5线面、面面垂直的判定与性质练习新人教B版试题

1、币仍仅州斤爪反市希望学校 9-5 线面、面面垂直的判定与性质根底稳固强化1.（文）（2021 海淀区期末）m n是两条不同的直线，a、 3A. 假设 m/a , a H p = n,那么 mil nB. 假设mil n, ml a,那么n丄aC. 假设mla ,mlp ,那么a/pD. 假设mla ,n?p ,那么alp 答案 A解析选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确.（ 理） 两条不同的直线m、n,两个不同的平面A.假设mla , nlp,那么ml nB.假设m/a , n/,那么m/ nC.假设mla , n/,那么ml nD.假设m/a , nlp,那么m/ n 答案 解析

2、 ml aalp? m/ p 或 m? mL n,故A正确;nl p如图 (1) , mla , nla 满足，但mil n,故C错;如图知B错;如图 （3） 正方体中, m/a, nlp,alp，知D错.2.（文）（2021 区模拟）设a、p、Y是三个不重合的平面，|假设alp, p丄丫，那么alY ；假设|上两点到a的距离相等，那么Ia ；假设I丄aI /p ,那么 alp ；假设 a/p, I ? p，且 I /a ,那么 I /p .A.B.C.D. 答案 D解析对于：假设 a丄B, B丄丫，那么可能aL 丫，也可能aY .对于：假设丨上两点到a的距离相等，那么丨/a ,显然错误.当丨

3、丄a ,丨n a = A时，丨上到A距离相等的两点到 a的距离相等.显然正确.（理）如图，三棱柱 ABC-AEG的侧面AABB丄BC且AC与底面成45°角，AB= BC= 2,那么该棱柱体积的最小值为（)A. 4 3B. 3 3C. 4D. 3答案C解析由得平面 AABEL平面ABCM交线为 AB故A在平面 ABCh的射影 D在AB上由AC与底面成1 145° 角得 AD= DC 丁 BCL AB 二当 CD最小即 CD= BC时 AD最小，此时 Sn =奢 AB B6 AD= 2 x2X2X2 =4.应选C.3. （2021 临漳一中模拟）一个几何体的三视图如下列图，那么

4、这个几何体的体积是（）1A. 2B. 33C.2D. 2答案A解析由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥 P- ABCD其底面ABCD直角梯形，AB= 1, CD= 2,高BC= 1,棱锥的高PC= 1，111体积 V= 3x2X（1 +2） X1 X1= 2.4.（2021 高三调研）如图，在立体图形 D- ABC中，假设AB= CB AD= CD E是AC的中点，那么以下结论正确的选项是（）A.平面ABCL平面 ABDB.平面ABDL平面 BDCC.平面ABCL平面BDE且平面 ADL平面BDED.平面ABCL平面 ADC且平面 ADL平面BDE答案C解析要判断两个平面的垂直关系，就需找一

5、个平面内的一条直线与另一个平面垂直因为AB= CB且E是AC的中点，所以 BE1AC同理有 DEL AC于是ACL平面BDE因为AC在平面ABC内，所以平面 ABC丄平面BDE又由于AC?平面ACD所以平面 ACDL平面BDE所以选C.5定点A和B都在平面a内，定点P? a , PBL a , C是a内异于A和B的动点，且PCLAC那么，动 点C在平面a内的轨迹是（）A. 条线段，但要去掉两个点B. 个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点答案B解析 连接 BC 丁 PB! a， ACL PB又 丁 PCL ACACL BCC在以AB为直径的圆上应选 B.6

6、.（文）（2021 模）1、m是不同的两条直线，a、3A. 假设丨La，a L 3，那么丨B. 假设丨/a，a丄3，那么丨C. 假设丨丄m a/3 ， m? 3，那么丨丄aD. 假设丨La，a/3，n? 3，那么丨丄m答案D丨L a解析?丨Lma/3n? 3（理）（2021 三模）在正三棱柱ABC-ABC中，假设AB 2, AA= 1,那么点A到平面ABC的距离为（）A.B.亠32"C.3 34D. 3答案B解析解法1:取BC中点E，连接AEAE，过点A作AFL AE垂足为F.v AAL平面 ABC - AAL BC/ AB= AC AEL BC BCL平面 AEA/. BCL AE

