第六章振动和波

1、1.简谐振动简谐振动2.简谐振动的合成简谐振动的合成4.机械波产生和传播机械波产生和传播5.平面简谐波平面简谐波6.波的叠加波的叠加 波的干涉波的干涉振动一个物理量随时间振动一个物理量随时间 t 作周期性变化：作周期性变化：( )( )y ty tT“周期性周期性”是这种运动形式的典型特征是这种运动形式的典型特征简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分分 解解k -劲度系数劲度系数(coefficient of stiffness)xFx0kmkxF小幅振动满足：小幅振动满足：合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置-线性回复力线性回复力。 mak

2、x 0dd222xtx微分方程的解微分方程的解cos()xAt0dd22xmktx0mak x-符合简谐函数形式，叫做符合简谐函数形式，叫做简谐振动简谐振动(simple harmonic vibration ) 。积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定cos()xAtA 振幅振幅(amplitude) 离开平衡位置的最大位移离开平衡位置的最大位移特征量特征量 角频率角频率 (angular frequency) 初相初相 (initial phase)初始时刻振动系统的运动状态初始时刻振动系统的运动状态2频率频率 ： 1 秒内完成全振动的次数，单位：秒内完成全振动的次数，单位：

3、Hz ;周期周期 T ： 完成一次全振动所经历的时间完成一次全振动所经历的时间, 单位单位 s .12=Tt -相位相位1 1、用、用“相位相位”描述物体的运动状态描述物体的运动状态; ;2 2、用、用“相位相位”来比较两个同频率简谐振动的来比较两个同频率简谐振动的“步步调调”。月相月相: 新月新月, 娥眉月娥眉月, 上弦月上弦月, 满月满月, 下弦月下弦月, 残月等残月等娥眉月娥眉月上弦月上弦月下弦月下弦月满月满月速度超前速度超前位移位移/2，加速度与加速度与位移位移反相反相tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx)2cos(tA)sin(tAv)co

4、s(2tA)cos(2tAa判别简谐振动的依据：判别简谐振动的依据：1、运动表达式为、运动表达式为 ，其中，其中 A 、 和和 是常数。是常数。) cos(tAx2、作用力的形式为、作用力的形式为 ，k 为常系数。为常系数。kxF3、动力学方程可写成、动力学方程可写成 ， 为常系数，其平方根即为角频率为常系数，其平方根即为角频率.222d 0dxxt2 (或或T) -振动系统的动力学性质振动系统的动力学性质-系统的系统的固有角频率固有角频率kmT2mk弹簧振子：弹簧振子：A ， 决定于系统的初始条件决定于系统的初始条件( t=0 ) cos(tAxcos0Ax )sin(tAvsin0Av22

5、00()vAx00arctan( ) vx在在02内为内为多值多值函数，注意取舍！函数，注意取舍！力的形式为力的形式为F = kx ，k 为常系数。为常系数。大小与离开平衡位置的位移成正比，大小与离开平衡位置的位移成正比，方向永远指向平衡位置。方向永远指向平衡位置。-线性回复力线性回复力（linear restore force）。）。注意：系统总是在注意：系统总是在平衡位置平衡位置附近做振动的，附近做振动的，因此分析系统的运动时选取平衡位置做坐标零因此分析系统的运动时选取平衡位置做坐标零点更为方便。点更为方便。Ol mgT22ddsintsmmgls 22ddsintmlmgsin小幅振动小

6、幅振动0dd22lgtlgglT2旋转矢量的模为旋转矢量的模为A， t =0 时，时，旋转矢量与旋转矢量与 x 轴的夹角为轴的夹角为 ，旋转矢量的角速度为旋转矢量的角速度为 .矢量矢量末端点末端点在在 x 轴上轴上的投影点作简谐振动！的投影点作简谐振动！)cos(tAxP旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态yxPtA （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图txv0 xxkm)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是线

7、性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /21、机械能守恒机械能守恒。2、总能量与、总能量与振幅的平方振幅的平方成正比。成正比。txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21势能和动能的平均值势能和动能的平均值22k011sin ()d2TEkAttT241kA241kA22p011cos ()d2TEkAttT简谐振动系统的势能和动能的平均值，简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半

