第五章向量法

1、电电 路路 理理 论论 分分 析析 5.1 5.1 正弦量的正弦量的基本概念基本概念 第第5章章 相量法相量法 5.2 5.2 正弦量的正弦量的相量表示相量表示5.3 5.3 相量法的分相量法的分析基础析基础电电 路路 理理 论论 分分 析析 电电 路路 理理 论论 分分 析析 1 21 jjaaFj+10F1a2a)sin(cos jFF 复复量量的的模模 2221aaF复量的复角复量的复角 121aatg sincosjej jeFjFF )sin(cos FFsin| cos| 21F aFa思考：两个复数相等的条件？思考：两个复数相等的条件？电电 路路 理理 论论 分分 析析 ajaa

2、AeAjAjaaAa )sin(cos21 bjbbBeBjBjbbBB )sin(cos21 )()()()(22112121bajbajbbjaaBA ABA-BA+BB电电 路路 理理 论论 分分 析析 )()()()(211222112121babajbabajbbjaaBA )(BaBajjjeBAeBeABA ABA*B模相乘模相乘角相加角相加电电 路路 理理 论论 分分 析析 2221211222212211222121212121)(bbbabajbbbababbjbbjaajbbjaaBA )( )(bajjjBAeBAeBeABAbaBa 几何意义：几何意义：ABA/B模相

3、除模相除角相减角相减电电 路路 理理 论论 分分 析析 例例1)226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原式原式569. 0 j47.12解解例例2解解2 .126j2 .180原式原式329. 6 j238. 22 .126j2 .180?251047561. 248.12?5 j20j6)(4 j9)(1735220 04.1462.203 .56211. 79 .2724.1916.70728. 62 .126j2 .180365 .2255 .132j5 .182电电 路路 理理 论论 分分 析析 旋转因子旋转因子F ejFReImOF ej旋转因子旋转因子复数复数

4、 : ej =cos +jsin =1 欧拉公式欧拉公式电电 路路 理理 论论 分分 析析 j)2sin(j)2cos(e ,22j-j2,ecos()jsin()j222 j ,ecos( )jsin( )1 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子ReImOFFjFjF注意注意逆时针逆时针90度度电电 路路 理理 论论 分分 析析 虚单位虚单位 j 的数学意义和物理意义的数学意义和物理意义 j = e j90 jj = j 2 = e j90 e j90 = e j180= 1 oxjyj1 jj21jj3j41同理jj 314 j及 由此，可认

5、为虚单位 j 是复平面上角度为90的旋转因子。乘以 j 是向正方向旋转90（逆时针） ；除以 j 是向负方向旋转90（顺时针）。即电电 路路 理理 论论 分分 析析 5-1 正弦量正弦量1. 1. 正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(w t+i )tiOT正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )波形波形ii电电 路路 理理 论论 分分 析析 iI Im mit w02. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素 i(t)=Imcos(w t+i) 电电 路路 理理 论论 分分 析析 22fTTf1t O（1 1）周期、频率、角频率（）周期、频率、角频率

6、（变化快慢变化快慢）电电 路路 理理 论论 分分 析析 :- , （2 2）相位、初相位、相位差（）相位、初相位、相位差（变化进程变化进程） 令令t=0 f(0)=Fmcos =2n arccosf(0)/Fm ， 可能为多值。一般规定：可能为多值。一般规定：| | 即即： - ， 正负号取决于最大值与计时起点的关系正负号取决于最大值与计时起点的关系 （初相位为正，则正弦量的最大值出现在初相位为正，则正弦量的最大值出现在t=0之前之前）电电 路路 理理 论论 分分 析析 =0 =/2 =/2iOwt对任一正弦量，初相位可以任意指定；但同一电路中多个相关对任一正弦量，初相位可以任意指定；但同一电

7、路中多个相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同；同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同；初相位的符号取决于初相位的符号取决于最大值最大值与与t=0的关系。的关系。正弦量的最大值出正弦量的最大值出现在现在t=0之后，初之后，初相位为负。相位为负。电电 路路 理理 论论 分分 析析 例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，w103rad/s，1.1.写出写出i(t) 表达式；表达式；2.求最大值发生的时间求最大值发生的时间t1 1。tiO10050t1解解3( )100cos(10)i tt0

