第三章多维随机变量及其分布第节ppt课件

1、 在有些随机景象中，每次实验的结果不能只在有些随机景象中，每次实验的结果不能只用一个随机变量来描画，而要同时用几个随机变用一个随机变量来描画，而要同时用几个随机变量来描画。如对于钢的成分的研讨，需求同时指量来描画。如对于钢的成分的研讨，需求同时指出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研讨它出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研讨它们之间的联络，就该当同时思索假设干个随机变量们之间的联络，就该当同时思索假设干个随机变量即多维随机变量及其取值规律即多维随机变量及其取值规律-多维分布。多维分布。 本章着重引见二维的情况，至于二维以上的本章着重引见二维的情况，至于二维以上的情况可由二维类似推得。情况可由

2、二维类似推得。 普通地，设普通地，设E是一个随机实验，它的样本是一个随机实验，它的样本空间是空间是S，再设，再设X和和Y是定义在是定义在S上两个随机变上两个随机变量。量。 由它们构成的一个二维向量由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二叫做二维随机向量或二维随机变量。维随机向量或二维随机变量。 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X及及Y有有关关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，因此， 逐个地研讨逐个地研讨X和和Y的性质是不够的，的性质是不够的， 还还需将需将(X,Y)作为一个整体来进展研讨。作为一个整体来进展研讨。 和

3、一维的情况类似，我们也是借助于和一维的情况类似，我们也是借助于 “分分布函数布函数 来研讨二维随机变量。来研讨二维随机变量。 设设(X,Y)是二维随机变量，对于恣意实数是二维随机变量，对于恣意实数x, y，二元函数二元函数)()(),(yYxXPyxF ,yYxXP 称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量的分布函数或随机变量X和和Y的结合分布函数。的结合分布函数。xy(x,y),2121yYyxXxP ,22yYxXP ,12yYxXP ,21yYxXP .,11yYxXP ).,(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF xy(x2, y2) (x1

4、, y1) (1) F(x, y) 是变量是变量 x, y 的单调不减函数，的单调不减函数，即对于恣意固定的即对于恣意固定的 y, 当当 x2x1 时时, 有有),(),(12yxFyxF 对于恣意固定的对于恣意固定的 x, 当当 y2y1 时时, 有有);,(),(12yxFyxF (2)且且, 1),(0 yxF对于恣意固定的对于恣意固定的 y，有，有, 0),(lim),( yxFyFx对于恣意固定的对于恣意固定的 x，有，有, 0),(lim),( yxFxFy, 0),(lim),( yxFFyx. 1),(lim),( yxFFyx(3) F(x, y) 关于关于x 右延续，关于右

5、延续，关于y 也右延续，也右延续，).,()0,(),(), 0(yxFyxFyxFyxF 即即 如二维随机变量如二维随机变量(X,Y)一切能够取的值是有一切能够取的值是有限对或无限可列对，那么称限对或无限可列对，那么称(X,Y)是二维离散型随是二维离散型随机变量。机变量。 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)一切能够取的一切能够取的值为值为), 2 , 1,(),( jiyxji), 2 , 1,(, jipyYxXPijji记记 那么称上述一系列等式为二维离散型随机变那么称上述一系列等式为二维离散型随机变量量(X,Y)的概率分布律，的概率分布律， 或随机变量或随机变量X和和Y

6、的联的联合概率分布律。合概率分布律。 显然有：显然有：, 0 ijp. 1 ijijp随机变量随机变量X和和Y的结合概率分布律也可用表格表示的结合概率分布律也可用表格表示ixxx21XY121111ixppy222122ixppyijjjjxppy21例例1：设随机变量：设随机变量X在在1,2,3,4四个整数中等能够地取四个整数中等能够地取一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y在在1 X中等能够地取一中等能够地取一整数值。试求整数值。试求(X, Y)的分布律。的分布律。(X, Y)的一切能够的取值为：的一切能够的取值为：X 等能够地取等能够地取1,2,3,4中的一个，中的一个，Y 等能

