2015东北三省三校一模联考数学（理）试题

1、东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（ ）A B C D2、复数（ ）A B C D3、点到抛物线准线的距离为，则的值为（ ）A B C或 D或4、设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（ ）A B C D5、执行如图所示的程序框图，要使输出的值小于，则输入的值不能是下面的（ ）A BC D6、下列命题中正确命题的个数是（ ）对于命题，使得，则，均有是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件命题“若，则”的逆否命题为真命题“”是“直线与直线垂直

2、”的充要条件A个 B个 C个 D个7、如图，网格纸上小正方形的边长为，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A B C D8、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，焦点到一条渐近线的距离为，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D9、不等式组表示的点集记为，不等式组表示的点集记为，在中任取一点，则的概率为（ ）A B C D10、设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，则（ ）A B C D11、已知数列满足，若数列的最小项为，则的值为（ ）A B C D12、已知函数，若函数有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小

3、题，每小题5分，共20分）13、向量，满足，则向量与的夹角为 14、三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，则这个球的表面积为 15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）16、已知函数（）的图象关于直线对称，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为求的取值范围；求函数的取值范围18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率

4、分布表1和频率分布直方图2频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望19、（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，、分别为、的中点求证：平面；若，试问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由20、（本小题满分12分）已知椭圆（）的左、右焦点为、，点在椭圆上，且与轴垂直求椭圆的方程；过作直线与椭圆交于另外一点，

5、求面积的最大值21、（本小题满分12分）已知是实常数，函数若曲线在处的切线过点，求实数的值；若有两个极值点，（），求证：；求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点求证：是圆的切线；求证：23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；设点，若直线与曲线交于，两点，且，求实数的值24、（本

6、小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数解不等式；若，使得，求实数的取值范围东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案1 选择题：1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C2 填空题：13. 900 14. 64 15. 84 16. 三解答题：17.解：（）设中角的对边分别为，则由已知：， 分可得，所以： 分（） 分，即当时，；当时，所以：函数的取值范围是 分年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920253035404550频率组距 18.解：（1）由表知：，分别填

7、.补全频率分布直方图如下: 分 分平均年龄估值为:（岁） 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,的可能取值为0,1,2 分的分布列为012 分期望（人） 分19.证明: ()取中点, 连接, 在中, 为的中点, ,正方形中为中点, 故：为平行四边形 分又平面,平面 平面 分() 如图：以点为坐标原点建立空间直角坐标系: 由题易知平面的法向量为， 分假设存在满足条件：设 ,设平面的法向量为, 分 由已知：解得： 所以：满足条件的存在，是中点。 分20.（1）有已知：， 故椭圆方程为 分 (2)当斜率不存在时： 分 当斜率存在时:设其方程为： 由得由已知： 即： 分 到直线的距离

8、： 分此时 综上所求：当斜率不存在或斜率为零时：面积取最大值为 分21.解(1)由已知: ,切点 分 切线方程: ,把 代入得: 分 (2)()依题意: 有两个不等实根 设 则: 当 时: ,所以 是增函数,不符合题意; 分 当 时:由得: 列表如下:0极大值 依题意: ,解得: 综上所求: 得证; 分()由()知: 变化如下:0+0由表可知: 在 上为增函数,所以: 分又 , 故 由()知: , 设 ,则 成立,所以单调递减,故: ,也就是 综上所证: 成立. 分22.选修4-1: 几何证明选讲证明：（）连结.点是的中点，点是的中点，.，. 分在和中，即.是圆上一点，是圆的切线. 分（）延长交圆于点.，.点是的中点，.是圆的切线，. 分，.是圆的切线，是圆的割线， 分23.选修4-4: 坐标系与参数方程 解：（）由，得：，即，曲线的直角坐标方程为. 分由，得，即，直线的普通方程为. 分（）将代入，得：，整理得：，由，即，解得：.设是上述方程的两实根，则， 分又直