经济学专业数学第六节多元函数的极值配套课件

1、1第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值 条件极值条件极值 乘数法乘数法 2学习要求学习要求掌握多元函数极值存在的必要条件及充分条件；掌握多元函数极值存在的必要条件及充分条件； 了解多元函数极值和条件极值的概念；了解多元函数极值和条件极值的概念； 掌握多元函数极值的求法。掌握多元函数极值的求法。 3一、多元函数的极值的概念一、多元函数的极值的概念 定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于于该邻域内异于(x0,y0)的点的点(x,y)，如果都适合，如果都适合f(x,y)f(x

2、0,y0)，则称函数在点则称函数在点(x0,y0)处有处有极小值极小值。极大值、极小值统称为。极大值、极小值统称为极值极值。使得函数取得极值的点称为使得函数取得极值的点称为极值点极值点。4二元函数的极值图例二元函数的极值图例 2234zxy有极小值有极小值 (0,0)0z22zxy 有极大值有极大值 (0,0)0z5zxy在原点没有极值在原点没有极值 6极值存在的必要条件极值存在的必要条件 极值存在的必要条件极值存在的必要条件P217定理定理1即即可导函数可导函数的极值点一定是的极值点一定是驻点（即驻点（即使各偏导数均为零的点使各偏导数均为零的点）。00000000001,0,0,xyzf x

3、 yP xyP xyfxyfxy定理 设函数在处可导，且在处取得极值，则 证明证明 000,zf x yP xy不妨设函数在处取得极小值0000,P xyPP x y则在的某邻域内任何异于点 的其他点00,f x yf xy均有 000,f x yf xy特别有 00,0 xfxy所以有 00,yf x yxx可见一元函数 在 处取得极小值00,0yfxy同理可证 7极值存在的充分条件极值存在的充分条件 二元函数极值存在的充分条件二元函数极值存在的充分条件设函数设函数,zfx y在点在点00,xy的某个邻域内连续且的某个邻域内连续且有直到二阶的有直到二阶的连续偏导数连续偏导数，又，又00,xy

4、是驻点，记是驻点，记000000,xxxyyyAfxyBfxyCfxy则：（则：（1）当）当AC-B2 0 时，函数时，函数取到极值取到极值，且当，且当A 0 时取时取极小值，当极小值，当A 0 时取极大值。时取极大值。（2）当）当AC-B2 0 时，函数时，函数取不到极值取不到极值。（3）当）当AC-B2 = 0 时，函数可能时，函数可能取到取到也可能也可能取不到取不到极值。极值。求极值的一般步骤求极值的一般步骤见见P217最后两行起。最后两行起。 8例例1 求函数求函数3322339zxyxyx的极值。的极值。解解 解方程组解方程组223690360 xyzxxzyy 得驻点：得驻点：1,

5、0 ,1,2 ,3,0 ,3,2求出二阶偏导：求出二阶偏导：66,0,66xxxyyyAzxBzCzy 在点在点 处，处，1,020, 0ACBA且且所以所以1,05z 是极小值。是极小值。在点在点 处，处，1,220ACB所以函数在该点没有极值。所以函数在该点没有极值。在点在点 处，处，3,020ACB所以函数在该点没有极值。所以函数在该点没有极值。在点在点 处，处，3,220,0ACBA且且所以所以3,231z 是极大值。是极大值。9222224100,2xyzxyzzf x y求由方程所确定的函数例的极值。1x解法 将方程两边同时对 求偏导，得22240zzxzxxy将方程两边同时对 求

6、偏导，得22240zzyzyy12zxxz12zyyz 00zzxy令， 1,1xy 解得 222232212122xzx zzxzxzz又22311122yzxyzxx yzz 10 222232212122yzyzzyzyzz 1, 1所以在点处有2222211,0,22zzzABCxzx yyz 1,12,6xyzz 而当时，由方程解得 或 20,1, 1ACB点是极值点。120,1, 124zAzf 当时，所以为极小值；160,1, 164zAzf 当时，所以为极大值.11222224100,2xyzxyzzf x y求由方程所确定的函数例的极值。2解法 将方程变形，得22211216

7、xyz2221611zxy22016114xy显然26z所以26所以函数有极小值，极大值 .12最最 值值 问问 题题 若函数在某区域若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在极值点上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。即在函数的驻点、不可导点及边界点中去寻或边界上取得。即在函数的驻点、不可导点及边界点中去寻找最值点。找最值点。 在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 的内部取得最值，而函数在的内部取得最值，而函数在 D 内又只有内又只有唯一的驻点唯一的驻点，则，则可判定函数在该驻点即取得最值。可判定函数在该驻点即取得最值。13

8、2222,2143,yf x yxyDx y x求函数在椭圆域上的最大值和例最小值。解 解方程组,20,20 xyfx yxfx yy ，0 0得驻点， 0,02f而22221144yyxx 在椭圆域的边界上，有，即 2225 ,123,2244yyf x yyg yy 此时函数且 502gyy 令0y 03,22,22ggg 而32.所以函数在边界上的最大值为 ，最小值为32.从而函数在椭圆域上的最大值为 ，最小值为14例例4 要做一个容积等于要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？水池的尺寸，方可使它的表面积最小？x

9、yz22Sxyxzyz解解 设长方体的长宽高分别为设长方体的长宽高分别为x,y,zxyzk22kkxyyx220 xkSyx220ykSxy解方程组：解方程组：得：得：32xyk从而从而3122zk由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：323 4Sk则则 xyz=K 15以上问题可以看成是表面积以上问题可以看成是表面积22Sxyxzyz在条件在条件xyzk下的极值（最值）问题下的极值（最值）问题条件极值。条件极值。求求条件极值条件极值的的拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：例如：求函数例如：求函数, ,uf x y z满足条件满足条件 的极值。的极值。

10、, ,0 x y z作函数：作函数：, , , , ,F x y zf x y zx y z其中其中 是常数，称为是常数，称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数。（拉格朗日函数）（拉格朗日函数）解方程组：解方程组：, ,0 xFx y z , ,0yFx y z , ,0zFx y z , ,0Fx y z所得点所得点, ,x y z是是可能的极值点。可能的极值点。16例例4 要做一个容积等于要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？水池的尺寸，方可使它的表面积最小？xyz22Sxyxzyz解解 表面积表面积得：得：32 ,xyk3

11、122zk由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：323 4Skxyzk约束条件：约束条件：令：令：, , ,22F x y zxyxzyzxyzk解方程组：解方程组：, ,20 xFx y zyzyz, ,20yFx y zxzxz, ,220zFx y zxyxyxyzk17例例5 抛物面抛物面 被平面被平面 截成一椭圆，求截成一椭圆，求 原点到椭圆的最长、最短距离。原点到椭圆的最长、最短距离。22zxy1xyz解解 设所求的点为设所求的点为 , ,x y z222dxyz则所求的距离为，2222 dxyz即22222, , 1 f x y zxyzzxyxyz问题即为求函数 满足条件和的最大值和最小值22222 , , , ,1L x y zxyzzxyxyz 令2222022020010 xyzLxxLyyLzLzxyLxyz 解方程组181313,222323xyxyzz 解得或22 95 3,95 3dd对应地有或由实际问题可知，最大、最小距离一定存在95 395 3所以原点到椭圆的最大距离为，最小距离为19Brie