7、够地取等能够地取1到到 X 之间的整数值。之间的整数值。,jYiXP 且且|iXPiXjYP i1 41 ., 4 , 3 , 2 , 1,41ijii 即可写出对应的概率分布表。即可写出对应的概率分布表。离散型随机变量离散型随机变量X和和Y的结合分布函数的结合分布函数F(x, y)具有方具有方式：式： xixyjyijpyxF,),(.,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 与一维延续型随机变量类似，对二维随机变量与一维延续型随机变量类似，对二维随机变量的分布函数的分布函数 F(x, y), 假设存在非负的函数假设存在非负的函数 f (x, y), 使使得对恣

8、意的实数得对恣意的实数x, y，有，有 yxdudvvufyxF,),(),(那么称那么称 (X, Y) 是延续型二维随机变量，而是延续型二维随机变量，而 f (x, y) 称称为为二维随机变量二维随机变量(X, Y) 的概率密度或随机变量的概率密度或随机变量X和和Y的的结合概率密度。结合概率密度。, 0),()1( yxf, 1),(),()2( Fdxdyyxf则则连连续续，在在点点若若),(),()3(yxyxf),(),(2yxfyxyxF (4) 设设 G 是是 xoy 平面上的一个区域，那么点平面上的一个区域，那么点 (X, Y) 落落 在在G 内的概率内的概率.),(),( Gd

9、xdyyxfGYXP例例2：设延续型二维随机变量：设延续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为 222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf.0)2(;)1(XYPA 概率概率常数常数求求dxdyyxf ),(1)1(dxdyyxRARyx 22222)( RrdrrRdA020)( ,33RA .33RA 例例2：设延续型二维随机变量：设延续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为的概率密度为 222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf.0)2(;)1(XYPA 概率概率常数常数求求xy y=xGG10)2(XYP 概概率率 GdxdyyxfGYXP),(),

10、( 1223)(3GdxdyyxRR RrdrrRdR0403)(3 .81 二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分作为一个整体，具有分布函数布函数F(x, y)。但。但X，Y 都是随机变量，分别也都是随机变量，分别也有本身的分布函数。如将它们分别记为有本身的分布函数。如将它们分别记为),(xFX),(yFY 那么依次称为二维随机变量那么依次称为二维随机变量(X,Y)关于关于X和和关于关于Y 的边缘分布函数。的边缘分布函数。)(xXPxFX , yxXP),( xF同理可得同理可得).,()(yFyFY 对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X, Y), xixyjyijpyx

11、F,),(因为因为),()( xFxFX所所以以 xixjijp1 xixixXP), 2 , 1(1 ipxXPjiji所所以以), 2 , 1(1 jpyYPiijj同同理理), 2 , 1(1 ipxXPjiji), 2 , 1(1 jpyYPiijj记记), 2 , 1(1 ixXPppijiji), 2 , 1(1 jyYPppjiijj 分别称上述两式为二维离散型随机变量分别称上述两式为二维离散型随机变量(X, Y)关于关于X和和Y的边缘分布律。的边缘分布律。对于二维延续型随机变量对于二维延续型随机变量(X, Y)，设其概率密度为，设其概率密度为 f (x, y)。),()( xF

12、xFX由由 xdxdyyxf),(知知X是一延续型随机变量，具有概率密度函数为是一延续型随机变量，具有概率密度函数为.),()( dyyxfxfX同理同理, Y也是一延续型随机变量也是一延续型随机变量, 其概率密度函数为其概率密度函数为.),()( dxyxfyfY 它们分别被称为二维延续型随机变量(X, Y)关于X和Y的边缘概率密度函数。例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：求关于求关于 X 和关于和关于Y 的边缘分布律。的边缘分布律。012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211 XY), 2 , 1(1

13、ixXPppijiji), 2 , 1(1 jyYPppjiijj3/16/12/1 ip3/13/13/1jp 例例2：设二维延续型随机变量：设二维延续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为： 其其它它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf求关于求关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布密度。的边缘分布密度。 dyyxfxfX),()(1y = x xxdyxyxx010)2(8 . 41, 00或或 10)2(4 . 21, 002xxxxx或或例例2：设二维延续型随机变量：设二维延续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为： 其其它它00, 10)2(8 . 4)

