与圆有关的轨迹方程的求法

1、精品文档与圆有关的轨迹方程的求法fi (x,y) =0上移动，动点 P (x,y )依动点R而动,若已知动点R ( a , 3)在曲线C: 它满足关系：x x(y y(8欢在下载则关于a、3反解方程组,g(x, y) h(x, y)代入曲线方程f i (x,y ) =0,即可求得动点P的轨迹方程C： f (x,y)=0.例1、(求轨迹)：已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段 AB的中点M的轨迹方程./ AOP勺平分线交PA于Q求【例2】已知点A(3 , 0),点P在圆x2+y2=1的上半圆周上, 点Q的轨迹方程.【法一】如图所示，设 P(x。，y&

2、#176;)( y0>0) , Qx, y).0纵/AOP勺平分线，PQQA|OP|OQ|又因1x03 -3Vo1313133(x0434y01)xoVo4x343y2x016y0>0,一9163 yQ.Q的轨迹方程为(x -)2y2 (y 0).416例3、已知圆4,过(4, 0)作圆的割线 ABC则弦BC中点的轨迹方程为(A. (x1)2(x1)24(0 x1)C. (x2)2(x2)24(0 x1)变式练习1 ：已知定点B(3,0),点A在圆上运动，M是线段AB上的一点，1AM -MB ,则点M的轨迹方程是 31 斛：设 M (x, y), A(x1，y1).AM - MB

3、, (x x1, y31W) -(3 x, y), 3x x1yy11 (3 x)31一 y3y14x34一 y31.,点A在圆x2y21上运动,2x12y11,42(4x 1)3,4 、2 (-y)31,即(x34)99, 点 M16的轨迹方程是(x1)29162:已知定点B(3,0)，点A在圆1上运动，AOB的平分线交AB于点M点M的轨迹方程是解：设 M (x, y), A(x1, y1) . OMAOB的平分线，LAMMBOAOB1 一 AM - MB .3由变式1可得点M的轨迹方程是(x3、229-)y4163：已知直线y kx 1与圆x24相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四

4、边形OAPB ,求点P的轨迹方程.M是OP的中点，点M解：设P(x, y) , AB的中点为M . OAPB是平行四边形，的坐标为 C,y),且OM AB. .直线y kx 1经过定点C(0,1) ,OM CM ,， 2 2Om' cm' (-,y) (-,- 1) (-)2 »(Y 1) 0,化简得 x2 (y 1)2 1.点P的轨 2 22 222 2迹方程是x2 (y 1)21 .4、圆(x 2)2 (y 1)2 9的弦长为2,则弦的中点的轨迹方程是 -5、已知半径为1的动圆与圆(x 52 (y 7)2 1廓目切，则动圆圆心的轨迹方程是()A. (x 5)2 (

5、y 7)2 25C. (x 5)2 (y 7)2 9B . (x 5)2 (y 7)217 或(x 5)2 (y 7)2156.已知两定点 A(-2,0),B(1,0), 包围的面积等于(B )如果定点P满足PA=2PB则定点P的轨迹所D. (x 5)2 (y 7)225 或(x 5),2又 C(x , y )满足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程. 做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法. (y 7)29一,一，.17：

6、已知点M与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离的比为 1,求点M的轨迹方程.28如图所示，已知圆O： x2 y2 4与y轴的正方向交于 A点，点B在直线y 2上运动, 过B做圆O的切线，切点为 C ,求 ABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法， 设H (x , y),找x, y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑 H, B, C三点坐标之间的关系.,一 、一 . 、 ， ' '、 _解：设 H (x , y) , C(x , y ),连结 AH , CH ,则 AH BC, CH AB, BC是切线 OC BC , 所以 OCAH, CHOA, O

7、A OC ,所以四边形AOCH是菱形.'所以 CH | |OA 2,得 y y , x x.9.已知圆的方程为 x2 y2 r2,圆内有定点 P(a ,b),圆周上有两个动点 A、B,使PA PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.解法一：如图，在矩形 APBQ中，连结 AB , PQ交于M ,显然 OM AB ,AB PQ在直角三角形 AOM中，若设Q(x, y),则M (土上 -). 22,222由 OM AM OA ,即x a 2 y b 21222(亍)2 (7)2 -(x a)2 (y b)2 r2,222,22、也即

8、x y 2r (a b ),这便是Q的轨迹方程.222222斛法一：设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2, y2)，则 x1 y1r , x2y2r .-2_ 2又PQ AB ,即、22222(xa)(yb)(xix?) (y1 y)2r2(x1x2y).又AB与PQ的中点重合，故x a x1 x2 , y b y1 y2 ,即,、2,.、2_2_,、(xa)(yb)2r2(xix2 yiy2)十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.解法三： 设 A(rcos , r sin )、 B( r cos , r sin )、 Q(x, y),由于APBQ为矩形，故A

9、B与PQ的中点重合，即有x a r cos r cos ,y b rsin r sin ,又由PA PB有回一b一b1r cos a r cos a联立、消去 、，即可得Q点的轨迹方程为x2 y2 2r2 (a2 b2).说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中.10、由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA、PB ,切点分别为 A、B,APB=600,则动点P的轨迹方程是.解：设 P(x, y) . APB =600, .OPA =300.OA AP ,OP 2OA 2 ,fx2 y2 2,化简得x2 y2 4 , 动点P的轨迹

10、方程是x2 y2 4.练习巩固：设庆(c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a 0),求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x, y).由，闿 a(a 0) ,得 义x- c) y a, lPBlv(x c)2y2化简得(1 a2)x2 (1 a2) y2 2c(1 a2)x c2 (1 a2) 0.2当 a1 时，化简得x2y22c(1 a ) xc20,整理得(x f-c)2y2(二黑)2;1 aa 1a 1当a 1时，化简得x 0._1 a2_2ac所以当a 1时，P点的轨迹是以(1c,0)为圆心，-2aJ为半径的圆；a2 1a2 1当a 1时，P点的轨迹是y轴.11、已知两定点 A( 2,0), B(1,0),如果动点P满足PA 2PB ,则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的