7、 又 AF丄 AE, AF丄平面ABC- AF的长即为所求点 A到平面ABC的距离.丁 AA = 1, AE= 3，二 AF=23.1 1解法 2： VA-ABC= 3Sabc- AA = 3x . 3X1 =又t AB= AC=p5,在厶 ABE中，AE= AB2-BE= 2.1二 SABC= 2X2X2= 2.1人2二 VA- ABC= 3x A1BC- h = gh.二§h = £，二h=£.二点A到平面ABC距离为 £.7如图，在直四棱柱 ABC- ABCD 中，/ ADC=90°,且 AA= AD= DC= 2,A1C1D 时，DM=

8、.答案22解析 t DA= DC= AA= DD且DA DC DD两两垂直，故当点 M使四边形ACD,. DM= 2®8 如下列图，在四棱锥 p- ABCDh PAX底面ABCD且底面各边都相等，满足时，平面MBX平面PCD只要填写一个你认为是正确的条件即可 ）答案DML PC或BMX PC等）（不唯一）解析连接AC t四边形ABC为菱形，二 ACX BD又t pa!平面ABCD二 PAL BD又 ACH PA= A,二 BDX平面 PAC二 BDX PC二当 DM- PC 或 BML PC等）时，M平面 ABCD当DM1平面ADCI为正方形时，DM1平面M是PC上的一动点，当点 M

9、即有PCL平面MBD而 PC? 平面 PCD，平面MBt!平面PCD9正方体 ABCB ABCD的棱长为1, E、F、G分别是AB BC BC 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形； P在直线FG上运动时，AP± DE Q在直线BG上运动时，三棱锥 A- DQC的体积不变； M是正方体的面ABQD内到点D和C距离相等的点，那么 M点的轨迹是一条线段.答案 解析 三棱锥A-ABC勺四个面都是 RtA，故错；P在FG上运动时，PFL平面ABCDPF丄DE又在正方体 ABCDh E、F为AB BC中点，二AF丄DE - DEI平面PAF - DEI PA故真；VA

10、- DQC= VQ- ADC, t BG /AD，二BG/平面ADC，.无论点 Q在BC上怎样运动，Q到平面ADC距离都相 等，故真；到点D和C距离相等的点在经过线段 CD的中点与DC垂直的平面a上，故点M为平面a与正 方体的面A BCD相交线段上的点，这条线段即 AD.10. (2021 东城二模)如图，矩形AMN所在的平面与直角梯形 MBC所在的平面互相垂直， MB/ NC MN I MB.(1) 求证：平面AMB/平面DNC(2) 假设MI CB求证BCLAC证明 因为MB/ NC MB平面DNC NC?平面DNC所以MB/平面DNC因为四边形AMN是矩形，所以MA/DN又MA平面DNC

11、 DN?平面DNC所以MA/平面DNC又 MAI MB= M 且 MA MB* 平面 AMB所以平面AM/平面DNC(2)因为四边形AMN是矩形，所以AMI MN因为平面 AMND平面MBCN且平面 AMND平面 MBCfNMN所以AML平面MBC.N因为BC?平面MBCN所以 AML BC因为ML BC M© AM= M所以BCL平面 AMC因为 AC? 平面 AMC 所以 BCI AC.能力拓展提升11.（文）（2021 调）如图，三棱柱 ABC- ABQ 中，AA丄平面 ABC AA= AB= 2, BC= 1, AC=Q5，假设规定正（主）视方向垂直平面 AC（A，那么此三棱

12、柱的侧（左）视图的面积为A.455C. 4D. 2答案A解析过B作BEL AC垂足为E，平面BBE交AC于E，那么BE=孕5，由题意根据三视图的规那么知，几何5体的侧视图表示长为 攀，宽为2的矩形，所以几何体的侧视图的面积为S=孕X2=勞，应选A.555（理）如图，在棱长均为1的三棱锥s ABC中, E为棱SA的中点，FABC勺中心，那么直线 EF与平面ABC所成角的正切值是（）A. 2 2B. 1C. 2D.#答案C解析 v F为正三棱锥底面中心，二 SF丄平面 ABC二平面 SAFL平面 ABCEFA为EF与平面 ABC 所成的角，易知 ae= 2, af=-33，又 ef= 2sa= 2

13、，/ cos / FAE=aF+ aE eF2AF- AE二 sin / FAE= 1 cos2A=二 tan / FAE= 2.由于Rt SAF中 E为SA的中点，:丄 FAE=Z EFA 故 tan / EFA=。12.（文）（2021 理，6）设平面a与平面B相交于直线 m直线a在平面a内，直线b在平面B内,且b丄m那么“ a L p "是“ a丄b"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 ：aQB= m b? B，a丄 B，b± m 二 b 丄 a,又;a? a ,二b± a.当a? a, a

