35图形的放大与缩小位似变换

1、图形的放大与缩小，图形的放大与缩小，位似变换位似变换本课内容本节内容3.5图图3-46是具有这种关系的，两个图形有什么关系？是具有这种关系的，两个图形有什么关系？ 图图3-46相似相似. 分别在图分别在图3-46中左、右两个小狗的头顶上取一点中左、右两个小狗的头顶上取一点A，A；再分别在狗尾巴尖上取一点；再分别在狗尾巴尖上取一点B，B.图图3-46点点A，A与点与点O在一条直在一条直线上吗？点线上吗？点B，B与点与点O在一条直线上吗？在一条直线上吗？AABBO 分别量出线段分别量出线段OA，OA，OB，OB的长度，的长度，计算计算( (精确到精确到0.1) )： 继续在左、右两个小狗上找出一些

2、对应点，考继续在左、右两个小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点察每一对对应点是否都与点O在一条直线上；在一条直线上；图图3-46 OA=OA ，OB=OB . 计算每一对对应点与点计算每一对对应点与点O的连线段的比，看它们的连线段的比，看它们是否与上述是否与上述 ， 相等相等.OAOAOBOB 6.8 2.13.2 7.5 2.13.5 动脑筋动脑筋 现在你能发现图现在你能发现图3-46中右边的小狗是如何从左边中右边的小狗是如何从左边的小狗画出来的吗？的小狗画出来的吗？ 如何画出右边小狗头顶上的点如何画出右边小狗头顶上的点A和尾巴尖上的点和尾巴尖上的点B？对于左边小狗上每一个点，如

3、何画出右边小狗上？对于左边小狗上每一个点，如何画出右边小狗上的对应点？的对应点？ 图图3-46 从上述画右边小狗的方法以及类似问题，我们抽从上述画右边小狗的方法以及类似问题，我们抽象出下述概念：象出下述概念： 取定一点取定一点O，把图形上任意一点，把图形上任意一点P对应到射线对应到射线OP( (或它的反向延长线或它的反向延长线) )上一点上一点P，使得线段，使得线段OP与与OP的比等于常数的比等于常数k( (k0) )，点，点O对应到它自身，这种变对应到它自身，这种变换叫作换叫作位似变换位似变换； 点点O叫作叫作位似中心位似中心，常数，常数k叫作叫作位似比位似比，一个图形，一个图形经过位似变换

4、得到的图形叫作与原图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形位似的图形.从位似变换和位似的图形的定义立即得出：从位似变换和位似的图形的定义立即得出：结论结论 两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比似中心的距离之比等于位似比练习练习1. 在图在图3-47中，以点中，以点O为位似中心，位似比为为位似中心，位似比为2.5，画，画出出ABC在这个位似变换下的像在这个位似变换下的像. 图图3-47答：答：过过OC，OA，OB作射线，作射线， 分

5、别在射线上取分别在射线上取OA= 2.5OA， OB= 2.5OB，OC= 2.5OC. 连结连结 ， ， 则则 为为ABC在这个在这个 位似变换下的像位似变换下的像. A B B C A B C A C2. 在图在图3-48中，以矩形中，以矩形ABCD的对角线交点的对角线交点O为位为位似中心，位似比为似中心，位似比为0.6，画出矩形，画出矩形ABCD在这个在这个位似变换下的像位似变换下的像. 图图3-48 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.当位似比当位似比k1时，一个图形被放大成原图形的时，一个图形被放大成原图形的k倍；倍；当位似比当位似比k1时，一个

6、图形被缩小成原图形的时，一个图形被缩小成原图形的k倍倍.举举例例例例 把图把图3-49中的五角星放大成原图形的中的五角星放大成原图形的2倍倍. 图图3-49解解:选取五角星的特征点：五个角尖点选取五角星的特征点：五个角尖点 51234A A A A A, , , , , , , , ,以五角星的中心以五角星的中心O为位似中心，为位似中心，51234OA OA OA OA OA,分别作射线分别作射线图图3-4935124512342 2 2 22 OAOAOAOAOA = = = = = .OAOAOAOAOA, , ,在这些射线上分别取一个点在这些射线上分别取一个点 ，使得，使得 551314

