第一章 离散时间信号与系统-1

1、第一章第一章 离散离散时间时间信号与系信号与系统统信息与电气工程学院信息与电气工程学院办公室：主楼办公室：主楼710710室室/ /研究院研究院2 2号楼号楼715 715 电电 话：话：5687803 5687803 学习目标学习目标 了解序列的概念及其几种典型序列的定义了解序列的概念及其几种典型序列的定义, ,掌握序列的基本运算，判断序列的周期性。掌握序列的基本运算，判断序列的周期性。 了解线性了解线性/ /移不变移不变/ /因果因果/ /稳定的离散时间系稳定的离散时间系统的概念并会判断，线性移不变系统及其统的概念并会判断，线性移不变系统及其因果性因果性/ /稳定性判断的充要条件。稳定性判

2、断的充要条件。 掌握对连续时间信号的时域抽样，掌握奈掌握对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。离散时间信号是对模拟信号离散时间信号是对模拟信号 xa(t) 进行进行等间隔采样获得的，采样间隔为等间隔采样获得的，采样间隔为T T，得到：得到：nnTxtxanTta ),()(一、离散时间信号一、离散时间信号序列的概念序列的概念0txa(t)0 xa(nT)tT2T这里这里 n n 取整数。对于不同的取整数。对于不同的 n n 值，值，xa(nT) 是是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信一个有序的数字序列，该数字序列就是离

3、散时间信号。号。注意，这里的注意，这里的n n取整数，非整数时无定义取整数，非整数时无定义，另，另外，在数值上它等于信号的采样值，即外，在数值上它等于信号的采样值，即nnTxnxa ),()(,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx 离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如表示法、集合符号表示法，如二、常用序列二、常用序列1. 1. 单位抽样序列单位抽样序列 ( (n)n)0, 00, 1)(nnn0 0 1/1/ t t ( (t)t)0 0(1)(1)t t ( (t)t)1 1n n0 0 ( (n)n)2.

4、2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)u(n)0, 00, 1)(nnnut0u(t)10nu(n) ( (n)n)与与u(n)u(n)之间的关系之间的关系) 1()()(nunun0)()(kknnu令令n-k=m，有有nmmnu)()(3. 3. 矩形序列矩形序列R RN N(n)(n)nNnnRN其它, 010, 1)(N为矩形序列的长度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR4. 4. 实指数序列实指数序列)()(nuanxn，a为实数为实数0n0a1a-1或或-1a0,序列的幅值摆动序列的幅值摆动0n-1a00na0 时，序列右移时，序列右移延迟延迟

5、当当 n00 时，序列左移时，序列左移超前超前x(n)n0n0 x(n-2)4. 序列的翻转序列的翻转n0 x(-n)v x(-n)是是x(n)的翻转序列。的翻转序列。x(-n)是以纵是以纵轴（轴（n=0）为对称轴将序列为对称轴将序列x(n)加以翻转。加以翻转。x(n)n05. 尺度变换尺度变换x(n)n0n0 x(2n)(mnx)(nx是是序列每隔序列每隔m m点取一点形成的，相当于点取一点形成的，相当于时间轴时间轴n n压缩了压缩了m m倍。倍。抽取序列抽取序列mnx)(nx是是序列相邻抽样序列相邻抽样点间补（点间补（m m1)1)个零值点，表示零值插值。个零值点，表示零值插值。插值序列插

6、值序列6. 6. 累加（等效积分）累加（等效积分）nkkxny)()(7. 7. 差分运算差分运算 前向差分前向差分 后向差分后向差分) 1()()()() 1()(nxnxnxnxnxnx8. 8. 卷积和卷积和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。1.2 线性移不变系统线性移不变系统离散时间系统Tx(n)y(n)()(nxTny在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。系统系统可定义为将输入序列可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列映射成输出序列

7、y(n)的的唯一变换或运算，并用唯一变换或运算，并用T表示，即表示，即1.2.1 线性系统线性系统若系统满足若系统满足可加性可加性与与比例性比例性, ,则称此系统为则称此系统为离散时间线性系统离散时间线性系统。),()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT其中其中a a、b b为任意常数。为任意常数。设设增量线性系统增量线性系统对增量线性系统，任意两个输入的差是两个输对增量线性系统，任意两个输入的差是两个输入差的线性函数入差的线性函数1.2.2 时不变系统（移不变系统）时不变系统（移不变系统）时不变系统Tx(n)y(

8、n)()(nxTny若若则则)()(00nnxTnnyn n0 0为任意整数。为任意整数。输入移动任意位（如输入移动任意位（如n n0 0位），其输出也移动这么多位），其输出也移动这么多位，而幅值却保持不变。位，而幅值却保持不变。1.2.3 线性时不变系统输入与输出线性时不变系统输入与输出之间的关系之间的关系T(n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被称为被称为线性时不变系统线性时不变系统(linear shift invariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。线性时不变系统可用它的单位抽样响应来表征。 单

9、位取样响应，也称单位冲激响应单位取样响应，也称单位冲激响应，是指输入为是指输入为单位冲激序列时系统的输出，一般用单位冲激序列时系统的输出，一般用h(n)h(n)来表示：来表示：)()()(nhnTny根据线性系统的叠加性质根据线性系统的叠加性质 )()()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根据时不变性质又根据时不变性质设系统的输入用设系统的输入用x(n)x(n)表示，而表示，而mmnmxnx)()()(因此，系统输出为因此，系统输出为 )()()()(mmnmxTnxTny通常把上式称为通常把上式称为离散卷积或线性卷积离散卷积或线性卷积。这一关系常用。这一关系常用符号符号“* *

