&xIliany(n1)pynqy(

11、n4):a°xn!a(n1)!(n-2).(n1).nypyqy=a°n!令y(n)=哒(q#0),此时y(n42)=y"=0q由y(n+)与y通过倒数第二个方程可得ym),依次往上推，一直推到方程(9),即可得到方程(9)的一个特解y(x)，上面的这种方法称为阶数上升法.当"*)=90*"+24'+|同十2门)内(九三0时,令丫=*)炉,则y=(u+£u)e'x,y=(u+2儿u+九2u)e'x代入方程(9)，经整理得：u(2；,：p)u(12p:q)u;a0xn-a1xn,|IIanxan于是问题(9)就转

12、化为(8)的形式从以上可以看出，阶数上升法不需要讨论人是否为特征方程的特征根的问题，因此问题得以简化.例4求微分方程y+6y-7y=ex(x+1)的一个解.解：原方程所对应的齐次方程的特根是正1、-7,对应的两个线性无关的解是ex、e7x。在求原方程的特解。先消去ex,设特解y=u(x)exx，代入原方程得"'.一.u8u=x1(10)两边求导得u'''+8u''=1，令u''、u'=0,代入(10)式得1+8u'=x+1,即88127u二一x一x1664所以原方程的一个特解为：ex(x2+x)1664所

13、以，原方程的解为：y=Gex+*-7、+exJx2+工x)(其中c1、c2为常数)1664五积分法运用特解公式进行教学，不需要对微分方程的特殊右端进行分类设特解，只需熟悉特解公式就可以求出任意类型的特解.下面我们介绍特解公式.设人是共腕特征方程r2-pr+q=0的任一根，则y=e4门e(2)x(xff(x)e(px)dx7为方程的一个特解，其xff(x)dx表示函数f(x)的一个原函数积分下限可取任意值.即要求方程(9)的特解先求出共辆特征方程r2pr+q=0的特征根，任取其一为九，再用特征公式求积分，便得到所求特解.例5求微分方程y+3y+2y=e'cosx的通解.解特征方程r''+3r'+2=0的特征根为口=-1,0=-2，所以，齐次方程所对应的两