第六节定积分的应用ppt课件

1、第六章利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()()(ttytxtttsd)()

2、(22)()( rr)()(bxaxfyxysbad12xxfbad)(12机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 曲线弧由参数方程给出:(3) 曲线弧由极坐标方程给出:d)()(22rrs)ch(cxccxccsh1例例1. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 完毕 cxbboy下垂悬链线方程为例例2

3、. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyoa2三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形

4、设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲那么xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxy22oy4 xy例例2.

5、计算抛物线计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 abxoyx例例3. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目

6、录 上页 下页 返回 完毕 xxdoyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(1axt对应)(1bxt对应例例4. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录

7、 上页 下页 返回 完毕 xyoa22. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 到 2 所围图形面积 . ttadcos82042例例

8、6. 计算心形线计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 完毕 oxya心形线心形线(外摆线的一种外摆线的一种)2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221

9、aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 a2sin2a例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a考虑考虑: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yox44答案答案:例例9. 用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A .解解: 交点

10、为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s机动 目录 上页 下页 返回 完毕 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 分析曲线特点例例10. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性 ,211,2143也合于所求. 为何值才能使)

11、 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(

12、弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )ch(cxccxccsh1例例11

13、. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 完毕 cxbboy下垂悬链线方程为例例12. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttas

14、d2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyoa2d222aa例例13. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 完毕 第三节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分在物理学上的应用 第六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxx

15、d，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.一个单求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk机动 目录 上页 下页 返回 完毕 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, S例例2.体, 求移动过程中

16、气体压力所ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln机动 目录 上页 下页 返回 完毕 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为

17、Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xpg33g2R例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力

18、元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 注注: 当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令( P350 公式67 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxyRxxxd三、三、 引力问题引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:

19、221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxam

20、k22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF机动 目录 上页 下页 返回 完毕 22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 y2l2laoxxxdx说明说明:amk22) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则有loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xa

21、xxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 sindF注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时, xyoAB例例6. 设星形线设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,解解: 如图如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这

22、质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax习题课 目录 上页 下页 返回 完毕 xyoAB),(yxsd引力大小为内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳扇、片、壳 等等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积

23、分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力等.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 条、段、环、带、条、段、环、带、 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于水中，解解: 选取坐标系如图选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,并使一直角边与水面相齐, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lgloyxy则其方程为问斜边与水面交成的锐角xxxd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 sin0lP练练 习习)cos(cos633lgP机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故

24、此唯一驻点0即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即0sincos3sin2, ),0(2loyxyxxxd练练 习习习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、体积、 弧长.物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力.2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分的应用 第六章 例例1. 求抛物线求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXx

25、xY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 设非负函数设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(

26、1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因而5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xy224xxyo)d5(dxu 故所求旋转体体积为x

27、xxd5)2(225157516xxxVd5)2(222051uVdd2APxd2ud例例3. 求由求由xy2与24xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为曲线与直线的交点坐标为),4,2(A曲线上任一点)4,(2xxxP到直线xy2的距离为xx2251),(2如图为数轴以uxy u那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 设有半径为设有半径为 R 的半球形容器如图的半球形容器如图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解:

28、 过球心的纵截面建立坐标系如图过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxyhR(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20两边对 t 求导, 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat (升) ,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提对应于d,yyyyx d

29、2微元体积:微元的重力 :yx dg2薄层所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yRyyRyRyd)(2(g2故所求功为WR0gyyyRyRd)32(3224g4Ry到池沿高度所需的功.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定21d)()(tttttAd)(212A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 求面积的步骤：（1准确画出图形（2求出各个曲线的交点（3确定积分变量2. 平面曲线的弧长弧微分:22)(d)(ddyxs注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须上大下小下限必须上大下小)()()(

30、ttytx)()( rr机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 曲线弧由参数方程给出:(3) 曲线弧由极坐标方程给出:弧微分:22)(d)(ddyxs注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须上大下小下限必须上大下小(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy2. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长21( )dbasfxxtttsd)()(22d)()(22rrs3. 已知平行截面面面积函数的立体体积,)(baxA在baxxAVd)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (1) 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 上连续。那么xabxxd( )A xxyoabxyoab)(

31、xfy 由2)(xf绕x轴旋转一周围成的立体体积的体积：( ),0yf xxa xb yxdbaV由连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 旋转体的体积2( )baVxf x dx(柱壳法)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 绕y轴旋转一周围成的立体体积的体积：( ),0yf xxa xb y由)(xfxoyxxxdd222aa例例3. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公

32、式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 完毕 三、已知平行截面面积函数的立体体积三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xabxxxd)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyd

33、dcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ayxb例例1. 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程tbytaxsincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a机动 目录

34、 上页 下页 返回 完毕 xyoa2例例2. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )2(tu 令xyoa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)

35、(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注 目录 上页 下页 返回 完毕 )(1yxx 分部积分对称关于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱壳体积说明说明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayt

36、tax机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函数奇函数336a机动 目录 上页 下页 返回 完毕 轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例例3. 设设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱

37、壳法d() 2 ( ) dVtxf xx那么xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故例例4. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体

38、积 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oRxyxoRxy注意注意: 可选择可选择 y 作积分变量作积分变量此时截面面积函数为),(yx)(yAtan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 试用定积分求圆试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 完毕 旋转而成的环体体积 V.方法方法2 用柱壳法用柱壳法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为上式可变形为2RVb2d2bR 20机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法(如下图). dd2bRVabzxyco垂直