8、50100cost 3 由于最大值发生在计时起点由于最大值发生在计时起点之后之后3 )310cos(100)(3tti有最大值有最大值当当 310 13tms047. 1s10331t电电 路路 理理 论论 分分 析析 设设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i)相位差相位差 ： = (w t+ u)- (w t+i)= u-i等于初相位之差等于初相位之差规定规定： | | 0， u超前超前i 角角，或或i 滞后滞后 u 角角 (u 比比 i 先到达最大值先到达最大值) )。l 0， i 超前超前 u 角，或角，或u 滞后滞后 i 角（角（ u 比比 i

9、后到达最大值后到达最大值）。）。w tu, iu iuiO从波形图上看相位差从波形图上看相位差可取变化趋势相同点可取变化趋势相同点来看。来看。0ui图中：0;0ui备注：电电 路路 理理 论论 分分 析析 = 0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：，反相：特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu, i u i0w w tu, iu i0w w tu, iu i0 = 90正交正交 u 超前超前 i 90 或或 i 落后落后 u 90 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。电电 路路 理理 论论 分分 析析 例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列

10、两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(21ttitti)2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 (21ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(21ttuttu)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(21ttitti不能比较相位差不能比较相位差21ww结论045)2(4343245135)105(30)105100cos(10)(2tti120)150(30)150100cos(3)(2tti两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足

11、同频率同频率、同同函数函数、同符同符号号，且在，且在主主值范围值范围比较比较 不同频率的正弦量的相位差无任何意义；不同频率的正弦量的相位差无任何意义； 初相位与计时起点有关初相位与计时起点有关, 但相位差与计时起点无关。但相位差与计时起点无关。电电 路路 理理 论论 分分 析析 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果了衡量其平均效果, ,工程上采用有效值来表示。工程上采用有效值来表示。l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义ttiRWTd)(20R交流交流 iTRIW2R直流直流I物物理理意意义义（3 3）瞬时值、最大值、有效值（

12、变化大小）瞬时值、最大值、有效值（变化大小）e、i、uEm、Im、UmE、I、U瞬时值瞬时值最大值最大值有效值有效值周期电流或电压在一个周期内产生的平均效周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为与之相等的直流量的大小。应换算为与之相等的直流量的大小。电电 路路 理理 论论 分分 析析 TttiTI02defd)(1均方根值均方根值同理，电压有效值定义为：同理，电压有效值定义为：TttuTU02defd)(1l 正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：电流有效值电流有效值定义为定义为：II2 mm2UU电电 路路 理理 论论 分分 析析 22m01cos (

13、 ) dTIIttTw20001cos2( ) cos ( ) dd211 22TTTtttttTwwmm2m707. 0221 IITITIm( )cos( )2 cos( )i tItItwwII2 m因为因为所以所以设设 i(t)=Imcos(w t+ )证证明明电电 路路 理理 论论 分分 析析 mm220V220 2311V380V380 2537VUUUU，V200V8 .282V2200 电电 路路 理理 论论 分分 析析 l正弦交流电路正弦交流电路 激励和响应均为激励和响应均为同一频率同一频率的正弦量的线性电路（正弦的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦交流电路。稳态电路）

14、称为正弦交流电路。 正弦交流电路在电力系统和电子技术领域占有正弦交流电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。十分重要的地位。l为什么要研究正弦交流电路为什么要研究正弦交流电路 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数。后仍是同频率的正弦函数。 正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。优点 正弦信号是一种正弦信号是一种基本信号基本信号，任何非正弦周期信，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。号可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtfw电电 路路 理理 论论 分分

15、 析析 5-2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1. 1. 问题的提出问题的提出三角函数的代数和微积分运算，繁琐，容易出错。三角函数的代数和微积分运算，繁琐，容易出错。22dd( )ddCCCuuLCRCuu tttRLC+-uCiLu+-电路方程是微分方程电路方程是微分方程频率不会发生改变频率不会发生改变，三要素中关心三要素中关心初相位初相位和和有效值有效值。正弦量正弦量复数复数变换的思想变换的思想dtduCiiicCLR)(dtduCdtdLdtdiLucLL电电 路路 理理 论论 分分 析析 用相量表示正弦量，其基础是用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。用复数表示正弦量。在复数平

16、面复数平面建立直角坐标系Re为实轴、Im为虚轴设在复平面复平面上一复数A(a,b).用极坐标系则表示为.A = r / ?j(Im)+1(Re)0Aab?rA=r (cos? + j sin? )考虑欧拉公式，可改写为：考虑欧拉公式，可改写为：A = r e j? （指数式）（指数式）电电 路路 理理 论论 分分 析析 令线段令线段OA以角速度以角速度逆时针旋转，得逆时针旋转，得动点动点A(复数复数)坐标点为坐标点为A= r cos(w w t+?)+j sin(w w t+?) = r e j(w w t+ ?)jyx0A?w w txA在横轴投影为在横轴投影为 x= r cos (w w

