中考数学一元二次方程的综合题试题及答案

1、次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.阅读下列材料计算：(1-_1111六不百)111_+_*_=t,2|3+4则:原式=(1-t)(t+耳)-(1-t-.14JI)t=t+_t_t+t=_5555这种思想在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的,方法叫做换元法”，请用换元法”解决下列问题:5a+7)+4(2)因式分解：(a2-5a+3)(a2(3)解方程：(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3;(2)(a2-5a+5)2;(3)x1=0,x2=-4,x3=x4=-2(1)仿照材料内容，令目与2016=t代入原式计算.a2-5a=t代入原式进行因式分解，最后

2、要记得把x2+4x=t代入原方程，即得到关于t的4个x的解.二次方(1-t则:(2)观察式子找相同部分进行换元，令t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元，令程，得到t的两个解后要代回去求出i2019)t=t+-t22019-t+t22019=2019(2)令a2-5a=t,贝U:原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2-5a+5)2(3)令x2+4x=t,则原方程转化为：(t+1)(t+3)=3t2+4t+3=3t(t+4)=0.t1=0,t2=4当x2+4x=0时，x(x+4)=0解得：X1=0,X2=-4当x2+4x=-4时，

3、x2+4x+4=0(x+2)2=0解得：X3=X4=-2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算.2.某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】(1)平均每次下调的百分率为10%.(2)房产销售经理的方案对购房者更优惠.【解析】【分析】(1)根据

4、利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；(2)分别求出两种方式的增长率，然后比较即可【详解】(1)设平均每次下调X%,则7000(1-X)2=5670,解彳导:X1=10%,X2=190%(不合题意，舍去)；答：平均每次下调的百分率为10%.(2)(1-5%)X(1-15%)=95%85%=80.75%,(1-X)2=(1-10%)2=81%.80.75%Q0,，对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根；(2)解一：二.方程的一个根是2,-4-14+12-m2=0,解得m=-J2,，原方程为x2-7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值为A历，方程的另一个根是

5、5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当4加2-4200时，方程有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0时，方程没有实数根.4.已知关于x的一元二次方程x2-x+a-1=0.(1)当a=-11时，解这个方程；(2)若这个方程有两个实数根x1，x2,求a的取值范围；(3)若方程两个实数根x1，x2满足2+x1(1-x)2+x2(1-x2)=9,求a的值.5【答案】(1)为3,x24(2)aQ解得(2) ;方程有两个实数根x1,x2,Q即(-1)(3) X,x2是方程的两个实数根,20,x

6、1xa1,x2x；a1.22,x1x1a10,x2x2a12+x1(1x1)2+x2(1x2)=9,222xx12x2x29,把2x1xi.2a1,x2x2a1代入，得：2+a-12+a-1=9,即(1+a)2=9,解得:a=-4,a=2(舍去)，所以a的值为-4.点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.5 .从图象来看，该函数是一个分段函数，当函数.【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出万案.0WxW时，是正比例函数，当xm时是一次y的值，若与表格中的水费相等，则知收取6 .(问题)如图，在axbx长嚏益，其中a,b,c为正整数)个小立方块组成的长方体中

7、，长方体的个数是多少？口;图探究一：图C(1)如图，在2X1X小小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=二3=3条线段,2棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3X1X1三3(2)如图，在3X1X小小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=三/=6条线2段，棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6X1X1=6(3)依此类推，如图，在aX1X个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有aa1.1+2+a-线段，棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为探究二:(4)如图,在ax2X个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa1条线段,棱AC2,2上有1+2=

8、23=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为3aa1x3x1=2(5)如图，在aX3X个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa1条线段,棱AC2上有1+2+3=*=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为2(6)依此类推，如图，在axbx个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为(探究)一aa1（7）如图，在以axbxT小立方块组成的长方体中，棱AB上有二一条线段，棱2AC上有条线段，棱AD上有1+2=3条线段，则图中长方体的个数为23aa1bb13aba1b1224（8）如图，在axbx第小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa1条线段,棱AC2上有bb1条线段,棱AD

