2018-2019学年上海市金山中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1616 页2018-2019 学年上海市金山中学高二上学期12 月月考数学试一、单选题1 1 .抛物线寸4ax的准线方程（）A A.xaB B.xaC C.x 2aD D.x 2a【答案】B B【解析】 根据抛物线的几何特征，对a的正负值分类讨论，即可求解 【详解】抛物线y 4ax，当a 0时，准线方程为x a,当 a a 0 0 时，此时p2a，准线方程为x - a,2所以抛物线寸4ax的准线方程为x a. .故选: :B.B.【点睛】本题考查抛物线简单几何性质，属于基础题 umv Luv，亠上的动点，贝U BQ CP的最小值为（A A.4【答案】B B2 2 .已知ABC中

2、,A 2，AB AC1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边B B.2C C.1D D. 0 0【解析】 如图，建立平面直角坐标系,A 0,0,B 1,0,C 0,1，设P m,0,Q 0, n,umv0 m, n 1,BQ第2 2页共 1616 页CP第3 3页共 1616 页故选: :B B【详解】请在此输入详解！I J 73 3 . P P 是双曲线善*器=1 1 的右支上一点，M M、N N 分别是圆(苦斗+ = = 4 4 和(斗一、)1 1 + + yy = = I I上的点，则- 的最大值为A A . 6 6B B. 7 7C C. 8 8D D . 9 9【答案】D D【解析】可

3、得双曲线匚 =的焦点分别为巧(-5 5, 0)0)，巧(5(5, 0)0)，由已知可得当且仅当 P P9161与 M M、 三点共线以及 P P 与 N N、$三点共线时所求的值最大，可得答案. .【详解】解：易得双曲线匸.1=的焦点分别为 F F(-5(-5, 0)0), F,F,5 5, 0)0),且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P P 与 M M、 三点共线以及 P P 与 N N、勺三点共线时所求的值最大，此时怜碉八词込 7)宀 =6+3=9=6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断 P P 与 M M、 三点共线以及 P P 与 N N、 三点共线时

4、所求的值最大是解题的关键 2 24 4 .已知椭圆 C C: 仏1的左右顶点分别为 A A、B B, F F 为椭圆 C C 的右焦点，圆43的取值范围是()3小3cc 3A A ., 0,B B.,0 o,444C C .,1 1 U U 0,10,1D D.,0 01【答案】 D D【解析】 椭圆焦点在x轴上，由P在圆x22y4，贝U PA PB，有1,1,1kpB13 sin )，求出kPBkpAkQFk k，设Q(2coskQFkPA, ,- -4上有一个动点P P, P P 不同于 A A、B B 两点,直线 PAPA 与椭圆 C C 交于点 Q,Q,则严0F第4 4页共 1616

5、页常数，求解得出结论 【详解】2 2椭圆 C C：x y1的左右顶点分别为A( 2,0), B(2,0),43设Q(2cos,、3sin ),.3 sin、 、3sin3(12、cos )QFPA2cos2 2cos1 4cos22cos 2令tcos ( 1,1),kPB24t22t 22 2(t21) t 142 1kQF3(1 t2)3t2133 t 11 t1, 2 t 10,11t 12kpBkQF(,1)且不等于 0.0.故选 : :D.D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题

6、二、填空题丄丄-5 5.双曲线小丫的焦点坐标为_ .【答案】(区 0).0).代弘)【解析】试题分析：双曲线中的 a a : :t t ,所以 f 护+F香.所以焦点为【考点】双曲线的焦点坐标. .23(1cos)，令t cos2?4cos 2cos 2(1,1),4t22t 223(1 t )分离右焦点F(1,0)，点P圆x2y24上且不同于A, B，PA PB, kpBkpA1, kpB1kPAkPBkQFkQFkQF第5 5页共 1616 页6 6 若直线x y 6 0的一个方向向量为d a,a 2，则实数a _【答案】1.1.【解析】求出直线的斜率，即可求解 【详解】x y 60斜率为

7、1，直线一个方向向量为da, a 2，1,解得 a a 1.1.故答案为：1.1.【点睛】本题考查直线方向向量与直线方程的关系，属于基础题1 1 27已知一个关于X、7的二元一次方程组的增广矩阵是0 1 2，则x y _【答案】6 6【解析】根据关于X、y的二元一次方程组的增广矩阵，写出方程组，求出方程组的解,即可得到结论 【详解】解：由题意关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是11 20 1 2故答案为：6. .【点睛】 本题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于基础题型8 8.在平面直角坐标系中，若点2，t在直线x 2y 4 0的上方，则t的取值范围是_ . .【答案】t

