数值分析上机习题目4

1、实验一实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组(1) 迭代20次或满足时停止计算。编制程序：储存m文件function x,k=CGmethod(A,b)n=length(A);x=2*ones(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r;k=0;while rho>10(-11) & k<1000 k=k+1; if k=1 p=r; else beta=rho/rho1; p=r+beta*p; end w=A*p; alpha=rho/(p'*w); x=x+alpha*p; r=r-alpha*w; rho1=

2、rho; rho=r'*r;end运行程序：clear,clcA=2 -1 0 0;-1 3 -1 0;0 -1 4 -1;0 0 -1 5;b=3 -2 1 5'x,k=CGmethod(A,b)运行结果：x = 1.2941176 0.03 0.5294 1.77(2) ,A是1000阶的Hilbert矩阵或如下的三对角矩阵，Ai,i=4，Ai,i-1=Ai-1,i=-1，i=2,3,.,nb1=3, bn=3, bi=2，i=2,3,n-1迭代10000次或满足时停止计算。编制程序：储存m文件function x,k=CGmethod_1(A,b)n=length(A);

3、x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r;k=0;while norm(r1,1)>10(-7)&k<104 k=k+1; if k=1 p=r; else beta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p; end r=r1; w=A*p; alpha=(r'*r)/(p'*w); x=x+alpha*p; r1=r-alpha*w;end运行程序：clear,clcn=1000;A=hilb(n);b=sum(A')'x,k=CGmethod(A,b)实验二1、 实验目的：用复化Simpson方法、自

4、适应复化梯形方法和Romberg方法求数值积分。实验内容：计算下列定积分(1) (2) (3) 实验要求：（1）分别用复化Simpson公式、自适应复化梯形公式计算要求绝对误差限为，输出每种方法所需的节点数和积分近似值，对于自适应方法，显示实际计算节点上离散函数值的分布图；（2）分析比较计算结果。程序：syms xf=x6/10-x2+x %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:') f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数（1）复化梯形clcclearsyms x %定义自变量xf=inline('x6/10-x2+x','x

5、') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('3*x4 - 2','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。f3='-(3*x4 - 2)' %因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=0.5*10(-7) %精度要求值 a=0 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数n Rn=-(b-a

6、)/12*(b-a)/n)2*f2(x1) %计算余项 if abs(Rn)<e %用余项进行判断 break % 符合要求时结束 endendh=(b-a)/n %求hTn1=0 for k=1:n-1 %求连加和 xk=a+k*h Tn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*(f(a)+2*Tn1+f(b)z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差stem(xk,Tn1);fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算

7、值的误差 R=')disp(R)（2）复化Simpsonclcclearsyms x %定义自变量xf=inline('x6/10-x2+x','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('36*x2','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(36*x2)' %因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10(-8) %精度要求值 a=0 %积分下限b=2 %积分上限x

8、1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数n Rn=-(b-a)/180*(b-a)/(2*n)4*f2(x1) %计算余项 if abs(Rn)<e %用余项进行判断 break % 符合要求时结束 endendh=(b-a)/n %求hSn1=0 Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和 xk=a+k*h xk1=xk+h/2 Sn1=Sn1+f(xk1) Sn2=Sn2+f(xk)end Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a)+f(b) %因Sn2多加了

9、k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n) fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)结果：用复化梯形算法计算的结果 Tn= 1.74等分数 n= 24764已知值与计算值的误差 R= -6.227用Simpson公式计算的结果 Sn= 1.34等分数 n= 76已知值与计算值的误差 R= -6.227用复化梯形算法计算的结果 Tn= 0.9218985等分数 n=

