重庆科创职业学院-基本逻辑运算(1)

1、逻辑代数：在客观世界中，事物的发展变化都有一定因果关系的，反映和处理这种关系的数学工具就是逻辑代数（布尔代数，开关代数）。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。 概述概述 实际应用中遇到的逻辑问题是千变万化的，但都可以用三种基本的逻辑运算综合而成。基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算1 1、与逻辑（与运算）、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：开关A，B串联控制灯泡Y电路图L=ABEABY 逻辑函数及其表示法逻辑函数

2、及其表示法EABYEABYEABYEABY两个开关必须同时接通，两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯不亮。接通，灯不亮。A接通、接通、B断开，灯不亮。断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：A BY0 00 11 01 10001开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻

3、辑符号：YAB&真真值值表表逻辑符号逻辑符号2 2、或逻辑（或运算）、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABY两个开关只要有一个接通，两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：灯就会亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯亮。接通，灯亮。A接通、接通、B断开，灯亮。断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。EABYEABYA BY0 00 11 01 10111 实现或逻辑的电路称为

4、或门。或门的逻辑符号：AB1真值表真值表开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮功能表功能表逻辑符号逻辑符号3 3、非逻辑（非运算）、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：开关A控制灯泡Y电路图EAYRAY0110实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：YA1EAYRA断开，灯亮。断开，灯亮。EAYRA接通，灯灭。接通，灯灭。真真值值表表功功能能表表逻辑符号逻辑符号开关 A灯 Y断开闭合亮灭1、与非运算：逻辑表达式为：ABY A BY0 00 11 01 11110 真值

5、表YAB与非门的逻辑符号L=A+B&2、或非运算：逻辑表达式为：BAYA BY0 00 11 01 11000 真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B12.2.2几种导出的逻辑运算几种导出的逻辑运算3、异或运算：逻辑表达式为：BABABAYA B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 真值表 YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1CDABYY1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&1Y与或非门的等效电路4、 与或非运算：逻辑表达式为：5、同或运算：逻辑表达式为：BABAABYA B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 真值表 Y A B 同或

6、门的逻辑符号 L=A+B =1 逻辑函数及其描述逻辑函数及其描述2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为1、逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、 等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。Y = f (A、B、C、) 2.1.3逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念 1. 逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：两个突

7、出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和和1。 （2）函数和变量之间的关系是由）函数和变量之间的关系是由“与与”、“或或”、 “非非”三种基本运算决定的。三种基本运算决定的。 2. 表示逻辑函数的方法有：表示逻辑函数的方法有：真值表真值表、逻辑函逻辑函数表达式数表达式、逻辑图逻辑图、波形图和卡诺图。、波形图和卡诺图。 Note：真值表是将输入逻辑变真值表是将输入逻辑变量的所有量的所有可能可能取值组合与相取值组合与相应的输出变量函数值排列在应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。一起而组成的表格。1个输入变量有个输入变量有0和和1两两种取值，种取值，

8、 n个输入变量就有个输入变量就有2n个个不同的取值组合。不同的取值组合。 A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11三个输入变量，八种取值组合三个输入变量，八种取值组合 1. 1. 真值表真值表逻辑函数的描述方法及相互转换逻辑函数的描述方法及相互转换A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11真值表的特点：真值表的特点： 唯一性唯一性; ; 按自然二进制递增顺按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不序排列（既不易遗漏，也不会重复会重复 ）。）。 n个输入变量就有个

9、输入变量就有2n个个不同的取值组合。不同的取值组合。 2. 2. 逻辑表达式逻辑表达式 按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。达式（简称逻辑表达式）。由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为： 找出使找出使输出为输出为1 1的输入变量取值组合；的输入变量取值组合； 取值为取值为1 1用原变量表示，取值为用原变量表示，取值为0 0的用反变量的用反变量表示，则可写成一个乘积项表示，则可写成一个乘积

10、项( (与项与项) )； 将乘积项相加（相或）即得。将乘积项相加（相或）即得。 ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A BA BA BA BA B3. 3. 逻辑图逻辑图 用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。ABL001010100111L = A B + A BL = A B + A B 由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。例：例： 写出如图所示逻辑图的函数表达式。写出如图所示逻辑图的函数表