17、t+ ?) = r / w w t + ? 与正弦时域表达式比较与正弦时域表达式比较 i = Im cos (w w t+ ?)可改写为可改写为A= r e j? e jw wt复数常数复数常数r e j? 相当于相当于初始值初始值任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以w w角速度角速度绕原点旋转的向量绕原点旋转的向量与其对应。可以用与其对应。可以用复数常数复数常数来表示正弦量来表示正弦量频率、幅值、初相位频率、幅值、初相位 幅值、初相位幅值、初相位A= A0 e jw wt电电 路路 理理 论论 分分 析析 旋转矢量表示法电电 路路 理理 论

18、论 分分 析析 同频率正弦量的旋转矢量电电 路路 理理 论论 分分 析析 相量定义：相量定义：用复平面上的用复平面上的静止量静止量(复数常数复数常数)表示表示正弦量，记为正弦量，记为jmmUU e(幅值电压幅值电压相量相量)(有效值电压相量有效值电压相量)jUUe或或 正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值或幅值相量的模表示正弦量的有效值或幅值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位若若相量幅度用最大值表示相量幅度用最大值表示 ，则用符号：，则用符号：mUmI在实际应用中幅度更多采用有效值，用符号：在实际应用中幅度更多采用有效值，用符号：UI电电 路路 理

19、理 论论 分分 析析 相量与相量与正弦量正弦量只是对应关系，非相等关系只是对应关系，非相等关系 旋转相量：A=r cos (w wt+?) + j r sin(w wt+?) = r e j(w wt+?) (复常数复常数)相量： A0= r( cos? + jsin?) = r e j? 正弦量正弦量：i = Im cos(w w t+?)相量相量A0(r e j? )乘上一个旋转因子(e jw w t)，得到复数圆的轨迹(A=A0 e jw w t ），对其取实实部部的结果就是正弦量的瞬时值正弦量的瞬时值。cos()Re()()jj tmmItI eeww对应关系对应关系电电 路路 理理

20、论论 分分 析析 旋转矢量旋转矢量电电 路路 理理 论论 分分 析析 电电 路路 理理 论论 分分 析析 在复平面上用矢量表示相量的图。在复平面上用矢量表示相量的图。l 相量图相量图UI+1+jOwUUtUtu) cos(2)(IItIti) cos(2)(只有只有同频率同频率的正弦量才能画在的正弦量才能画在同一相量图同一相量图上。上。可不画坐标轴，可不画坐标轴，参考相量参考相量画在水平方向。画在水平方向。 电电 路路 理理 论论 分分 析析 cos()Utwmcos()2uUt设正弦量设正弦量:相量相量: : 表示正弦量的复数称相量表示正弦量的复数称相量两种相量来表示两种相量来表示:相量的模

21、相量的模= =正弦量的有效正弦量的有效值值 相量辐角相量辐角= =正弦量的初相正弦量的初相角角jUUeU相量的模相量的模= =正弦量的最大正弦量的最大值值 相量辐角相量辐角= =正弦量的初相正弦量的初相角角jmmmUU eU或或：相量的两种表示形式相量的两种表示形式 相量图相量图: : 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形ej(cosjsin )UUUU相量式相量式: :IU有效值向量有效值向量幅值向量幅值向量important电电 路路 理理 论论 分分 析析 mcos()iIt？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。jmmI eI3.3.同一正弦量，对应两种相量同

22、一正弦量，对应两种相量（有效值和幅值向量）（有效值和幅值向量）， 每一种有两种表示形式每一种有两种表示形式（向量式和向量图）（向量式和向量图）。电电 路路 理理 论论 分分 析析 正误判断正误判断V452220 U？1.已知：已知：220cos(45 )Vu tVe22045m U？有效值有效值4 2cos (30 )At？Ae4j30 I3.已知：已知：相量相量瞬时值瞬时值j45 10cos (60 )Ai t？最大值最大值V100 U？Ve100j15 U？ 负号负号2.2.已知：已知：A6010 I4.已知：已知：V15100 U电电 路路 理理 论论 分分 析析 已知已知例例1试用相量