14、,(xyxxyyxf求关于求关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布密度。的边缘分布密度。 dxyxfyfY),()(1y = x 110)2(8 . 41, 00yydxxyyy或或 10)2223(8 . 41, 002yyyyyy或或例例3：设二维延续型随机变量：设二维延续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常数数，其其中中的二维正态分布，的二维正态分布，服从参数为服从参数为则称则称 ,),(2121YX),(),(222121 NYX记

15、记为为),(),(222121 NYX如如果果那么可求得那么可求得 xexfxX21212)(121)( yeyfxY22222)(221)( 由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖参数一维正态分布，并且都不依赖参数 , 亦即对于给亦即对于给定的定的 不同的不同的 对于不同的二维正态分对于不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。布，但它们的边缘分布却都是一样的。 ,2121 这一现实阐明，由结合分布可确定边缘分布，这一现实阐明，由结合分布可确定边缘分布，但反之不然。但反之不然。 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其

16、分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为), 2 , 1,(, jipyYxXPijji(X,Y)关于关于X 和关于和关于Y 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为), 2 , 1(,1, ippxXPjijii), 2 , 1(,1, jppyYPiijjj), 2 , 1(| iyYxXPji即即求求, 0, jp设设jyY 我们来思索在事件我们来思索在事件已发生的条件下事件已发生的条件下事件 发生的概率：发生的概率：ixX 显然显然,|jjijiyYPyYxXPyYxXP ), 2 , 1(, ippjji易知，上述条件概率具有分布律的特征：易知，上述条件概率具有分布律的特征：), 2 ,

17、 1(, 0|)1( iyYxXPji 1,1|)2(ijjiijippyYxXP 1,1ijijpp. 1 于是，我们有于是，我们有 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，对固定的是二维离散型随机变量，对固定的 j，, 0 jyYP若若), 2 , 1(|, ippyYxXPjjiji则则称称为在条件为在条件 下随机变量下随机变量X 的条件分布律。的条件分布律。jyY 同理，对于固定的同理，对于固定的 i，, 0 ixXP若若), 2 , 1(|, jppxXyYPijiij则则称称为在条件为在条件 下随机变量下随机变量Y 的条件分布律。的条件分布律。ixX 现设现设(X,Y)是二维延续型随机

18、变量，是二维延续型随机变量， 这时由于对恣意这时由于对恣意的的X, Y, 有有 , 0 xXP, 0 yYP 因此不能由因此不能由条件概率公式直接引入条件概率公式直接引入 “条件分布函数，下面我们条件分布函数，下面我们用极限方式来处置。用极限方式来处置。给定给定 y，设对任意固定的设对任意固定的0 , 0 yYyP于是对恣意于是对恣意 x ，有，有,| yYyPyYyxXPyYyxXP由此引入下述定义：由此引入下述定义：给定给定 y，设对任意固定的设对任意固定的0 , 0 yYyP有有且对恣意且对恣意 x ，极限，极限存在，存在，,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP那么称此极

19、限为在条件那么称此极限为在条件 Y = y 下随机变量下随机变量 X 的条件的条件分布函数，分布函数，|yYxXP 记为记为).|(|yxFYX或或 设(X, Y)的分布函数为F(x,y), 概率密度为f (x,y)， 假设在点假设在点(x,y)处，处， f (x,y)延续，边缘概率密度延续，边缘概率密度 连连续，且续，且)(yfY, 0)( yfY那么有那么有,lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY /)()(/),(),(lim0yFyFyxFyxFYY dyydFyyxFY)(),( )(),(yfduyufYx .)(),(

20、 xYduyfyuf.)(),()|(| xYYXduyfyufyxF条件概率密度，条件概率密度，的的下随机变量下随机变量为在条件为在条件若记若记XyYyxfYX )|(|那么由上式可得那么由上式可得.)(),()|(|yfyxfyxfYYX .)(),()|()|(|xfyxfxyfxyFXXYXY 和和同同理理可可定定义义例例1：设：设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A。假设。假设二维随机变量二维随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它0),(1),(GyxAyxf那么称那么称(X, Y)在在G上服从均匀分布。现设二维随机变上服从均匀分布。现设二维随