8、。皆等于总能量的一半。11A1xx021xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2合成后仍为合成后仍为简谐简谐运动运动, 2, 1, 0 212kk21AAA21AAA相互加强与相互减弱相互加强与相互减弱 )cos(212212221AAAAA1、若两振动、若两振动 同相同相21(21) 0, 1, 2,kk 2、若两振动、若两振动反相反相合振幅最大合振幅最大合振幅最小合振幅最小例例:如图所示如图所示, 两个同方向的简谐振动曲线两个同方向的简谐振动曲线.1、求合振动

9、的振幅、求合振动的振幅; 2、求合振动的振动表达式、求合振动的振动表达式.12AAA解解: :2A1AxT)(1tx)(2txt同方向，同频率同方向，同频率 = 2 / T ，反相，反相合振动振幅合振动振幅合振动初相合振动初相2x1A2AA122cos()2xAAtT合振动合振动T参与合成的两个振动的相位差不再恒定，参与合成的两个振动的相位差不再恒定，合成的旋转矢量合成的旋转矢量的长度和转动角速度也将不断改变的长度和转动角速度也将不断改变，合成后的运动不合成后的运动不再是简谐振动再是简谐振动。ty1A2A 2 1两个频率非常接近、振幅相等、初相位相同的振动合成：两个频率非常接近、振幅相等、初相

10、位相同的振动合成：tAtAxxx21212cos2costtAx22cos22cos21212拍拍(beat)(beat)、拍频、拍频(beat frequency)(beat frequency)拍：振动的振幅作拍：振动的振幅作周期性变化的现象周期性变化的现象 拍频：振动的振幅拍频：振动的振幅变化的频率。变化的频率。 12x1x2xt tt tt t减弱减弱加强)cos(22tAy)cos(11tAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（一）两个（一）两个频率相同频率相同的简谐振的简谐振动在相互垂直的两个方向上：动在相互垂直的两个方向上：yx求两者的合振动：消去求

11、两者的合振动：消去t 得到得到-椭圆椭圆方程，与两者的相位差有关。方程，与两者的相位差有关。同频率不同相位差的合运动轨迹同频率不同相位差的合运动轨迹012124243452347两个相互垂直的简谐振动的频率成简单整数比，此时两个相互垂直的简谐振动的频率成简单整数比，此时的合振动具有稳定封闭的轨迹图形的合振动具有稳定封闭的轨迹图形-李萨如图形李萨如图形（二）李萨如图形（二）李萨如图形(Lissajous(Lissajous Figure) Figure)txvfrdd txkxtxmdd dd22Oxrfkxf( )ecos()tx tAt2202dd20ddxxxttxt小阻尼小阻尼过阻尼过阻

12、尼临界阻尼临界阻尼220周期性外力周期性外力-驱动力驱动力0cosFFtF202ddcosddxxmkxFttt Oxrfkxf22002dd2cosddFxxxtttm0( )ecos()cos()tx tAtAt 2202tg 022 2220/()4FmA0A无阻尼无阻尼小阻尼小阻尼共振共振 22r02 0r220/2F mA 机械波机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程：机械振动在弹性介质中的传播过程.电磁波电磁波：交变电磁场在空间的传播过程交变电磁场在空间的传播过程.物质波物质波：微观粒子的运动微观粒子的运动, 其本身具有的波粒二象性其本身具有的波粒二象性. 波动的种类波动的种类:

13、条件条件波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体. .弹性介质：弹性介质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质. .机械波机械波-需有需有传播振动传播振动的介质的介质; ;电磁波电磁波-不需介质。不需介质。振动状态振动状态的传播的传播能量能量传播传播反射、折射、干涉、衍射反射、折射、干涉、衍射振动方向和波动的传播振动方向和波动的传播方向垂直，峰谷交替方向垂直，峰谷交替.振动方向和波动的传播振动方向和波动的传播方向平行，疏密相间方向平行，疏密相间.介质中各质点都作简谐振动介质中各质点都作简谐振动1、波动是振动状态的传播。介质中各质点在、波动是振动状态的传播。介质中各质点在 平衡位置附近振动，