7、2423A AA AA AA AA A ,连结连结则得到的五角星则得到的五角星 是原五角星是原五角星A1A2A3A4A5的的2倍倍. 51234A A A A A做一做做一做 在图在图3-49中，证明：中，证明： 13132 A A = .A A图图3-49证明证明:311313132 2 OAOA = = OAOA= AOAAOA, , OA1A3 13 OA A . 13132 A A = A A. . 图图3-50中，图形中，图形( (1) )经过什么变换得到图形经过什么变换得到图形( (2) )？观察观察图形图形( (2) )经过哪些变换得到图形经过哪些变换得到图形( (3) )？由此

8、得出：由此得出：图图3-50图形图形( (2) )与图形与图形( (1) )是什么关系？是什么关系？图形图形( (3) )与图形与图形( (2) )是什么关系？是什么关系？图形图形( (3) )与图形与图形( (1) )是什么关系？是什么关系？ 答：图形答：图形( (2) )与图形与图形( (1) )相似相似.答：图形答：图形( (3) )与图形与图形( (2) )相似相似.答：图形答：图形( (3) )与图形与图形( (1) )相似相似.图图3-50结论结论 图图3-50中图形中图形( (3) )与图形与图形( (1) )的关系表明：一个的关系表明：一个图形经过位似变换和平移、旋转，最后得到

9、的图形图形经过位似变换和平移、旋转，最后得到的图形与原图形相似与原图形相似 举出生活中相似的图形的例子，它们中的一个举出生活中相似的图形的例子，它们中的一个能不能从另一个经过位似变换和平移、旋转或轴反能不能从另一个经过位似变换和平移、旋转或轴反射得到？射得到？ 1.把图把图3-51中的中的正方形正方形ABCD缩小为原图形的缩小为原图形的0.6.练习练习答：答：连结连结AC与与BD，则，则AC与与BD相交于相交于O， 在射线在射线OA，OB，OC，OD上取上取OA=0.6OA， OB=0.6OB，OC=0.6OC，OD=0.6OD. 连结连结 ，则正方形，则正方形 为正方形为正方形ABCD在这个

10、位似变换下的像在这个位似变换下的像. A B C D A B B C C D A D,图图3-51ABDC2. 把图把图3-52中的菱形中的菱形ABCD放大为原图形的放大为原图形的1.5倍倍 图图3-52答：答：连结连结AC与与BD，则，则AC与与BD相交于相交于O， 在射线在射线OA，OB，OC，OD上取上取OA=1.5OA， OB=1.5OB，OC=1.5OC，OD=1.5OD. 连结连结 ，则菱形，则菱形 为为 菱形菱形ABCD在这个位似变换下的像在这个位似变换下的像. A B C D A B B C C D A D,小结与复习小结与复习 本章的中心内容是研究图形的放大与缩小，即图本章的

11、中心内容是研究图形的放大与缩小，即图形的相似形的相似.它的基础概念是它的基础概念是线段的比线段的比. 我们着重研究了相似三角形的判定方法和性质；我们着重研究了相似三角形的判定方法和性质；相似多边形的判定方法和性质相似多边形的判定方法和性质. 我们还研究了用位似变换把图形放大或缩小的方我们还研究了用位似变换把图形放大或缩小的方法法.图形的相似在许多实际问题中有重要应用图形的相似在许多实际问题中有重要应用. 一、基本概念一、基本概念1.相似的图形相似的图形 直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形是与原图形相似的形是与原图形相似的2.相似三角形相似三角形