8、1. .【解析】 根据点与直线的位置关系，可得出关于t的不等式，即可求解可得关于x、y，可得第6 6页共 1616 页【详解】点2,t在直线x 2y 40的上方,所以2 2t 40,t1. .故答案为: :t 1. .【点睛】本题考查平面上点与直线的位置关系，属于基础题1239 9 行列式114中兀素 2 2 的代数余子式的值是146【答案】2. .【解析】 根据元素代数余子式定义，求出对应的行列式，即可求解【详解】2314中元素 2 2 的代数余子式为行列式:4 61 2111故答案为：2. .【点睛】 本题考查行列式元素的代数余子式，属于基础题21010 抛物线y4x上的两点 A A、B

9、B 到焦点 F F 的距离之和为 5 5,则线段 ABAB 的中点的横坐标是_. .3【答案】.2【解析】根据焦半径公式，将两点 A A B B 到焦点 F F 的距离之和，转化为横坐标关系，即可求解 【详解】2抛物线y 4x焦点坐标F(1,0)，准线方程为x 1,1行列式116 42. .第7 7页共 1616 页设A% yj, B(X2, y2),| AF | |BF |治他25，x1x23，线段 ABAB 的中点的横坐标是x1x23. .2 2第8 8页共 1616 页3故答案为：-2【点睛】本题考查抛物线焦半径长公式，注意定义在解题中的应用，属于基础题顶点的双曲线的方程是22y彳x14

10、【详解】2Q双曲线经过椭圆x21右顶点（1,0）4【点睛】本题考查求双曲线方程，属于中档题在COC方向上的投影相同，则实数a与b满足的关系式为1111.在平面直角坐标系xOy中，以直线y2x为渐近线,且经过椭圆22yx1右4【答【解根据渐近线方程y2x，设双曲线方程为4x2y2(0），将椭圆22y x41右顶点（1,0）代入双曲线方程，求，即可. .由题意可知，设双曲线方程为4x2y20). .故答案为:2y_4则双曲线方程为4x2y24，即x21212 .设A a,1、B 2,b、C 4,5为坐标平面L.-JHuurr uuuO为坐标原点，若OA与OB第9 9页共 1616 页【答4a 5b

11、 3 0. .【解uuuuuuAB与OC垂直，即可求解 【详uuu一uuuuuu,OA与OB在OC万向上的投影相同，则uuuABuuuOC，uuu uuurAB OC (2 a,b 1) (4,5) 4a5b 3即4a 5b 3 0第1010页共 1616 页故答案为：4a 5b 3 0. .【点睛】本题考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题. .1313.设直线ax y 30与圆(x 1)2(y 2)24相交于 A,BA,B 两点，且弦 ABAB 的长为2 J5，则a =_. .【答案】0 0【解析】由已知可得圆心(1,2)到弦的距离为 1 1，利用点到直线的距离公式可得a

12、a 的值. .【详解】解：由直线axy30与圆(x 1)2(y 2)24相交于 A,BA,B 两点，且弦 ABAB 的长为2.3，可得圆心(1,2)到弦的距离为 1 1,故答案：0 0【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质及点到直线的距离公式，相对简单 1414.在直角坐标平面中，已知两定点F, 1,0)与F2(1,0)位于动直线l：ax by c 0的同侧，设集合P l |点R与点F?到直线l的距离之和等于2,Q二，则由Q中的所有点所组成的图形的面积是 _ . .【答案】【解析】试题分析：因为F1F2的中点为坐标原点O,由点F1与点F2到直线l的距离之 和等于2,可知坐标原点O到直线l的距离

13、为1，则直线l即为单位圆的切线， 这样所有 单位圆的切线就构成了集合P，根据Q表示可知它是由单位圆内部的所有的点所组成 的集合，面积即为单位圆的面积【考点】集合语言及直线与圆的知识 X2V2X2V21515.已知椭圆1和双曲线1,其中Ovmv12,若两者图像在第二16 m4 12 m象限的交点为 A A，椭圆的左右焦点分别为B B、C C, T T ABCABC 的外心，则AT?BC的值可得I a=2=31、.a211, a第1111页共 1616 页为_ . .第1212页共 1616 页【答案】16.16.【解析】由已知可得两曲线焦点相同，设B( c,0), c、16 m，利用椭圆和双曲线

14、的定义求出|AB|，用利用两点间的距离公式求出A点的横坐标，因为O为BC中点,【详解】8，因为O为BC中点,c ABCABC 的外心T在丫轴上，将ATOT OA，代入所求式，即可求解已知椭圆16 m2 2 2-1禾廿双曲线412 m1,焦距相等所以焦点相同，设B(c,0), C(c,O), c 16A为两曲线在第二象限的交点,|AB| | AC|,ABACABAC8,|AB|4设A(xo, yo),4Xo2yom2m16Xo，|AB| ,(xoc)2y216 m2Xo162cxoXo2cXo1616(4xo4)2c4XoXoABC的外心T在y轴上,uuuOTuuuBCuuu/ uuv uuu