9、上有1+2+3=3=6条线段，则图中长方体的个数为22（结论）如图，在axbx个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为.（应用）在2X3X介小立方块组成的长方体中，长方体的个数为.（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论.【答案】探究一：（3）aa1；探究二：（5）3a（a+1）；（6）21b1；4i一/c、3aba1b1“abca1b1c1探究二：（8）；结论:；应用:64,见解析.180;【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB,AC,（5）根据规律，求出棱A

10、B,AC,（6）根据规律，求出棱AB,AC,（8）根据规律，求出棱AB,AC,（结论）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;（应用）a=2,b=3,c=4代入（结论）中得出的结果，即可得出结论;（拓展）根据（结论）中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论.【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有aa1线段，棱AC,AD上分别只有1条线段,2则图中长方体的个数为aa1xixa-a1,22故答案为探究二：（5）棱AB上有aa1条线段，棱AC上有6条线段

11、，棱AD上只有1条线2段,aa1则图中长万体的个数为X6X1=3a+1）,2故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有aa1条线段，棱AC上有bb1条线段,棱AD上只有1条线段,22则图中长方体的个数为Jb1_aba1b124故答案为aba1b4探究三：（8）棱AB上有aa1条线段，棱AC上有bb1条线段,棱AD上有6条22线段，则图中长方体的个数为aa14b1x6料a1b1,222故答案为3aba1b12（结论）棱AB上有aa1条线段，棱AC上有bb1条线段，棱AD上有CC1条线段,则图中长方体的个数为XX222cc1abca1b1c1故答案为abca1b1c18(应用)由(结论)知,abca

12、1b1c18在2X3M4小立方块组成的长方体中，长方体的个数为234213141=180,8故答案为为180;拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x,由题意得3,、3x(x1)-=1000,8.x(x+1)3=203,.x(x+1)=20,-x1=4,x2=-5(不合题意,舍去)4X4X4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64.【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目.7.关于x的一元二次方程史二M+m+2=0(1) .求证：方程总有两个实数根；(2) .若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值.【答案】(1)证

13、明见解析；(2)-1.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得h=5=m+2再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定小的取值范围，即求出吗m的最小值.【详解】证明：依题意，得|-(m+2-4(m+2)二布+6m+9-Arm-H辿至0,方程总有两个实数根.(2)由工。m+司工+m+2=0.可化为：|(x-l)|jc-(m+2)f=0得M=1工2=Hi+2,方程的两个实数根都是正整数，m的最小值为-L【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于

14、零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键8 .淘宝网举办双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件.(1)双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？(2)据媒体爆料，有一些淘宝商家在双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为.双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品.在双H一”

15、购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%,再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%,双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在双十一”购物活动这天的网上标价.【答案】(1)平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元；(2)乙网店在双十一”购物活动这天的网上标价为100元.【解析】【分析】(1)设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)根据总利润=每件的利润族肖售数量，即可得出关于a的一

16、元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80(1+a%)中即可求出结论.【详解】(1)设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80(1-x)2=39.2,解得：x1=0.3=30%,x2=1.7(不合题意，舍去).答：平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元.(2)根据题意得：0.5X8Q1+a%)-30X1000(1+2a%)=30000,整理得：a2+75a-2500=0,解得：a1=25,a2=-100(不合题意，舍去)，80(1+a%)=80X(1+25%)=100.答：乙网店在双十一”购物活动这天的网上标价为100元.【点睛】

17、本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.9 .关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根.求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.【答案】(1)kv4且kw2.(2)m=0或m=83【解析】分析：(1)由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；(2)由(1)得到符合条件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，然后把所得x的值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应的m的

18、值.详解：(1):一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，=16-8(k-2)=32-8k0且k-2w0.解得：kv4且kw2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3,将k=3代入原方程得：方程x2-4x+3=0,解此方程得：x1=1,x2=3.把x=1时，代入方程x2+mx-1=0,有1+m-1=0,解得m=0.把x=3时，代入方程x2+mx-1=0,有9+3m-1=0,解得m=.3m=0或m=-.3点睛：(1)知道在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，当4=4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当4=4ac0时，方程有两个相等的实数根；=b24ac0时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；(2)解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况10.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,C90,BC16,DC12,AD21,动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P,Q分别从点D,C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒).(1)当t2时，求mBPQ的面积;(2)若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.(3)当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?