11、达式。解：解：可由输入至输出逐步可由输入至输出逐步( (逐级逐级) )写出逻辑表达式：写出逻辑表达式： L=AB+BC+AC4.波形图波形图 如果已知输入变量随时间变化的波形,就可以根据逻辑表达式,真值表或逻辑图表达的逻辑关系,画出输出变量随时间变化的波形. 这种能反映输入变量和输出变量随时间变化的图形就称为波形图,又叫时序图BABAABY积之和积之和表达式与表达式与和之积和之积表达表达式式.由若干个由若干个与与项经项经或或运算形成的运算形成的CBAABBF表达式。例如：表达式。例如：由若干个由若干个或或项经项经与与运算形成的表运算形成的表达达)()(DBACBBAF式。例如：式。例如：)(C

12、DBADABF既不是与或表达式也不是或与表达式。既不是与或表达式也不是或与表达式。而而2.2逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的公式逻辑代数的公式与 运 算 ：111 001 010 000（1）常量之间的关系（2）基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA或 运 算 ：111 101 110 000非运算：10 01互补律： 0 1AAAA双 重 否 定 律 ：AA 分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的正确明它们的正确性。性。交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABAC

13、BACABACBA利用真值表很容易证明利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如这些公式的正确性。如证明证明AB=BA：A B A.B B.A0 00 11 01 1000100012.3.2逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律与普通与普通代数相代数相似似用真值表用真值表来证明来证明(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC重叠率重叠率AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1率率A+1=1A+1=1证明分配率：A+BC=(A+B)(

14、A+C)证明：证明：证明：)(BAAABAA)(1BA BA 分配率分配率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补率互补率A+A=1A+A=10-10-1率率A1=1A1=1证明：BCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)(互补率互补率A+A=1A+A=1分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC)1 ()1 (BCACABCAAB 0-10-1率率A+1=1A+1=1例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：逻辑代数的三个重要规则逻辑代数的三个重要规则（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有

15、出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)(（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY即即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “原变量原变量”, “反变量反变量”“+” , “ ” , “1” , “0”, “反变量反变量”, “原变量原变量” 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不

16、变，必要时加括号表明，如例1.5.3。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例1.5.4。 DBCAL)()(DBCALDCBALDCBAL 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数数 : 解：解：例1.5.4 求以下函数的反函数：解：解：（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：EDCBAY对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利

17、用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()()(EDCBAYEDCBAYEDCBAY逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。化简的意义与标准化简的意义与标准二、逻辑函数式的几种常见形式和变换。（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y)(CABA（3）与非-与非表达式：Y ACBA（4）或非-或非表达式：YCAB

18、A（5）与或非表达式：YCABA一个逻辑函数的表达式可以有以下5种表示形式。（1）乘积项个数最少； （2）每个乘积项中的变量个数也最少。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。三、逻辑函数的最简与的特点最简与或最简与或表达式表达式 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1 1、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)(

19、)(2若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律2 2、吸收法、吸收法BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的变量。CABCABABCBAABCBCAABY)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY)()(如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。、配项法、配项法（）利用公

20、式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1 ()1 ()()(（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()(、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，将冗余项消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2 最小项、最大项与卡诺图最小项、最大项与卡诺图1 1、逻辑函数的最小项及其性质逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：）最小项： 如果一个

21、函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准则这个乘积项称为该函数的一个标准乘积项乘积项，通常称为最小，通常称为最小项。项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：一、一、逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项ABCCABCBACBABCACBACBACBA、（2）最小项的表示方法：）最小项的表示方法： 通常用符号通常用符号mi来表示最小项。来表示最小项。下标下标i的确定：把最小项中的原的确定：把最小项中的原变量记为变量记

22、为1，反变量记为，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、变量的各组取值变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最小项及其编号对应的最小项及其编号最小项最小项编编 号号CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA om1m2m3m4

23、m5m6m7m例：例：三变量函数的最小项：三变量函数的最小项：编号规则编号规则:原变量取原变量取1,反变量取反变量取0。（3）最小项的性质）最小项的性质： 3 变量全部最小项的真值表A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为0。2 2、逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何

24、一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC来配项展开成最小项表达式。)7 , 3 , 2 , 1 , 0()()(73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1ABCm5ABCm3A