10、1119已知值与计算值的误差 R= -6.9711665用Simpson公式计算的结果 Sn= 0.4000等分数 n= 8已知值与计算值的误差 R= -6.5461245用复化梯形算法计算的结果 Tn= 23.83等分数 n= 1000000已知值与计算值的误差 R= 16.3671704用Simpson公式计算的结果 Sn= 23.87等分数 n= 10647已知值与计算值的误差 R= 16.3531969分析：在处理问题时，复化Simpson要比复化梯度计算速度要快很多。2、实验目的：高斯数值积分方法用于积分方程求解。实验内容：线性的积分方程的数值求解，可以被转化为线性代数方程组的求解问

11、题。而线性代数方程组所含未知数的个数，与用来离散积分的数值方法的节点个数相同。在节点数相同的前提下，高斯数值积分方法有较高的代数精度，用它通常会得到较好的结果。对第二类Fredholm积分方程首先将积分区间a,b等分成n份，在每个子区间上离散方程中的积分就得到线性代数方程组。实验要求：分别使用如下方法，离散积分方程中的积分1.复化梯形方法；2.复化辛甫森方法；3.复化高斯方法。求解如下的积分方程，方程的准确解为，并比较各算法的优劣。程序结果：当迭代次数n=1时精确解1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 复化梯形方法0.8591 1.1032 1.4165 1.8

12、1882.3354复化辛甫森方法0.9993 1.2832 1.6476 2.1156 2.7165复化高斯方法1.0004 1.2846 1.6495 2.1180 2.7195复化梯形方法的平均误差err=0.247复化辛甫森方法的平均误差err=0.00116复化高斯方法的平均误差err=0.0008当迭代次数n=5时，精确解1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 复化梯形方法0.9934 1.2755 1.6378 2.1030 2.7003 复化辛甫森方法1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183复化高斯方法1.0000 1.2

13、840 1.6487 2.1170 2.7183复化梯形方法的平均误差err=0.00116复化辛甫森方法和复化高斯方法的平均误差err=0可以看出，复化高斯方法得到的结果精度最高，复化辛普森方法比复化梯形方法的精度要高，程序：clear,clca=0;b=1;n=5;figurefun1(a,b,n);hold ona=0;b=1;n=5;figurefun2(a,b,n);hold onfigurefun3(a,b,n);编制m函数：function y=Kfun(t,s)y=2/(exp(1)-1)*exp(t);function y=ffun(t)y=-exp(t);function

14、y=Fexc(t)%精确解y=exp(t);function x,w=fhgauss(a,b,n)h=(b-a)/n;x1=a:h:b;x=zeros(1,2*n);w=x;for i=1:nx(2*i-1:2*i),w(2*i-1:2*i)=GaussLegendre(x1(i),x1(i+1),2);endfunction x,w=fhsimpson(a,b,n)h=(b-a)/n;x=a:h/2:b;w=x;w(1)=h/6;w(2*n+1)=h/6;for i=1:nw(2*i)=2/3*h;if i<n w(2*i+1)=h/3;endendfunction x,w=fhtra

15、pz(a,b,n)h=(b-a)/n;x=a:h:b;for i=1:n+1 if i=1|i=n+1 w(i)=h/2; else w(i)=h; endendfunction x,w=GaussLegendre(a,b,n)i=1:n-1;c=i./sqrt(4*i.2-1);CM=diag(c,1) + diag(c,-1);V L=eig(CM);x ind=sort(diag(L);V=V(:,ind)'w=2*V(:,1).2;x=x*(b-a)/2+(b+a)/2;w=w*(b-a)/2;function fun1(a,b,n)x1,w1=fhtrapz(a,b,n);n

16、1=4;n=n+1;h=(b-a)/n1;x=a:h:b;y0=Fexc(x);A=zeros(n,n);B=zeros(n,1);for i=1:nB(i)=ffun(x1(i);endfor i=1:nfor j=1:n A(i,j)=w1(j)*Kfun(x1(i),x1(j); endendA=eye(n)-A;y1=(AB)'yN=x;for i=1:n1+1yN(i)=ffun(x(i);for j=1:nyN(i)=yN(i)+w1(j)*Kfun(x(i),x1(j)*y1(j);endendfprintf('数值解:n')yNfprintf('