21、机变量量(X, Y)在圆在圆 上服从均匀分布，求条件上服从均匀分布，求条件概率密度概率密度122 yx).|(|yxfYX由假设随机变量由假设随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它011),(22yxyxf 其它其它011),(22yxyxf 由假设随机变量由假设随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度且有边缘概率密度且有边缘概率密度 dxyxfyfY),()( 其它其它011,12121122yydxyy 其它其它011),(22yxyxf 其它其它011,121)(21122yydxyfyyY 时时有有于于是是当当11 y 22|1211)/2(/1)|(yyyxfYX

22、 2211yxy 0其它其它例例2：设二维随机变量：设二维随机变量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其其它它010,|1),(xxyyxf求条件概率密度求条件概率密度).|(|xyfXY dyyxfxfX),()( 101xdyxx其它其它0 其它其它0102xx于是当于是当 0 x 1 时有时有 取取其其它它值值yxyxxfyxfxyfXXY0|21)(),()|(| 在这一节中，我们将利用两个事件相互独立在这一节中，我们将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。为此，的概念引出两个随机变量相互独立的概念。为此，我们有：我们有：函函数数，的的分分布布函函数数和和边边缘缘

23、分分布布量量分分别别是是二二维维随随机机变变设设),()(),(),(YXyFxFyxFYX假设对于任假设对于任意的意的x, y，有，有,yYPxXPyYxXP ),()(),(yFxFyxFYX 即即那么称随机变量那么称随机变量 X 和和 Y 是相互独立的。是相互独立的。对于二维离散型随机变量对于二维离散型随机变量(X,Y)，X 和和 Y 是相互独立的充要条件是：是相互独立的充要条件是：,jijiyYPxXPyYxXP ), 2 , 1(, ipppjiji即即012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211 XY3/16/12/1 ip3/13/13/1jp 例

24、例1：设：设(X,Y)的分布律为：的分布律为：X 与与Y 不独立。不独立。对于二维延续型随机变量对于二维延续型随机变量(X,Y)，X 和和 Y 是相互独立的充要条件是：是相互独立的充要条件是：).)( )(),( yYxyxXdyyfdxxfdxdyyxf即即),()(),(yFxFyxFYX 两边对两边对x, y 求二阶混合偏导数，得：求二阶混合偏导数，得：),()(),(yfxfyxfYX 续点处成立。续点处成立。的一切连的一切连这一等式只须在这一等式只须在)(),(),(yfxfyxfYX例例2：设二维延续型随机变量：设二维延续型随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为： 其其它它0

25、0, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf前面已求得关于前面已求得关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布密度为的边缘分布密度为 10)2(4 . 21, 00)(2xxxxxxfX或或 10)2223(8 . 41, 00)(2yyyyyyyfY或或 其其它它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf 10)2(4 . 21, 00)(2xxxxxxfX或或 10)2223(8 . 41, 00)(2yyyyyyyfY或或)41,21(取取点点,59)41,21( f则则,109)21( Xf,8099)41( Yf)41()21()41,21(YXfff 因为因为所以所以 X

26、与与Y 不独立。不独立。例例3：二维正态随机变量：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常数数，其其中中那么可求得那么可求得 xexfxX21212)(121)( yeyfxY22222)(221)( 2)(2)(21exp21)()(2222212121 xxyfxfYX，因因此此，如如果果0 ),()(),(,yfxfyxfyxYX 有有则对于所有则对于所有即即X和和Y相互独立。相互独立。反之，反之，假设假设X和和Y相互独立，相互独立

27、，,)(),(),(都是连续函数都是连续函数由于由于yfxfyxfYX),()(),(,yfxfyxfyxYX 有有故故对对于于所所有有的的,21 yx特特别别，令令那么从上述等式可得：那么从上述等式可得：,2112121221 . 0 从从而而对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y)，X和和Y相互独立的充要条件是：相互独立的充要条件是：. 0 参数参数例例4：设：设X和和Y是相互独立的随机变量，其概率密度是相互独立的随机变量，其概率密度分别为：分别为： , 00, 0)(xxexfxX , 00, 0)(yyeyfyY YXYXZ当当当当是常数。引入随机变量是常数。引入随机变量其中