14、并未平衡位置附近振动，并未“随波逐流随波逐流”；2、波动是相位的传播。在波的传播方向上，、波动是相位的传播。在波的传播方向上， 各质点的振动相位依次落后；各质点的振动相位依次落后；3、波动是能量的传播。、波动是能量的传播。xy1t2t ：在同一：在同一波线上两个相邻的、相位差为波线上两个相邻的、相位差为 2的振动的振动质点之间的距离。质点之间的距离。 -空间上的周期性空间上的周期性xy T ：波前进一个波长的距离所需的时间：波前进一个波长的距离所需的时间.1 T ：-时间上的周期性时间上的周期性u ：Tu波速和波长由介质的性质决定，波速和波长由介质的性质决定，波的频率与介质的性质无关，由波源决

15、定。波的频率与介质的性质无关，由波源决定。Eul波前上各点波前上各点均均当作独立的波源，发当作独立的波源，发射射球面子波球面子波(wavelet)，在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前.波线波线-传播方向传播方向波阵面波阵面-相位相同相位相同波前波前 -最前面最前面平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。xyO设平面简谐波以速度设平面简谐波以速度 u 沿沿 Ox 方向传播。方向传播。已知已知 t=t0 时的波动情况，要给出波线上任意坐标时的波动情况，要给出波线上任意坐标x 处的质点处的质点P的位移的位移 y 随

16、时间随时间 t 的变化规律的变化规律波动表达式波动表达式 y ( x , t )函数形式函数形式。uPt=t0 时刻时刻一、平面简谐波的波动表达式一、平面简谐波的波动表达式tAtycos) (0设设 O 点的振动点的振动表达式为：表达式为：振动从振动从 O 点传波到点传波到 P 点需点需时间时间tx u ( , )()cos()Poxxyx ty tAtuuxyOuPt 时刻时刻t 时刻在时刻在 x 处的处的P点的振动情况与点的振动情况与O点处的点处的t - t时刻的时刻的情况相同，情况相同，P点的运动表达式：点的运动表达式：沿沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式轴正方向传播的平面简谐

17、波的波动表达式( , )cos ()xy x tAtu)(2cos),(xTtAtxy用周期用周期T、频率、频率和波长和波长表示：表示：( , )cos2 ()xy x tAt 沿沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波动表达式轴负方向传播的平面简谐波的波动表达式xyOuPt 时刻时刻)(cos),(uxtAtxy)(2cos),(xTtAtxyu若已知若已知 x0 点的振动点的振动：) cos() , (0tAtxyx 轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式轴正方向传播的平面简谐波的波动表达式0( , )cos()xxy x tAtuuxxtPx00 xyOPx0波动表达式的物理意义波动表达式的物

18、理意义)(2cos),(xTtAtxy1、波动在时间上和空间上都具有周期性、波动在时间上和空间上都具有周期性2、分别用、分别用 x = x1 、 x = x2 （定值）代入，（定值）代入，)22cos(),(11xtTAtxy)22cos(),(22xtTAtxy在波的传播方向上，两定点在波的传播方向上，两定点 x1 和和 x2的振动相位依次的振动相位依次落后，相位差为落后，相位差为: )(21221xxxx在波线上，对应一个波长的间距，相位差为在波线上，对应一个波长的间距，相位差为 2 .3、用、用 t = t1（定值）代入，得（定值）代入，得 t1 时刻的波形图：时刻的波形图： yxo t

19、1 t1+t utu二、波动方程二、波动方程22222yyutx1、方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数。前述、方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数。前述的简谐波的表达式只是它的一个解。的简谐波的表达式只是它的一个解。2、任何物理量、任何物理量 y ，只要它与时间和坐标的关系满足这，只要它与时间和坐标的关系满足这一方程，则这一物理量就按波的形式传播。一方程，则这一物理量就按波的形式传播。2222222221tuzyx)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy例例: 已知已知 t = 0 时的波形曲线为时的波形曲线为,波沿波沿 x 正向传播，在正向传播，在 t = 0.5 s