17、精确解:n')y0plot(x,yN,'x',x,y0,'.');h=legend('复化值','真实值');function fun2(a,b,n)x1,w1=fhsimpson(a,b,n);n=2*n+1;n1=50;h=(b-a)/n1;x=a:h:b;y0=Fexc(x);A=zeros(n,n);B=zeros(n,1);for i=1:nB(i)=ffun(x1(i);endfor i=1:nfor j=1:n A(i,j)=w1(j)*Kfun(x1(i),x1(j); endendA=eye(n)-A;y

18、1=(AB)'yN=x;for i=1:n1+1yN(i)=ffun(x(i);for j=1:nyN(i)=yN(i)+w1(j)*Kfun(x(i),x1(j)*y1(j);endendfprintf('数值解:n')yNfprintf('精确解:n')y0plot(x,yN,'x',x,y0,'.');h=legend('复化值','真实值');function fun3(a,b,n)x1,w1=fhgauss(a,b,n);n=2*n;n1=4;h=(b-a)/n1;x=a:h:b;

19、y0=Fexc(x);A=zeros(n,n);B=zeros(n,1);for i=1:nB(i)=ffun(x1(i);endfor i=1:nfor j=1:n A(i,j)=w1(j)*Kfun(x1(i),x1(j); endendA=eye(n)-A;y1=(AB)'yN=x;for i=1:n1+1yN(i)=ffun(x(i);for j=1:nyN(i)=yN(i)+w1(j)*Kfun(x(i),x1(j)*y1(j);endendfprintf('数值解:n')yNfprintf('精确解:n')y0plot(x,yN,'x

20、',x,y0,'.');h=legend('复化值','真实值');图一图二图三实验三1、对常微分方程初值问题 分别使用Euler显示方法、改进的Euler方法和经典RK法和四阶Adams预测-校正算法，求解常微分方程数值解，并与其精确解进行作图比较。其中多步法需要的初值由经典RK法提供。程序：子程序function E=Euler(fun,x0,y0,h,N)x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*feval(f

21、un,x(n),y(n);endx1=xy1=yplot(x1,y1,'k')hold onfunction E=Euler_modify(fun,x0,y0,h,N)x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;z0=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n);y(n+1)=y(n)+h/2*(feval(fun,x(n),y(n)+feval(fun,x(n+1),z0);endx2=xy2=yplot(x2,y2,'g')function x,y=Rk_N

22、4(f,x0,y0,h,N) x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1); x(1)=x0;y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; k1=h*feval(f,x(n),y(n); k2=h*feval(f,x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*k1); k3=h*feval(f,x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*k2); k4=h*feval(f,x(n)+h,y(n)+k3); y(n+1)=y(n)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end 运行以下程序clcclearEuler('fun',0,1,0.1,1

23、00)Euler_modify('fun',0,1,0.1,100)x,y=Rk_N4('fun',0,1,0.1,100)plot(x,y,'-*r')hold onx1=0:0.1:pi;y1=cos(x1)+sin(x1)plot(x1,y1,'-.b')title('误差分析');xlabel('x轴');ylabel('y轴');legend('Euler','Euler改进法','R_K法','精确');ax

24、is(0 pi -1.5 1.5);grid on画出图形进行比较：2、实验目的：Lorenz问题与混沌实验内容：考虑著名的Lorenz方程 其中s, r, b为变化区域有一定限制的实参数。该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。实验方法：先取定初值Y0=(x, y, z)=(0, 0, 0)，参数s=10, r=28, b=8/3，用MATLAB编程数值求解，并与MATLAB函数ods45的计算结果进行对比。实验要求：（1）对目前取定的参数值s, r和b，选取不同的初值Y0进行运算，观察计算的结果有什么特点解的曲线是否有界解的曲线