概率论课后习题解答

1、一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数；解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故15,6,7,;(2)掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；解： 22,3,4, 11,12 ;观察某医院一天内前来就诊的人数；解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以3 0,1,2,；(4)从编号为1, 2, 3, 4, 5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：检查两件产品是否合格；解：用0表示合格,1表示不合格，则 5Q0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；(

2、6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1,最高气温不高于T2);解：用x表示最低气温，y表示最高气温；考虑到这是一个二维的样本空间，故：6 x,yT1 x y T，;在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；解：7 X0 x 2 ;(8)在长为l的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度.解：8 x, y x 0, y 0,x y l ；设A, B, C为三事件，用A；B;C的运算关系表示下列各事件：(1) A与B都发生，但C不发生；ABC ;(2) A发生，且B与C至少有一个发生；A(B C);(3) A,B,C中至少有一个发生；A B C ;(4) A,B,

3、C 中恰有一个发生；ABC ABC ABC ；(5) A,B,C中至少有两个发生；AB AC BC ;(6) A,B,C中至多有一个发生；AB AC BC ; (7) A；B;C中至多有两个发生；旗 ；(8) A,B,C中恰有两个发生.ABC ABC ABC ;注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。设样本空间 x0 x 2 ,事件 A= x0.5 x 1 , B x0.8 x 1.6具体写出下列各事件： AB ； (2) A B ； (3)A-B; (4)LB(1) AB x0.8 x 1 ;(2) A B= x0.5 x 0.8 ;(3) A B= x0 x 0.5 0.8 x 2

4、 ；(4) A B = x0 x 0.5 1.6 x 2用作图法说明下列各命题成立：略用作图法说明下列各命题成立：略按从小到大次序排列 P(A),P(A B),P(AB),P(A) P(B),并说明理由.解：由于 AB A,A (A B),故P(AB) P(A) P(A B),而 由加法 公式，有：P(A B) P(A) P(B)若W表示昆虫出现残翅，E 表示有退化性眼睛，且P(W) = ; P(E)=,P(WE)二, 求下列事件的概率：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛；(2)昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；(3)昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛.解：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

5、P(W E) P(W) P(E) P(WE) 0.175(2)由于事件W可以分解为互斥事件 WEWE ,昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：P(WE) P(W) P(WE) 0.1(3)昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛的概率为：P(W E) 1 P(W E) 0.825.设A与B是两个事件，P(A) = ； P(B)=。试问：(1)在什么条件下P(AB)取到最大值？最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值？最小值是多少？解：(1)由于 AB A,AB B,故 P(AB) P(A), P(AB) P(B),显然当 A B 时 P(AB) 取到最 大值。最大值是.(2)由于P(

6、AB) P(A) P(B) P(A B)。显然当P(A B) 1时P(AB)取到最小值，最 小值是.设 P(A) = , P(B) = , P(C) = , P(AB) = 0, P(AC) = , P(BC)=,求事件A,B,C中至少有一个发生的概率.解：因为P(AB) = 0 ,故P(ABC) = 0. A,B,C至少有一个发生的概率为：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 0.7计算下列各题： 设 P(A) = , P(B) = , P(A B)=, 求 P(AB);(2)设 P(A) = , P(A B)=, 求 P(AB);

7、(3) 设 P(AB) = P(A B); P(A)=, 求 P(B)。解：(1)通过作图，可以知道， P(AB) P(A B) P(B) 0.3把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1, 2, 3概率各为多少？解：用A表示事件“杯中球的最大个数为i个" i=1,2,3 o三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 64种，每种放法等可能。对事件A：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4X3X2种，故P(A)- 8(选排列：好比3个球在4个位置做排列)o对事件A3:必须三球都放入一杯中。放法有 4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A) 0

8、 P(A2) 13 168 16 16掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5的概率各是多少？解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件(1, 2), (2, 1)。故前后两次出现的点数之和为 3的概率为-o18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4, 5的概率各是-,-012 9在整数0,1,2, 9中任取三个数，求下列事件的概率：(1)三个数中最小的一个是 5; (2) 三个数中最大的一个是 5.解：从10个数中任取三个数，共有 C130 120种取法，亦即基本事件总数为120o(1)若要三个数中最小的一个是