25、BCm2ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5 ,3 ,2, 1(5321将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。二、逻辑函数的最大项表二、逻辑函数的最大项表达式达式如果一个具有如果一个具有n个变量的函数的个变量的函数的“和和”项包项包含含全部全部n个变量个变量, 每个变量都以每个变量都以原变量原变量或或反变量反变量形形式式出现出现, 且且仅仅出现出现一次一次，则这个，则这个“和和”项被称为项被称为最大项最大项，也叫，也叫标准和标准和。(或与或与)假如一个函数完全由最大项的假如一个函数完全由最大项的积积组成组成, 那么那么该函数表达式称为该函数表达式称为最大

26、项表达式最大项表达式。 变量的各组取值变量的各组取值A B C000001010011100101110111对应的最大项及其编号对应的最大项及其编号最大项最大项编编 号号CBACBACBACBACBACBACBACBAoM1M2M3M4M5M6M7M例：例：三变量函数的最大三变量函数的最大项：项：编号规则编号规则:原变量取原变量取0,反变量取反变量取1。注意：变量顺序注意：变量顺序.)()()(),(CBACBACBACBACBAF5410MMMM例如：例如：)5 , 4 , 1 , 0(M最大项表达式最大项表达式: F 最大项的性质最大项的性质 ：1）只有一组取值使）只有一组取值使 Mi0

27、。 3）全部最大项之积等于）全部最大项之积等于0，即，即Mi0。01, 0, 0,11时，只有例：MCBACBAM1)()(41CBACBAMM例：2）当）当ji 时，时，1jiMM。 三、逻辑函数表达式的标准形式三、逻辑函数表达式的标准形式 1、最小项表达式、最小项表达式 CAABCBAF) ,()()(BBCACCABCBABCACABABCmmmm1367)7,6,3, 1(3m2、最大项表达式、最大项表达式)(),(BACACBAF)(CCBABBCA)()()(CBACBABCABCAMMMM5420)5 , 4 , 2 , 0(3M3、两种形式的关系、两种形式的关系)5,4,2,0

28、()7,6,3, 1(33MmF表示成“最小项之和”将CBACAF例例：和和最大项之积最大项之积的形式。的形式。解：解：A B C F0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 001 1 10CBABCACBAF(A,B,C)4 , 3 , 1 (m)()(CBACBAF(A,B,C)()(CBACBA)(CBA)7 , 6 , 5 , 2 , 0(M 注意：任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一注意：任何一个逻辑函数的两种标准形式唯一 .将将n n个输入变量的个输入变量的全部最小项全部最小项用小方块阵列用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的图表

29、示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是几何位置上，所得到的阵列图就是n n变量变量的的卡诺卡诺图图。、卡诺图的构成、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。 含有含有n个输入变量的逻辑函数就有个输入变量的逻辑函数就有2n个最小个最小项。项。 将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使，这样构成的图形就是卡诺图。变量卡诺图变量卡诺图二变量卡诺图（二变量卡诺图（A,B）mo m1m2 m3 0101BABA 0101BA BABA ABBBA

30、Amo m1 m3 m2m4 m5 m7 m600 01 11 1001BCA三变量卡诺图（三变量卡诺图（A、B、C）00 01 11 1001BCACBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA AACCBBC00 01 11 1000011110CDABDCBA ACDCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA ABCDCDBADCBA DCBA DABCDCBADB 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 1000 01 11 1000011110CDAB四变量卡诺图（四变量卡诺图（A、B、C、D）五变量卡

31、诺图逻辑相邻举例五变量卡诺图逻辑相邻举例000 001 011 01000011110CDEAB110 111 101 100202123221819171628293130262725241213151410119845762310相重相重对称轴对称轴 CD AB 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1 0 （1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (),(mDCBAYm1m3m4m6

32、m7m11m14m15用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数说明说明(特点）：特点）： 2个或以上变量，按循环码规则排列；个或以上变量，按循环码规则排列； 每个小方格对应一个最小项；每个小方格对应一个最小项； 相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；为反变量；具有逻辑相邻性的方格有：具有逻辑相邻性的方格有：相接相接几何相邻的方格；几何相邻的方格；相对相对上下两边、左右两边的方格；上下两边、左右两边的方格；相重相重多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。的方格。(5)如果两个最小项中只

33、有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称最小项为逻辑相邻，简称相邻项相邻项逻辑相邻的最小项可以消去互补变量逻辑相邻的最小项可以消去互补变量三变量卡诺图逻辑相邻举三变量卡诺图逻辑相邻举例例00 01 11 1001B CACBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA 相接相接相对相对00 01 11 1001B CACBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA 四变量卡诺图逻辑相邻举例四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相接相对相对相对相对00 01 11 1000011110CDABDC

