椭圆的定义及标准方程

1、椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程第一课时第一课时“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 嫦娥三号精确变轨太阳系图片九大行星运行图装饰中的椭圆生活用具 现实生活中到处在着椭圆,从宇宙到世界每个角落，我们的生活与椭圆密切相关，那么我们如何用自己的双手画出完美标准的椭圆呢?先回忆如何画圆 怎样定义椭圆?我们先回忆圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.定义定义平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的的 (大于大于|F2|)的点的集合叫作椭圆的点的集合叫作椭圆焦点焦点两个两个 F1，F2叫作椭圆的焦点叫作椭圆的焦点焦距焦距两焦点两焦

2、点F1，F2间的间的 叫作椭圆的焦距叫作椭圆的焦距集合语言集合语言PM| |F2|椭圆的定义椭圆的定义距离之和等于常数距离之和等于常数定点定点距离距离|MF1|MF2|2a,椭圆的几何特征 思考思考1：如果两定点之间的距离与绳如果两定点之间的距离与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？长相等，画出的图形还是椭圆吗？思考思考2：绳长能小于两定点之间的距离吗？：绳长能小于两定点之间的距离吗？ 平面内点平面内点M到两定点到两定点F1，F2的距离之和为常数的距离之和为常数2a， 1当当2a|F1F2|时，点时，点M的轨迹是椭圆；的轨迹是椭圆； 2. 当当2a|F1F2|时，点时，点M的轨迹是一条线段的轨迹是

3、一条线段F1F2； 3. 当当2a0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222

4、)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F

5、2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之求出a.b.c的任意两个值可写出椭圆的标准方程。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一个轴上。并且哪个大哪个就是a222221.153xy ，则a ，b ；22222.146xy ，则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 37 169. 322yx6 147. 422yx2

6、例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：椭圆方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422bac两焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42 a11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.? 两个焦点分别是 (-2，0)， (2，0)，且过点P1F2F),62 , 3(例例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一: c=2法二: c=2 设椭圆标准方程为:12222byax2a=P +P 2F1F1.求适合下列条件的椭圆方程(1).a a1313，b b7 7，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；(2)(2). .若椭圆满足若椭圆满足: a: a10 ,