高等数学上32 洛必达法则

1、上页下页结束返回首页3.2 洛必达法则洛必达法则洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及:00 型型未未定定式式解解法法00,1 ,0 ,0 上页下页结束返回首页.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或称称为为那那末末极极限限大大都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当 xFxfxFxfxaxxax洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定义定义例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( P134上页下页结束返回首页.)()(lim)()(lim);()(

2、)(lim)3(; 0)()()(),()2(; 0)(lim,0)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在设设定理定理1说明说明:(1)这种通过分子分母分别求导确定未定式极限的方法称为洛必达法则洛必达法则. .,)2(该法则仍然成立该法则仍然成立时时及及时时当当 xaxax上页下页结束返回首页证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF , ( , ),( , )axU aUxa 11( )

3、,( ) , ,f x F xa x在上满足柯西中值定理的条件则有则有1111( )( )( )( )( )( )f xf af xF xF aF x)()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当( )lim,( )xafxAF x( )lim,( )afAF.)()(lim)()(limAFfxFxfaax 上页下页结束返回首页例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原原式式. 例例2 2 P134-2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(上页下页结束返回首

4、页例例3 3P135-4P135-4解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(.cos12lim0 xeexxx 求求)00(解解. 2coslimsinlim00 xeexeexxxxxx原原式式上页下页结束返回首页注：注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：

5、例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例例：求求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。上页下页结束返回首页注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例5 5P134-2P134-2解解.tansinlim20 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原原式式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 上页下页结束返回首页.)()(lim)

6、()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及可以除外可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在设设定理定理2.,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxaxP134上页下页结束返回首页)0(lim)2);0(lnlim)16 为正整数，为正整数，求求例例nexxxxnxx）（）（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原原式式解解 xnxexlim)2xnxenx 1lim

7、 xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！无穷大量无穷大量的的阶阶数数依依次次递递增增。、xxxexx lnP136-5/6上页下页结束返回首页例例7 7解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 33sinsin3limcos3coslimcos3sin3cossinlim222 xxxxxxxxxxx原式原式例例8 8.3tantanlim2xxx 求求)( 解解上页下页结束返回首页型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例8 8解解.lim2x

8、xex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 P137上页下页结束返回首页例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型。不定

9、型。00上页下页结束返回首页型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 或通过或通过)(ln)()()(xfxgxgexf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0型。型。例例1010P136-9P136-9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 上页下页结束返回首页例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212解解.)(cotlimln10 xxx 求求)

10、(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取对对数数得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式上页下页结束返回首页例例1313.)sin11(sinlimsinsin11lim3030 xxxxxxxxxx 注意：注意：洛必达法则只用于洛必达法则只用于)( )00(用洛必达法则过程中要及时化简用洛必达法则过程中要及时化简, 并灵活结合其他并灵活结合其他求极限方法求极限方法.1212sinlim30 xxxx洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用上页下页结束返回首页xxx21lim总

11、结总结例如,21limxxxxxx21lim而11lim2xx1用洛必达法则(1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 上页下页结束返回首页(2) 若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1 (limxxx1上页下页结束返回首页三、小结三、小结通分通分转化转化00 0取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化洛必达法则(1) 洛必达法则不能解决的问题 . (2) 若若,)()()(lim时不存在xFxf上页下页结束返回首页Z 思考思考1、设、设)()(l

12、imxgxf是不定型极限，如果是不定型极限，如果)()(xgxf 的极限不的极限不存在，是否存在，是否)()(xgxf的极限也一定不存在？举例说明的极限也一定不存在？举例说明. 2 2、设设0)(lim)(lim xFxfaxax，且且在在点点a的的某某邻邻域域中中（点点a可可除除外外） ，)(xf及及)(xF都都存存在在， 且且0)( xF, , 则则 )()(limxFxfax存存在在是是)()(limxFxfax 存存在在的的（ ）. . （A A）充充分分条条件件； （B B）必必要要条条件件； （C C）充充分分必必要要条条件件； （D D）既既非非充充分分也也非非必必要要条条件件

13、. .B上页下页结束返回首页求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex )11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt练习练习ttt21lim11021)1(xt 令上页下页结束返回首页令,12xt 则ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim解解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则);1lim)2211000 xxex 上页下页结束返回首页xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x上页下页结束返回首页作业