12、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作三角形叫作相似三角形相似三角形.相似三角形的对应边的比叫相似三角形的对应边的比叫作作相似比相似比3.相似多边形相似多边形 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫作作相似多边形相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫作相似多边形的对应边的比叫作相似比相似比.4.线段的比，成比例线段，黄金分割线段的比，成比例线段，黄金分割 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比

13、例线段成比例线段. 如果选用同一长度单位量得两条线段如果选用同一长度单位量得两条线段PQ， 的的长度分别为长度分别为m，n，那么把它们的长度的比，那么把它们的长度的比 叫作这叫作这两条线段的比，记作两条线段的比，记作 ，或，或 P Qmn P Qn = PQm : : P Q PQ = n m .PQPQ 将一条线段将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线分成不相等的两部分，使较短线段段CB与较长线段与较长线段AC的比等于的比等于AC与原线段与原线段AB的比，的比，那么称线段那么称线段AB被点被点C黄金分割黄金分割，点，点C叫作线段叫作线段AB的的黄金分割点黄金分割点，较长线段，较长线段AC

14、与原线段与原线段AB的比叫作的比叫作黄黄金分割比金分割比.5 10.618.2 AC= AB- -ACCB5.位似变换，位似的图形位似变换，位似的图形 取定一点取定一点O，把图形上每一个点，把图形上每一个点P对应到射线对应到射线OP( (或它的反向延长线或它的反向延长线) )上一点上一点P，使得线段，使得线段OP与与OP 的比等于常数的比等于常数k( (k0) )，点，点O对应到它自身，这对应到它自身，这种变换叫作种变换叫作位似变换位似变换，点，点O叫作叫作位似中心位似中心，常数，常数k叫作叫作位似比位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫，一个图形经过位似变换得到的图形叫作作与原图形与原图形

15、位似的图形位似的图形.二二、成比例线段的基本性质成比例线段的基本性质 如果四条线段如果四条线段a，b，c，d是成比例线段，是成比例线段，即即acbd , ,那么那么ad = bc . 三三、相似三角形的性质、相似三角形的性质 性质性质1 相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边成比例性质性质2 相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等性质性质3 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方.四四、相似三角形的判定、相似三角形的判定 判定定理判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三

16、角形相似判定定理判定定理2 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似判定定理判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似形相似五五、相似多边形的性质、相似多边形的性质 性质性质1 相似多边形的对应边成比例相似多边形的对应边成比例性质性质2 相似多边形的对应角相等相似多边形的对应角相等性质性质3 相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方.六六、相似多边形的判定、相似多边形的判定 对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似对应角相等，对应边成比例的两个

17、多边形相似七七、利用位似变换可以把一个图形放大或缩小利用位似变换可以把一个图形放大或缩小中考中考 试题试题例例1 如图，图中的小方格都是边长为如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的正方形，ABC与与 是关于点是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上顶点上.（1）画出位似中心点）画出位似中心点O；（2）求出）求出ABC与与 的位似比；的位似比；（3）以点）以点O为位似中心，再画一个为位似中心，再画一个A1B1C1，使它与，使它与ABC的的 位似比等于位似比等于1.5. A B C A B C（1）、（）、（3）的解答如图）的

18、解答如图2所示所示. .（2）因为）因为ABC与与 是位似图形，所以其位似比是位似图形，所以其位似比 实际上就是这两个三角形的相似比实际上就是这两个三角形的相似比. .又由勾股定理又由勾股定理 可得：可得：AC= ， ，所以，所以 ABC与与 的位似比的位似比= = 1 ：2.解解 A B C2224 =2 5+ + 22= 48 =4 5A C+ + A B C 2 5 : 4 5如图如图2如图如图1中考中考 试题试题例例2 检查视力时，规定人与视力表之间的距离为检查视力时，规定人与视力表之间的距离为5 m.现因房现因房间两面墙的距离为间两面墙的距离为3m，因此使用平面镜来解决房间小的问题，因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图所示，由平面镜成若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图所示，由平面镜成像原理，作出光路图，其中视力表像原理，作出光路图，其中视力表