第3章微分中值定理与导数的应用第二节ppt课件

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. . ( (1 1) )0)(lim)(lim xgxfaxax； (2)(2)0)( xg； 则则 Axgxfax )()(lim( (或或 ) ). .( (证证略略) ) ( (3 3) )Axgxfax )()(lim( (或或 ) ), , ，00. 00定定理理( (洛洛必必达达法法则则) ) 设设函函数数)(xf和和)(xg在在点点ax 的的某某去去心心邻邻域

2、域内内有有定定义义且且可可导导, ,且且满满足足下下列列条条件件： )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1. .ax 可可改改为为 x； 2 2. . )(lim)(limxgxfaxax时时洛洛必必达达法法则则仍仍成成立立； 3 3. .若若不不是是 “00” 或或 “ ” 未未定定式式, ,不不能能使使用用洛洛必必达达法法则则； 4 4. .洛洛必必达达法法则则可可多多次次使使用用； 5 5. .当当)()(limxgxf 不不存存在在时时, ,且且不不是是 , ,不不能能说说)()(limxgxf不不存存在在, ,只只能能说说此此时时使使用用洛洛必必达达法法则则失失

3、败败, ,需需另另想想它它法法. . 说明：说明： 例例1 1xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx. 例例2 2123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00()00(用洛必达法则求极限例题。用洛必达法则求极限例题。)00(例例3 3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx . 1 )00(xxx1arctan2lim 等价无穷等价无穷小替换小替换例例4 4)( 注注: :0lnlim xxx, ,0 . . xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注: : xxxel

4、im, ,0 . . 例例5 55elimxxx )( 45elimxxx ! 5elimxx . 例例6 6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxsin3sinlimcos3coslim22 .3 )( 或解：或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及时及时分离分离非零非零因子因子 xxxsin3sin3lim2 例例7 7xxxx10)1(elim ，xxy1)1(

5、，xxy)1ln(ln .)1ln(12xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e )00(例例8 8解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 .)1ln(1coslim20 xxxx 求求例例9 9不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法则。xxxxxx1coslim)1ln(lim00 原式原式.001 解解型型未未定定式式

6、解解法法00,1,0,0 例例1010)0( 关键关键: :将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为 或或 型未型未定式。定式。00 型型） 0 1 步骤步骤:,10 .0100 或或xxxlnlim0 ( (0 ) ) xxxlnlim0101lim xxx xx0lim1 .0 例例1111)( 0101 .0000 型型） 2步骤步骤: xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 .21)1(21lim0 xx)00(步骤步骤:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例1212)0(00e . 1 xxxtan0lim xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 对数恒等式对数恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 例例1313xxx 111lim)1( xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1 或解或解( (重要极限法重要极限法) )： xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 例例1414.)(cotlimln10 xxx )(0 ,ln)ln(cotln xxy 取取对对数数得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1