34、BA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA ABCDCDBADCBA DCBA DABCDCBA五变量卡诺图逻辑相邻举例五变量卡诺图逻辑相邻举例000 001 011 01000011110CDEAB110 111 101 100202123221819171628293130262725241213151410119845762310相重相重对称轴对称轴用卡诺图表示函数用卡诺图表示函数 用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图

35、的形式表现出来。式表现出来。方法方法真值表真值表 填卡诺图填卡诺图表达式表达式 一般与或式一般与或式 填卡诺图填卡诺图化成最小项表达式化成最小项表达式 填卡诺图填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。辑函数。（1）逻辑函数是以）逻辑函数是以真值表真值表或者以或者以最小项表达最小项表达式式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入，其余的方格内填入0。B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1、卡诺图

36、的性质、卡诺图的性质（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为与项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。CBACBAABCBCACBBC 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 CD AB 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 0 0 1 11 0 0 0 0 10 0 1 1 0 DBCADCBACDBADCBADBADBA（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。 B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACAC

37、AABCCABBCACBA)( CD AB 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0 1 0 0 DCBA C D AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1 C D AB 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0 BD（3）任何）任何8个（个（23个个）标）标1的相邻最小项，可的相邻最小项，可以合并为一项，并消去以合并为一项，并消去3个个变量。变量。 C D A B 0 0 0 1 1 1 1

38、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 B C D A B 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 D2nn化简步骤(1)将逻辑函数写成最小项表达式将逻辑函数写成最小项表达式(2)按最小项表达式填写函数卡诺图，凡式中按最小项表达式填写函数卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填，其余方包含了的最小项，其对应方格填，其余方格填格填(3)合并最小项，对相邻项方格画卡诺圈（含合并最小项，对相邻项方格画卡诺圈（含2个方格）；对应每个包围圈写成一个新的个

39、方格）；对应每个包围圈写成一个新的乘积项乘积项(4)消去互补变量，直接写出最简与或式。将消去互补变量，直接写出最简与或式。将所有包围圈对应的乘积项相加所有包围圈对应的乘积项相加n画圈原则：画圈原则：圈尽量大圈尽量大 消去的变量多消去的变量多圈尽量少圈尽量少 结果乘积项少结果乘积项少使用方法：使用方法：圈圈1 得到得到 F 原函数原函数圈圈0 得到得到 F 反函数反函数 画的圈不同，结果画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。但肯定是最简的结果。 圈圈1个格个格消消0个变量个变量 圈圈2 1 圈圈4 2 圈圈8 3 注意：注意：原则 (1)包围圈内的方格数

40、必定是包围圈内的方格数必定是2个个 (2)相邻相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。和四角相邻。 (3)同一方格可以被不同的包围圈包围，但同一方格可以被不同的包围圈包围，但新增加包围圈中一定要有新的方格，否则新增加包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余的。该包围圈为多余的。 (4)包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。的数目要尽可能少。nABCD0001 11 1000010000010 0011 10 00100 001110不是矩形不是矩形无效圈示例无效圈示例1无效圈示例无效圈示例2ABCD0001

41、 11 1000011111 1111 11111 111101没有新没有新变量变量.无效圈无效圈.2 2、图形法化简的基本步骤、图形法化简的基本步骤逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图)15,13,12,11, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY C D A B 00 01 11 10 00 0 0 1 0 01 0 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 0 1 0 1 1 合并最小项合并最小项圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。i2最简与或表达式最简与或表

42、达式 CD AB 00 01 11 10 00 0 0 1 0 01 0 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 0 1 0 DCACDBDDCBAY ),(冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈的乘积项相加 C D AB 00 01 11 10 C D AB 0 0 01 1 1 10 00 1 1 0 1 00 1 1 0 1 01 0 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 11 0 0 1 1 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 两点说明： 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。不

43、是最简最简BCDCABDACBABCDCADBABCDACDDCBCABDAACDDCBCA CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 0 00 1 1 0 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 0 11 0 0 1 0 11 0 0 1 0 10 1 0 1 0 10 1 0 1 0 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 1111