28、其中010, 0 的分布律和分布函数。的分布律和分布函数。求求求条件概率密度求条件概率密度ZyxfYX)2();|()1(|)()(),()1(yfxfyxfYX 其它其它00, 0 yxeyx 时时当当0 y)(),()|(|yfyxfyxfYYX , 00, 0 xxex 1)2(YXPZP yxdxdyyxf),( Ayxdxdye A xyxdxdyedx 0 0YXPZP 11YXP 所以所以 Z 的分布律为的分布律为 kpZ10 Z 的分布函数为的分布函数为 111000)(zzzzFZ 1. 离散型的情形：离散型的情形：例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)

29、的结合分布律为的结合分布律为6/26/126/26/1110XY求随机变量求随机变量 Z = X+Y 的的分布律。分布律。 Z = X+Y 的能够取的值为的能够取的值为 1, 2, 3,11 YXPZP且且1, 0 YXP, 6/1 22 YXPZP1, 12, 0 YXPYXP, 2/16/26/1 例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的结合分布律为的结合分布律为6/26/126/26/1110XY求随机变量求随机变量 Z = X+Y 的的分布律。分布律。 Z = X+Y 的能够取的值为的能够取的值为 1, 2, 3,11 YXPZP且且1, 0 YXP, 6/1 2

30、2 YXPZP1, 12, 0 YXPYXP, 2/16/26/1 33 YXPZP2, 1 YXP. 3/16/2 所以随机变量所以随机变量 Z = X+Y的分布律为的分布律为3/12/16/1321kpZ2. 延续型的情形：延续型的情形：的的分分布布函函数数为为则则，的的概概率率密密度度为为设设二二维维连连续续型型随随机机变变量量YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf),(xyx+y=z dydxyxfyz),(yux dyduyyufz),(uyz zdudyyyuf),(所以所以 Z 的概率密度为的概率密度为.),()( dyyyzfzfZ所以所

31、以 Z 的概率密度为的概率密度为.),()( dyyyzfzfZ由由 X, Y 的对称性，的对称性，)(zfZ又可写成又可写成.),()( dxxzxfzfZ 特别地，当特别地，当 X 和和 Y 相互独立时，设相互独立时，设 (X, Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为),(),(yfxfYX那么上式分别可化为那么上式分别可化为.)()()( dyyfyzfzfYXZ.)()()( dxxzfxfzfYXZ或或记为记为).()(yfxfYX ).()()(yfxfzfYXZ 即即例例2：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们是两个相互独立的随机变量，它们都服从都服

32、从N(0, 1)分布，其概率密度为分布，其概率密度为 xexfxX2221)( yeyfyY2221)( 求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。.)()()( dxxzfxfzfYXZ dxeexzx2)(22221 dxeezxz22)2(421 dxeezfzxzZ22)2(421)( 2zxt dteetz22421 4221ze4221ze 即即 Z 服从服从N(0, 2)分布。分布。同理可证，如同理可证，如X和和Y相互独立，且相互独立，且),(211 NX),(222 NY).,(222121 NYXZ则则更普通地，利用数学归纳法可证：更普通地，利用数学归纳法可证：相互独立，

33、且相互独立，且如如nXXX,21),(2iiiNX ).,(1211 niiniiniiNXZ 则则例例3：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，且是两个相互独立的随机变量，且 xexfxX2221)( 即即 其它其它即即021)(bybbyfY求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。),(2 NX上均匀分布，上均匀分布，服从服从),(bbY )()()(yfxfzfYXZ dyyfyzfYX)()( bbyzdybe212122)(21 bbyzZdybezf2121)(22)(21 bbyzdyeb22)(21221 tyz bzbztdteb22221)()(21 bzbzb例例4：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，其概率是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为密度分别为,0101)( 其它其它xxfX求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。,00)( 其其它它yeyfyY.)()()( dyyfyzfzfYXZ 010yyz 01yzyz,0)1(时时 z yyzyz01. 0)( zfZy0zz -1,10)2(时