23、表示试用相量表示i, u。V )6014t311.1cos(3A )30314cos(4 .141oouti解解例例2 试写出电流试写出电流的瞬时值表达式。的瞬时值表达式。解解A )15314cos(250ti, 50Hz A,1550 fI已知已知V60220 A,30100oo UI电电 路路 理理 论论 分分 析析 计算相量的相位角时，要注意所在计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：象限。如：)9126cos(25tuw43jU)9126cos(25tuw43jU43jU)153cos(25tuw)153cos(25tuw43jU例例3：电电 路路 理理 论论 分分 析析 21iii

24、已知已知:1111112cos()iItIIw2222222cos()iItIIw则则:)(2Re2Re2Re212121tjtjtjeIIeIeIiiiwww电电 路路 理理 论论 分分 析析 21III该式对于任何时刻都成立，所以：该式对于任何时刻都成立，所以：2Re tjeIiw而)(2Re2Re21tjtjeIIeIww21iii 21III电电 路路 理理 论论 分分 析析 若若:2 cos()iiiItIIw 则则:(/2)ijIewIjwI)2cos(2)sin(2)cos(2wwwwwiiitItIdttIddtdiIjeIeIejjjiiwww2)2(电电 路路 理理 论论

25、分分 析析 若若:2 cos()iiiItIIw 则则:(/2)ijIeww wjIIw ww w)2cos(2)sin(2)cos(2wwwwwiiitItIdttIidtwwwwjIIjeIeeIjjjii112)2(电电 路路 理理 论论 分分 析析 2cos()uiRIRtwIRU 已知已知:2cos(), ,uuUtR Lw求求:i.解:2cos()RLudiuuuiRLdtUtwuRILj IUUwiUIIRj Lw 电电 路路 理理 论论 分分 析析 设问设问 解析法和图象法解析法和图象法 能否解决这个问题呢？能否解决这个问题呢？（1）用解析法求和）用解析法求和i=i1+i2=

26、4sin100t + 3Sin(100t +/2) =? 两个同频率的正弦量相加，得到的仍是同一频率的两个同频率的正弦量相加，得到的仍是同一频率的正弦量正弦量( (可利用三角函数和差化积去求解）可利用三角函数和差化积去求解）。RCii1i2【例例】正弦交流电路如图所示，已知，通过电阻正弦交流电路如图所示，已知，通过电阻R的电流的电流i1=4sin100t A，通过电容，通过电容C的电流的电流i2=3sin(100t+ /2) A求：总电流求：总电流i。根据节点电流定律可知根据节点电流定律可知（2）用图像法求和）用图像法求和电电 路路 理理 论论 分分 析析 下一页下一页图象法电电 路路 理理

27、论论 分分 析析 AttIim)45cos(100)cos(111wwAttIim)30cos(60)cos(222ww试求总电流 i 。解解i i 1i 2例：解析法：用和差化积求解解析法：用和差化积求解tIItIIttIttItItIiiimmmmmmmmwwwwwwwwcos)sinsin(sin)coscos() 2sincoscos(sin)sincoscos(sin)cos()cos(2211221122111221121电电 路路 理理 论论 分分 析析 两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量，设设此正弦量为此正弦量为i i 1i 2tItIt

28、Iimmmwwwcossinsincos)cos(则22112211sinsinsincoscoscosmmmmmmIIIIII因此，总电流 i 的幅值为212221122211)sinsin()coscos(mmmmmIIIII总电流 i 的初相位为)coscossinsin(22112211mmmmIIIIarctg电电 路路 理理 论论 分分 析析 212221122211)sinsin()coscos(mmmmmIIIII)coscossinsin(22112211mmmmIIIIarctg由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= 30则AIm1297 .

29、407 .122)307 .70()527 .70(22220218)527 .70307 .70(arctgAti)0218cos(129w故得结论：复杂结论：复杂i i 1i 2电电 路路 理理 论论 分分 析析 2. 用正弦波求解100cos (w wt+45 )60cos (w wt30 )129cos (w wt+18.3 )0it结论：不精确结论：不精确电电 路路 理理 论论 分分 析析 3. 用相量求解304518.2相量法的优点？相量法的优点？2 .1812930604510021III代数运算代数运算Ati)0218cos(129w电电 路路 理理 论论 分分 析析 把时域问