9、 5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个，取法有C： 6种，故所求概率为 。20(2)若要三个数中最大的一个是 5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个，取法有C2 10种，故所求概率为 。1212只乒乓球中有4只是白色球，8只是黄色球。现从这12只乒乓球中随机地取出两只，求下列事件的概率：(1) 取到两只黄球；(2) 取到两只白球;(3)取到一只白球，一只黄球.解：分别用A,A2,A3表示事件：(1)取到两只黄球；(2)取到两只白球；(3)取到一只白球，一只黄球.则P(A) CTC122814C26116 ,P(A2) -T , P(A0 1 P(A) P(A2)一。6633C

10、22661133已知 P(A) 0.7, P(B) 0.4, P(AB) 0.5,求 P(A B) B).解：P(AB)B) P(A B) B) P(AB) (BB)P(B)P(B)由于 P(BB) 0,故 P(A B)B)* P P(AB) 0.5 P(B) P(B)已知 P(A) 0.6, P(B) 0.4, P(AB) 0.5。 计算下列二式： P(A B); P(A B);解：(1) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1 P(B)P(AB) 1 0.4 0.5 0.8;(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1 P(B)P(AB) 1 0.4 0.5 0.6;

11、注意：因为 P(AB) 0.5,所以 P(A|B) 1 P(AB) 0.5。一批产品共20件，其中有5件是次品，其余为正品。现从这 20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：(1)在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品；(2)第三次才取到次品；(3)第三次取到次品.解：用A表示事件“第i次取到的是正品” (i 1,2,3),则A表示事件“第i次取到的是次品”15 33 14 21(i 1,2,3)。P(A) 一 一，P(AA) P(A1)P(A2 A1)一一 20 44 19 38(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品”的概率为：5P(A3A

12、A2) -018(2)事件“第三次才取到次品”的概率为：(3)事件“第三次取到次品”的概率为：14此题要注意区分事件(1)、(2)的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 A表示事件“第i次取到的是正品” (i 1,2), 则事件“在第一次取到正品的条件下，第二次取到次品”的概率为：P(A2A) 1;而事件“第 二次才取到次品”的概率为：P(A1A2) P(a)P(A2 A1) 1 0区别是显然的。2有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中有两件为次品，装在第一个箱中；第二批 有10件，其中有一件是次品，装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出

13、两件混入到第二箱中，然后再从第二箱中任取一件，求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用A(i 0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从第二2112/箱中取到的是次品"。则 P(Ao) C2 66,P(Ai) CC2 24,P(A2)乌 -,Ci4 91C：91C： 91123P(BA0) P(BA) P(B A2)-12 '12 '12 ，根据全概率公式，有：一等小麦种子中混有 5%勺二等种子和3%勺三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50颗以上麦粒的概率分别为 50%, 15%和10%假设一、二、三等种子的发芽率相同求用上述的

14、小麦种子播种后，这批种子所结的穗有50颗以上麦粒的概率.解：设A(i 1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，B表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。则 P(A) 0.92, P(Az) 0.05, P(A3) 0.03, P(B A) 0.5, P(B A) 0.15, P(B A3) 0.1 ,根据全概率公式，有：设男女两性人口之比为51 : 49,男性中的5%是色盲患者，女性中的是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概率。解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：P(A) 0.51,P(A) 0.49, P(B A) 0.0

15、5,P(B|A) 0.024 因止匕：根据贝叶斯公式，所求概率为：P(AB) P(AB) P(AB)_P(A)P(B A)102I P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(BA) P(A)P(BA) 151根据以往的临床记录，知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为 ，非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为，被试验者患有癌症的概率为。若某人对试验呈阳性反应，求此人患有癌症的概率解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则 A表示非癌症患者，显然有：P(A) 0.005, P(A) 0.995,P(BA) 0.95, P(B|A) 0.01,因此根据贝叶斯公式，所求概率为:仓库中有10

16、箱同一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产，5箱由丙厂生产，三厂产品的合格率分别为 95%; 90%和96%.(1)求该批产品的合格率；(2)从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若此件产品为合格品，问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少 ？解：设，B1 产品为甲厂生产, B2 产品为乙厂生产, B3 产品为丙厂生产,A 产品为合格品,则(1)根据全概率公式，P(A) P(Bi)P(AB) P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)0.94,该批产品的合格率为.(2)根据贝叶斯公式,P(B A)P(B)P(A|B1)P(B)P(AB) P(B2)P(AB2) P(B3)P(AB。1994同理可以求得P(B2 A)若此件产品为合格品14PB31A ,因此，从该10箱中任取一箱，此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为:再从这箱中任取一件19 27 24一,一,1094 94 47甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次，他们击中目标的概率分别为，和 ,求目标被击中的概率。解：记 A=目标被击中,则 P(