14、/m时，：b± m二b± a,而此时平面 a与平面B不一定垂直，应 选A.（理）过正方形ABCD之顶点A作PM平面ABCD假设PA= AB那么平面ABP与平面CDP所成二面角的度 数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案B解析过P作直线丨/AB那么丨为二面角的棱，易证/ APD即为所求.丁 AP= AD / PAD=90°,Z APD=45°.13. （2021 联考）四棱锥P-ABCD勺顶点都在球 O的球面上，底面 ABCD是矩形，平面 PAD_底面ABCD PAD为正三角形，AB= 2AD=

15、 4,那么球O的外表积为 .答案643"解析 过P作PE/AB交球面于E,连接BE CE那么BE/AP, CE/ DP三棱柱AP- BEC为正三棱柱，PAD为正三角形，二 PAD外接圆的半径为 零,球O的半径R=22 +，64球O的外表积S=4n R =-314.在正三棱锥 P-ABC中, D E分别是AB BC的中点，有以下三个论断： ACL PBAC/平面PDEABL平面PDE其中正确论断的序号为.答案解析如图，丁 D E为AB BC的中点，二DEI ACv AC?平面 PDE - AC/ 平面 PDE取AC中点M那么由正三棱锥知，PMLAC BMLAC ACL平面 PBM/.

16、ACL PBv AC/ DE DEL BM 二 BML DE故AB与 DE不垂直，从而 ABL平面PDE错误.15. 如图，AB!平面ACD DE/ AB ACD是正三角形，AD= DE= 2AB且F是CD的中点.(1) 求证：AF/平面BCE(2) 求证：平面 BCEL平面CDE证明取CE的中点P,连接FP BR/ F为CD的中点，1FP/ DE 且 FP= 2DE1又 AB/DE 且 A吐2DE二 AB/ FP,且 AB FP,四边形ABPF为平行四边形，二AF/BP又vAF?平面BCE BF?平面BCEAF/ 平面 BCE(2) ACD为正三角形，二 AFL CDv AB!平面 ACD

17、DE/ ABDEL平面 ACD又 AF?平面 ACD 二 DEL AF又 AF丄 CD CD1 DE= D,AF丄平面 CDE又 BP/AF,BPL平面 CDE又v BP?平面BCE二平面 BCEL平面CDE16. (文)(2021 模拟)如图,正方形 ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直, ADL CD AB/ CD AB AD=2 , CD= 4 , M为CE的中点.(1) 求证：BM/平面ADEF(2) 求证：平面 BDEL平面BEC证明 证明：延长DA与 CB相交于P,v AB= AD= 2, CD= 4, AB/CD 二 B为 PC的中点，又M为CE的中点，二BM/ ERv BM

18、平面 ADEF ER 平面 ADEF/. BM/ 平面 ADEF(2)证明：由(1)知，BC= 2pC= 2，'PD + cD= 2 2,又 BD= AD+ AB= 2 2,二 BD + BC= CD,二 BD1BC又平面ADEIi平面ABCD EDL ADEDt平面 ABCD 二 EDI BC：ECT BD= D,BC!平面 BDE又BC?平面BEC二平面 BD!平面BEC(理)(2021 文，16)如图1,在Rt ABC中 , / C=90° , D E分别为AC AB的中点，点F为线段CD上 的一点，将厶ADE沿 DE折起到 ADE的位置，使 AF丄CD如图2.(1)

19、求证：DE/平面ACB(2) 求证：AF丄BE(3) 线段AB上是否存在点 Q使AC丄平面DEQ说明理由.分析(1)利用线面平行判定定理证明(关键证明DE/ BC .DEL ADDEL AD,(2) 由平面图形知折叠后，由线面垂直判定定理证得 DE1平面ACD那么DEDEI CDDEI CD丄AF ,又由AF丄CD易证得 AF丄平面BCDE那么AF丄BE(3) 采取先找再证的方法处理由 DA= DC联想到等腰三角形底边上的中线是底面边上的高,可取 AC中点，再由“中点找中点"原那么取 AB中点Q,证明AC!平面DEQ利用中的DEL平面ADC这一结论)解析 证明：因为 D E分别为AC