44、1 111110ADCCBDBDCBDCBDBCBDCAF 化简化简CD00 01 11 1000011110 AB 111111 1 1100 01 11 1000011110CDAB111 1 1DBBACADCBAFCC ),(DBACBACADCBAF ),( 或不同的圈法，得到不同的最简结果不同的圈法，得到不同的最简结果 F(A, B, C, D)= m(2, 3, 8, 9, 10,12, 13)例例5：用卡诺图化简逻辑：用卡诺图化简逻辑函数函数逻辑函数的表示方法及其相互转逻辑函数的表示方法及其相互转换换 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法1 1、真值表真值表真值表：是由输入变量

45、的所有真值表：是由输入变量的所有可能取值组合及其对应的函数值可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。所构成的表格。真值表列写方法：每一个变量均有真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，两种取值，n个变量共有个变量共有2n种不种不同的取值，将这同的取值，将这2n种不同的取值按顺种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。便可得到逻辑函数的真值表。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010011例如：当

46、例如：当A=B=1、或、或B=C=1时，时，函数函数Y=1；否则；否则Y=0。2 2、逻辑表达式逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构种运算符连接起来所构成的式子。成的式子。函数的标准与或表达函数的标准与或表达式的列写方法：将函数的式的列写方法：将函数的真值表中那些使函数值为真值表中那些使函数值为1的最小项相加，便得到的最小项相加，便得到函数的标准与或表达式。函数的标准与或表达式。)7 , 6 , 3(mABCCABBCAY3 3、卡诺图卡诺图卡诺图：是由表示变量的所有卡诺图：是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的可能取

47、值组合的小方格所构成的图形。图形。逻辑函数卡诺图的填写方法：逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为在那些使函数值为1的变量取值组的变量取值组合所对应的小方格内填入合所对应的小方格内填入1，其余，其余的方格内填入的方格内填入0，便得到该函数的，便得到该函数的卡诺图。卡诺图。 AB C0001111000010101104 4、逻辑图逻辑图逻辑图：是由表逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。号所构成的图形。Y&1&ABBC、波形、波形图图波形图：是由输入变量的波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函

48、数值的高、平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。低电平所构成的图形。无关最小项无关最小项：一个逻辑函数一个逻辑函数, 如果它的某些输入如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而取值组合因受特殊原因制约而不会再现不会再现, 或者虽然每种或者虽然每种输入取值组合都可能出现输入取值组合都可能出现, 但此时函数取值为但此时函数取值为1还是为还是为0无关紧要无关紧要, 那么这些输入取值组合所对应的最小项称为那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项无关最小项。无关最小项用。无关最小项用“d”或者或者“”表示。表示。无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到无关最小项可以随意加到函数表达

49、式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取其值可以取1，也可以取，也可以取0。无关最小项举无关最小项举例例例例1 :十字路口红绿灯十字路口红绿灯,设控制信号设控制信号G=1 绿灯亮绿灯亮; 控制信号控制信号R=1 红灯亮红灯亮; 则则 GR可以为可以为GR=00、01、10，但，但GR 11。例例2 :电动机正反转控制电动机正反转控制,设控制信号设控制信号F=1 正转正转; 控制信号控制信号R=1 反转反转; 则则 FR可以为可以为FR=00、01、10，但，但FR 11。例例3 :8421BCD码中，从码中，从1010 111

50、1的六种编码的六种编码不不允许允许出现，可视为出现，可视为无关最小项。无关最小项。A B C DF0 0 0 0d0 0 0 1d0 0 1 0d0 0 1 110 1 0 010 1 0 110 1 1 000 1 1 101 0 0 001 0 0 101 0 1 011 0 1 111 1 0 011 1 0 1d1 1 1 0d1 1 1 1d100 01 11 1000011110CDAB11111),(DCBAFCBACDBDCBCBA解：解：1)不考虑无关最小项不考虑无关最小项：给定某电路的逻辑函数真值表如下，：给定某电路的逻辑函数真值表如下，求求F的最简的最简与或与或式。式。CBCBDCBAF),(A B C DF0 0 0 0d0 0 0 1d0 0 1 0d0 0 1 110 1 0 010 1 0 110 1 1 000 1 1 101 0 0 001 0 0 101 0 1 011 0 1 111 1 0 011 1 0 1d1 1 1 0d1 1 1 1d2)考虑无关最小项：考虑无关最小项：CBACDBDCBCBAF100 01 11 1000011110CDAB11111ddddddABCF0000001001000