30、题变为复数问题。把时域问题变为复数问题。 把微积分方程的运算变为复数方程运算。把微积分方程的运算变为复数方程运算。 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。相量法怎么做？相量法怎么做？1 1、用复数相量表示正弦量、用复数相量表示正弦量2 2、通过复数代数运算，得相量结果通过复数代数运算，得相量结果3 3、将结果相量写回成正弦量将结果相量写回成正弦量 可见，用相量计算可将复杂的三角正弦函数的可见，用相量计算可将复杂的三角正弦函数的加、减、微分、积分运算转为简单的加、减、微分、积分运算转为简单的基于复数基于复数的代的代数运算，数运算，优点为：优点为：电电

31、 路路 理理 论论 分分 析析 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为相量法只适用于激励为同频正弦量同频正弦量的时不变线的时不变线性电路。性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图正弦波形图相量图相量图注意不不适适用用线线性性线线性性w1w2非非线性线性w电电 路路 理理 论论 分分 析析 波形图波形图瞬时值瞬时值相量图相量图复数复数符号法符号法小结：正弦波的四种表示法小结：正弦波的四种表示法wtUum cos TmIt wiUeUjbaUjUI电电 路路 理理 论论 分分 析析 5-3 相量法的分析基础相量法的分析基础1. 1. 电阻元件

32、电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式时域形式相量形式相量形式相量模型相量模型)cos(2)( itItiw)cos(2)()( iRtRItRituwuR(t)i(t)R+-有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+-RU IURu相量关系相量关系IRURUR=RIu=i iRiRIUII电电 路路 理理 论论 分分 析析 瞬时功率瞬时功率iupRR 波形图及相量图波形图及相量图 iw tOuRpRRUIu=iURI 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，始终交变，始终大于零大于零，表明电，表明电阻始终吸收功率。阻始终吸收功率。)(cos222iRtIU)(2cos1 iRtIU同同相相位位电电

33、路路 理理 论论 分分 析析 时域形式时域形式相量形式相量形式) cos(2)( itItiw)2 cos( 2 ) sin(2d)(d)(iiLtILtILttiLtuwwww相量模型相量模型相量关系相量关系jLULIw2. . 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式有效值关系有效值关系 UL=w L I相位关系相位关系 u=i +90 jwL+-LU Ii(t)uL(t)L+- 2 iLiLIUIIw电电 路路 理理 论论 分分 析析 感抗的性质感抗的性质 表示限制电流的能力。表示限制电流的能力。 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。相量表达式相量表达式XL=wL=2fL，称为感抗称为

34、感抗BL=1/w L =1/2fL，称为称为感纳感纳 感抗和感纳感抗和感纳开路开路短路短路(直流)(直流) , , , 0 ,0LLXXww1jjLIB UULw wXLO 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用)(jjLXILIU - - 表示电流滞后电压表示电流滞后电压电电 路路 理理 论论 分分 析析 功率功率)(2sin )sin()cos( mmiLiiLLLtIUttIUiupwwww t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2w交变，交变，有正有负有正有负，一周期内刚，一周期内刚好互相好互相抵消抵消，表明电感只储能不耗能。，表明电感只储能不耗能。LUIi波形图及相量图波形

35、图及相量图电压超前电压超前电流电流90电电 路路 理理 论论 分分 析析 时域形式时域形式相量形式相量形式)cos(2)( utUtuw)2 cos(2 ) sin(2d)(d)(uuCtCUtCUttuCtiwwww相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- UCI +- -Cj1相量关系相量关系1jjCUIX ICw 3. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式有效值关系有效值关系 IC=w CU相位关系相位关系 i=u+90 2 uCuCUIUUw电电 路路 理理 论论 分分 析析 XC=1/w C， 称为容抗称为容抗B C = w C， 称为容纳称为容纳容抗和频率成反比。容抗和频率成反比。 w 0， |XC| 直流开路直流开路(隔直隔直)。w ，|XC|0 高频短路。高频短路。容抗与容纳容抗与容纳相量表达式相量表达式UCUBIICIXUCCwwjj 1jjw|XC|O电容电容C具有隔直通交的作用具有隔直通交的作用 IXCIUCjj 电电 路路 理理 论论 分分 析析 功率功率)(2sin )sin()cos(2uCuuCCCtUIttUIuipw t iCOupC 瞬时功率以瞬时功率以2w交变交变，有正有负，一周期，有正有负，一周期内刚好互相内刚好互相抵消抵消，表明电容只储能不耗能。表明电容只储能不耗能。UCIu波形图及相量图波形图及相量图电流超前电流超前电压电