20、 AB的中点，所以DE/ BC又因为DE平面ACB所以DE/平面ACB(2)证明：由得 ACL BC且DE/BC所以 DEL AC 所以 DEL AD, DEL CD所以DEL平面 ADC而AF?平面ADC所以DELAF.又因为A FL CD所以AF丄平面BCDE所以AF丄BE 线段AB上存在点Q,使AC丄平面DEQ理由如下：如图，分别取AC、A1B的中点P、Q,那么PQ/BC又因为DE/ BC所以DE/ PQ所以平面DEC即为平面DEP由(2)知，DEL平面ADC所以DEL AC又因为P是等腰直角三角形 DAC底边AC的中点，所以AC丄DP所以AC丄平面DEP从而AC丄平面DEQ故线段AB上

21、存在点 Q 使得AC!平面 DEQ点评1.此题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，性质定理，折叠问题，存在性问题等.2 对于折叠问题，关键是看清折叠前后各量的变化与不变(包括长度、角度、位置关系等)，对于存在性问题，一般采取先找再证(取特例)的方法解决.1. (2021 高三年级调研测试 )如图，在四棱锥 P- ABCD，平面PADL平面ABCD AB/DC PAD是等 边三角形，BD= 2AD= 4，AB= 2DC= 2 5.(1) 求证：BDL平面PAD(2) 求三棱锥A- PCD勺体积.解析 证明：在厶 ABD中，由于 AD= 2，BD= 4，AB= 2 5，二 aD+ bD= aB.二

22、 AD! BD又平面PAL平面 ABCD平面PACT平面ABC号AD Bt?平面ABCD二BDL平面PAD(2)过P作POL AD交AD于 O又平面PAD!平面 ABCD二POL平面 ABCDPAD是边长为2的等边三角形，二PO= .3.由知，ADL BD 在 Rt ABD中,斜边AB边上的高为h =ADK BD 症AB = 5' AB/ DC二 Sacf 2cd< h= 2x 5X 455= 2. V- PCD= V- ACD=3s°AcX PO= 3<2X2 332.2.(2021 豫东、豫北十所名校联考)如下列图的七面体是由三棱台 ABC-ABG和四棱锥D-

23、 AACC对接而成,2.四边形ABCD是边长为2的正方形，BB丄平面ABCD BB = 2AB = 2.(1) 求证：平面 AACC丄平面BBD;(2) 求二面角A-AD-Ci的余弦值.解析因为BB丄平面ABCD! ABCD!边长为2的正方形，所以以B为原点建立如下列图的空间直角坐D(2,2,0), A(1,0,2), B(0,0,2), C(0,1,2)标系 B- xyz，那么有 A(2,0,0), B(0,0,0) , Q0,2,0)(1)证明：BB AC=(0,0,2) ( 2,2,0) = 0,E3D- AC=(2,2,0) ( 2,2,0) = 0,二 BB丄AC BDLAC 二 B

24、B丄AC BDLACv BB与DB是平面BBD内的两条相交直线.ACL平面 BBD,又AC?平面AACC,平面 AAGC丄平面BBD-1,0,2),AD= (0,2,0)AC = ( - 1,1,0)AD= (1,2 , 2).设n=(X1 , y1 , zD为平面AAD的一个法向量,那么 n AA =- X1 + 2z1 = 0 , n AD= 2y1 = 0 ,于是 y = 0,取 Z1 = 1 ,那么 X1 =2 , n= (2,0,1)设 m= A1 C1 =- X2 + y2 = 0 , rrr AD= x2+ 2y2 2z2 = 0 ,可得 3y2 = 2z?,取 Z2= 3,那么

25、 X2 = yz= 2 , m= (2,2,3).cos mnm n =7= 7/85mmsx 1785由图知二面角 A- AD C为钝角，所以其余弦值为一7 8585 .3. (2021 一模)四棱锥A- BCDE勺正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形.(1) 假设正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有 BF丄CM请说明理 由;(2) 假设AB= AC平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45° 求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.解析总有BF丄CM理由如下：法一：取BC的中点O,连接AO由俯视图可知， ACL平面BCDE CH 平面BCDE所以

26、AOL CD又CDL BC所以CDL平面ABC故CDL BF.因为 ABC为正三角形，F是AC的中点，所以BF丄AC又A8 CD= D,故BF丄平面ACD因为CM平面ACD所以BF丄CM法二：取 BC的中点O,连接AO由俯视图可知, AOL平面BCDE取DE中点H,连接OH OHLBC 以OG OH OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 O- xyz.那么 A(0,0 , 3) , B( 1,0,0) , C(1,0,0) , D(1,2,0)，可求得 F(2, 0,糅),设点M的横坐标为x,可求得点Mx, 2x,护(1 x)那么 E3F= (2 , 0 ,CM= (x 1,2x , ,3(1 x),T T 3BF- CM