10、”表示：表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym线性时不变系统的一个重要特性是它的线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：v用单位取样响应用单位取样响应h(n)h(n)来描述系统来描述系统h(n)x(n)y(n)()()()()(nhnxmnhmxnym线性卷积的计算线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：计算它们的卷积的步骤如下： (1)(1)折叠：折叠：先在哑变量坐标轴先在哑变量坐标轴k k上画出上画出x(k)x(k)和和h(k)h(k)，将将h(k)h(k)以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成 h(-

11、k)h(-k)。 (2)(2)移位：移位：将将h(-k)h(-k)移位移位n n，得得h(n-k)h(n-k)。当当n n为正为正数时，右移数时，右移n n；当当n n为负数时，左移为负数时，左移n n。 (3)(3)相乘：相乘：将将h(n-k)h(n-k)和和x(k)x(k)的对应取样值相乘。的对应取样值相乘。 (4)(4)相加：相加：把所有的乘积累加起来，即得把所有的乘积累加起来，即得y(n)y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym线性卷积满足以下运算规律：线性卷积满足以下运算规律：交换律交换律)()()()(nxnhnhnxh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)

12、结合律结合律分配律分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnxh1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx)()()()()(nnxmnmxnxm)()()()()(000nnxmnnmxnnnxmv序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：序列本身：v如果序列与一个移位的单位取样序列如果序列与一个移位的单位取样序列 ( (n-nn-n0 0) )进行线性卷积，就相当于

13、将序列本身移位进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n n0 0：1.2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性在系统中，若输出在系统中，若输出y(n)y(n)只取决于只取决于n n时刻，以及时刻，以及n n时刻时刻以前的输入，即以前的输入，即),2(),1(),()(nxnxnxny称该系统是称该系统是因果系统因果系统。对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样响应满足：系统的单位取样响应满足：0, 0)(nnh如如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系统是指输出的变化不领因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。先于

14、输入的变化的系统。稳定系统稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样响应绝对可和，即条件是单位取样响应绝对可和，即nnh)(稳定系统稳定系统是指对于每个有界输入是指对于每个有界输入x(n)x(n)，都产生有都产生有界输出界输出y(n)y(n)的系统。即如果的系统。即如果| |x(n)|M(Mx(n)|M(M为正常数为正常数) )，有有| |y(n)|+y(n)|+，则该系统被称为则该系统被称为稳定系统稳定系统。 1.3 线性常系数差分方程线性常系数差分方程一个一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：阶线性常系数差分方程用下式表示：连续

15、时间线性时不变系统连续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程线性常系数微分方程离散时间线性时不变系统离散时间线性时不变系统 线性常系数差分方程线性常系数差分方程NkkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的基本方法有三种：求解差分方程的基本方法有三种：经典法经典法求齐次解、特解、全解求齐次解、特解、全解递推法递推法求解时需用初始条件启动计算求解时需用初始条件启动计算变换域法变换域法将差分方程变换到将差分方程变换到Z Z域进行求解域进行求解延时延时a0 x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0 x(n-1)a1-b1y(n) 1() 1()()(110nybnxan

16、xany差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的结构差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的结构1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样连续时间连续时间信号信号离散时间离散时间信号信号采样采样内插内插信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丢失；经过采样后信号内容会不会有丢失；如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。 1.4.1

17、 采样采样S)(txa)( txa)()()(tPtxtxaaT0tT2T)(txa0tP(t)T0txa(t)最高频率为最高频率为fc 0理想采样理想采样)()()(tPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()()(txa)( txa)(),(tPtP一、理想采样一、理想采样xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定义定义单位冲击函数单位冲击函数1)( dtt0, 0)(ttt0 (t)(1)单位冲击函数有一个重要的性质：单位冲击函数有一个重要的性质：采样性采样性若若f f( (t t) )为连续函数，则有为连续函数，则有)0()()(fdtttf将上式推广，可

18、得将上式推广，可得)()()(00tfdttttft0 (t-t0)二、频谱的周期延拓二、频谱的周期延拓即即即即)()()()(tPtxtxjXaaa)()()(,tPtxtxaa)()(jXtxaa)()(jXtxaa)()(21)(jPjXjXaadejXjXtxdtetxtxjXtjaaatjaaa)(21)()()()()(-1)()(tPjP)(tP由于由于 是周期函数是周期函数nnTttP)()(可用傅立叶级数表示，即可用傅立叶级数表示，即ktjkkSeatP)(TS2采样角频率采样角频率 2222)(1)(1TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系数系数22)(

19、1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)()(tPjPktjkSeT1tjkSe 1kSkTjP)(2)()(21对称性对称性)(21StjkkeS移频特性移频特性kSSk)(1)(t根据根据0(S)S2S-S-2SS)( jP)()(21)(jPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采样信号的傅氏变换为采样信号的傅氏变换为 kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1即即kSaajkjXTjX)(1)(采样信号的频谱是原模拟信号频谱采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为的周期延拓，其

20、延拓周期为 s s 。CS2CS2讨论：讨论： S/2 C)(jXa S2 S3 S 0- - S(c)- C C S/2 0(a)( jXa最高截最高截止频率止频率 S/2)(jXa 0- - S2 S S(b)CS2称称Nyquist采样率采样率2/S称称折叠频率折叠频率CS2 C S/2)(jXa S 0- SS0称称Nyquist范围范围采样定理采样定理 ：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（ s 2 C）。）。由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：1.采样频率低采样频率低2.连续信号的频谱没有被限带连续信号的频谱没有被限带CS20C 2C 3C 4C 可选s =(34)C 低通采样频域分析频域分析kSaajkjXTjX)(1)(且在 时，2S)(1)(