20、时波形变为曲线时波形变为曲线,已知波的周期已知波的周期 T 1 s , A = 0.01 m, 求波动方程和求波动方程和 P 点的振动表达式。点的振动表达式。m 01. 0Am 04. 01sm 02. 05 . 001. 0us 202. 004. 0uT1s2Ty(cm)x(cm)123456POu解解：设设O振动表达式：振动表达式：)cos() (0tAtycos0A根据初始条件，根据初始条件，0sinAv22y(cm)x(cm)123456POu0( )0.01cos()2yttO点振动表达式：点振动表达式：)2cos(01. 0) (0tty( , )0.01cos()0.022xy

21、 x tt波动表达式：波动表达式：P点振动表达式：点振动表达式：0.01( )0.01cos()0.022Pytt( )0.01cosPytt1、波的能量、波的能量波动过程波动过程质元由静止开始振动质元由静止开始振动质元也发生形变质元也发生形变波动过程是能波动过程是能量的传播过程量的传播过程以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：)(cosuxtAy1) 振动动能：振动动能：xSVmddd2k1dd2Emv222k1dsin() d2xEAtVu2) 弹性势能：弹性势能：222p1dsin() d2xEAtVu2p1d(d )2Eky22p1d(d )2du SEy

22、x22)dd(d21xyxSu)(sinuxtuAxyddyFESx2ddu Syx3) 介质元的总能量：介质元的总能量：222kpdddsin() dxEEEAtVu(1) dV 的总能量的总能量 周期性变化周期性变化(2) 动能、势能变化是同周期的，且相等动能、势能变化是同周期的，且相等.(3) 机械能不守恒！（不是孤立体系，有能量传播）机械能不守恒！（不是孤立体系，有能量传播）(4) 最大位移处最大位移处:kpdd0EE平衡位置处平衡位置处:max0, dyE平均能量密度平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。：能量密度在一个周期内的平均值。22011d2Tww tAT2、能量密度、

23、能量密度(volume density of energy) 能量密度能量密度： 单位体积内波的总能量。单位体积内波的总能量。222sind()=dWVxwAtu2Aw 普适结论普适结论2w3、能流密度、能流密度 (energy flux density)能流密度能流密度 I：在：在单位时间单位时间内通过垂直于波线的内通过垂直于波线的单位面单位面积积上的波的平均能量上的波的平均能量，也叫波的也叫波的强度强度：2212wuSIwuuASuuS单位时间单位时间内垂直通过介质内垂直通过介质中某一面积的波的能量中某一面积的波的能量能流能流(P)：平均能流：平均能流：uSwP 一个一个周期周期内的平均值

24、内的平均值.单位单位: Wm-2球面波球面波t1时刻时刻t2时刻时刻2114Sr2224Sr2222221122114422uAruArA1和和A2分别表示两处的振幅。分别表示两处的振幅。1221ArAr球面波的振幅与离开波源的距离成反比。球面波的振幅与离开波源的距离成反比。0( , )cosAry r ttru波动表达式为：波动表达式为：一、波的叠加一、波的叠加 (superposition)几列波可以保持各自的特点（几列波可以保持各自的特点（ 频率、波长、振幅、振频率、波长、振幅、振动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立性。性。在叠加区

25、域内，任一质点振动的位移是各列波单在叠加区域内，任一质点振动的位移是各列波单独存在时在该点产生的位移的矢量和。独存在时在该点产生的位移的矢量和。叠加过后沿原叠加过后沿原来的方向继续前进，好象没有遇到过其它波一样。来的方向继续前进，好象没有遇到过其它波一样。二、波的干涉二、波的干涉(interference)干涉现象干涉现象: :几列波在相遇的叠加区域内，某些点的振动始几列波在相遇的叠加区域内，某些点的振动始终加强，而另有一些点的振动始终减弱。终加强，而另有一些点的振动始终减弱。S1S2相干条件：相干条件：1.波的波的振动频率振动频率相同，相同，2.振动方向振动方向相同，相同，3.振动振动相位相

