林寿数学史19世纪的分析

1、第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，17891857年）和魏尔斯特拉斯（德，18151897），前者著有分析教程（1821）、无穷小分析教程概论（1823）和微分学教程（1829），后者创造了语言，是“现代分析之父”。1837年狄里克雷（德，18051859年）的函数定义。魏尔斯特拉斯简介。1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。实数的定义

2、及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。1.3 集合论康托（德，18451918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。康托简介。2、分析的拓展2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，17891857年）、黎曼（德，18261866年）和魏尔斯特拉斯（德，18151897年）。柯西建立了复变函数的微分和积分理论。1814年、1825年的论文关于积分限为虚数的定积分的报告建立了柯西积分定理，1826年提出留

3、数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。柯西简介。背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。1851年博士论文单复变函数一般理论基础，建立了柯西黎曼条件、黎曼映射定理。魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。魏尔斯特拉斯的方法与柯西黎曼的观点相互统一。2.2 解析数论1737年欧拉（瑞，17071783年）在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。1837年狄里克雷（德，18051859年）用分析方法证明了欧拉勒让德提出的素数问题，186

4、3年出版数论讲义，是解析数论的经典文献。1859年黎曼论不超过一个给定值的素数个数，开创了解析数论的新时期，提出了著名的黎曼猜想，使复分析成为这一领域的重要工具。1896年阿达玛（法，18651963年）和瓦莱普桑（比利时，18661962年）证明了素数定理。2.3 偏微分方程19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。弦振动方程。1747年达朗贝尔（法，17171783年）发表弦振动研究和1749年欧拉导出了弦振动方程并求出解，是偏微分方程研究的开端。位势方程。1752年欧拉提出，拉普拉斯（法，17491827年）1785年用球调和函数求解，称为拉普拉斯方程。格林（英，1793

5、1841年），1828年完成成名之作（1850年发表）关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文提出位势方程的求解方法。拉普拉斯简介。格林简介。热传导方程。傅里叶（法，17681830年）1807年就写成关于热传导的基本论文，1822年出版了热的解析理论，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶简介。背景：巴黎科学院。2.4 常微分方程以海王星的发现说明微分方程的作用。解的存在性。18201830年柯西获得第一个解的存在性定理，1869年李普希茨（德, 18321903年）条件，1890年皮卡（法, 18561941年）逐步逼近定理。关于偏微分方程解的存在唯一性定理：柯西柯瓦列夫斯卡娅定理。柯瓦列夫斯卡娅（俄，18501891年）简介。解的定性与稳定性理论。18811886年庞加莱（法，18541912年）由微分方程定义的曲线创建了微分方程的定性理论。1892年李雅普诺夫（俄，18571918年）运动稳定性的一般问题开创了微分方