26、同相位相同或有或有恒恒定的相位差定的相位差。能产生干涉现象的两列波叫能产生干涉现象的两列波叫做做相干波（相干波（coherent wave）设有两相干波源设有两相干波源S1、S2，振动方程为：，振动方程为：s111cos()yAts222cos()yAtP点的分振动为：点的分振动为：)2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAyS1S2r2r1PP点的合振动为：点的合振动为：12cos()yyyAt2212122cosAAAA A21212()()rrA与与 有关！有关！当：当： 21212()()2 0,1,2,rrkk max12AAAA合振幅最大：合振幅最大： 干涉加强干涉加强

27、 ！12 当：当： 21212()()(21) 0,1,2,rrkk min12AAAA合振幅最小：合振幅最小： 干涉减弱干涉减弱 ！波波程程差差合成波在空间各处的强度重新分布合成波在空间各处的强度重新分布-时间上稳定的、空间上时间上稳定的、空间上强弱相间强弱相间具有具有周期性周期性的一种分布。的一种分布。12,0,1,2,rrkk （）12(21),0,1,2,2rrkk （）干涉减弱干涉减弱干涉加强干涉加强三、驻波三、驻波(standing wave)频率相同、振动方向相同、振幅相同而频率相同、振动方向相同、振幅相同而传播方向相反传播方向相反的两列波叠加，形成驻波。的两列波叠加，形成驻波。

28、-特殊的干涉现象。特殊的干涉现象。绳绳 A A)(2cos1xTtAy沿正方向传播：沿正方向传播：)(2cos2xTtAy沿负方向传播：沿负方向传播：合振动：合振动：12222coscosyyyAxtTtTxAy2cos2cos21. 此表达式不表示行波，它表示了此表达式不表示行波，它表示了各个不同位置处（坐各个不同位置处（坐标标 x）的点在不同时刻的振动情况；）的点在不同时刻的振动情况；2. 不同位置处各质点做不等幅但不同位置处各质点做不等幅但同频率的简谐振动同频率的简谐振动，在某些点的在某些点的振幅为零，形成波节振幅为零，形成波节 (node) ，在某些点的在某些点的振幅最大，形成波腹振幅

29、最大，形成波腹 (loop) ；3. 驻波没有能量的定向传播驻波没有能量的定向传播.合振动合振动驻波的表达式驻波的表达式驻波的波形特征驻波的波形特征1. 两个相邻波节（或波幅）的间距为两个相邻波节（或波幅）的间距为22. 同一段上的各点的振动同相，而隔开一个波节的各同一段上的各点的振动同相，而隔开一个波节的各点的振动反相。点的振动反相。2波节波节波腹波腹x振幅大小振幅大小的包络线的包络线半波损失半波损失分界面处出现波节，必须入射波和反射波在分界面处分界面处出现波节，必须入射波和反射波在分界面处的相位相反。的相位相反。绳子两端固定驻波：绳子两端固定驻波：垂直入射垂直入射时，如果时，如果 则分界面

30、处将出现波节，这时入射波与反射波在分界面则分界面处将出现波节，这时入射波与反射波在分界面有有的相位突变，从波长的角度考虑有的相位突变，从波长的角度考虑有/2的波长差，的波长差，此现象称此现象称半波损失。半波损失。1122uu B （b） 波疏 波密 /2 B （a） 波密 波疏声波声波(sound wave)： 频率范围频率范围 2020000 Hz内的声振动；内的声振动；超声波超声波(ultrasonic)： 频率高于频率高于20000 Hz；次声波次声波(infrasound)： 频率低于频率低于20 Hz.声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波。声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波。 一、

31、声强级和听觉区域一、声强级和听觉区域声强级公式：单位声强级公式：单位:分贝分贝(decibel, dB)100. .10logII LI声强：声强：声波的能流密度声波的能流密度-单位时间单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量。面积的声波能量。uAI2221人耳所能感受的声音的强度范围非常大，人耳所能感受的声音的强度范围非常大，-1000Hz声音，声音，10-12Wm-2 I 1 Wm-2，声学中用对数标度来量度声强，叫声学中用对数标度来量度声强，叫声强级（声强级（I. L.）.I 0=10-12Wm-2-闻阈的声强闻阈的声强,0dB，痛阈的声强痛阈的声强120dB.声强级不能用代数相加！声强级不能用代数相加！ 122210W/m1 W/m当鸣笛的火车开向站台，站台上当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频的观察者听到的笛声变