15、uuu uuurAT ?BC (OT OA) BCuunuuurOA BC8,yo)c(2c,O)16【点本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算, 考查计算求解能力，属于中档题 1616 .设直线l与抛物线y24x相交于A, B两点，与圆2 2y r r 0相切于点M，且M为线段AB的中点 若这样的直线I恰有 4 4 条，则r的取值范围是【答案】(2 2, 4 4)【解析】 设直线I的方程为x ty m,A x-i,y1,B x2,y2把直线l的方程代入抛物线方程y24x，整理可得：y24ty 4m 0第1313页共 1616 页则n16t216m0,yi牡4t,yy4m则xx2

16、ty1mty2m 4t22m2线段AB的中点M 2tm,2t由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C 5,0当t 0时，有KMCKAB12t 01即 f f0 011，整理得m 3 2t22t m 5 t把m 3 2t2代入到n 16t216m0可得3 t20，即0 t23由于圆心C到直线AB的距离等于半径1 t .1 t2 r 4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条当t 0时，这样的直线I恰有2条，即x 5 r，0 r 5综上所述，若这样的直线I恰有4条，则r的取值范围是2,4点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题设直线I的方程为x

17、 ty m,A X1, %,B x?,y，把 直线I的方程代入抛物线方程y24x,根据判别式求得线段AB的中点M的坐标，分 别讨论t 0时，t 0时r的取值范围，即可得到答案三、解答题2 21717 如果实数满足x 2 y3,求：29(1)x y的最大值；(2)2x y的最小值. .【答案】(1 1)7 4,3; (2 2)415. .【解析】(1 1 )实数满足x 22y23,即点(x,y)(x,y)在圆上，x2y2表示圆上的点与原第1414页共 1616 页点距离的平方，利用几何法求出原点到圆上点距离最大值，即可求解；第1515页共 1616 页(2(2)设2x y m，即y 2x m，直

18、线过圆上的点且斜率为2，利用直线圆的位置关系，即可求解 【详解】2o(J实数满足x 2 y23的解为坐标的点为M(X, y)，则M在圆上，圆心C( 2,0), r 3，222x y表示圆上的点与原点距离的平方即为IOM |2，|OM |最大值为|OC| . 32、3，QQ_所以x y的最大值为743；(2 2)设2x y m，即y 2x m，即直线2x y m 0与圆有公共点，解得415 m 4.15，2x y的最小值为4 .15. .【点睛】本题考查方程与曲线的关系， 以及直线与圆的位置关系， 考查点到直线距离公式的应用,解题的关键理解所求表达式的几何意义，考查计算求解能力，属于中档题 18

19、18 .已知圆 丫+之(1(1)求过点Q(3,0)的圆 C C 的切线|的方程;(2(2)如图，定点A(1,0),M为圆 C C 上一动点，点 P P 在 AMAM 上，点 N N 在 CMCM 上，且满圆心到直线的距离d第1616页共 1616 页【答案】(1)，二-(2 2) _2【解析】【详解】(1)(1) 由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为.-,即 _ 一-一 -；I I-k-3kI I - 由，一，得 I I 勺-，解得.- _.，+1从而所求的切线方程为、，；，“一 -.(2)(2) - - _ _ - - - NPNP 为 AMAM 的垂直平分线， |NA|=|NM|NA|=

20、|NM| .又十. - _ /_- - -动点 N N 的轨迹是以点 C C (- 1 1, 0 0), A A (1 1 , 0 0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为一 -_ . 一焦距 2c=22c=2 . _二- -q点 N N 的轨迹是方程为一21919 .设抛物线 C C：y 2px p0的焦点为 F F，经过点 F F 的动直线I交抛物线 C C 于A X1,如、B X2,y2两点，且yy4.(1) 求抛物线 C C 的方程；(2) 若点 M M 是抛物线 C C 的准线上的一点，直线 MFMF、MAMA、MBMB 的斜率分别为 如k,、k2,求证：当ko1时，k1k2为定值. .【答

21、案】(1 1)y24x； (2 2)k1k22. .【解析】(1 1)设直线I方程为x my号，与抛物线方程联立，利用根与系数关系，即可求解；uuuv足AMuuv uuv uuuv2AP, NP AM0,求点N的轨迹.第1717页共 1616 页(2(2)根据条件求出 M M 点坐标,k1k2用力，y2表示，再利用根与系数关系，即可证明结论. .【详解】(1 1)抛物线 C C：y22px p 0的焦点2第1818页共 1616 页设直线1方程为Xmy子,px my上2联立2，消去x得，y 2pmyy22px2 24p (1 m )0, yiy22 pm, yyP 2，所以抛物线方程为y24x

22、;(2 2)抛物线准线方程为x 2，设M( 1,y),ko1, yo2,1 1直线|方程为x my 1, % y24m, % y2p24力2讨22% 2y22x-i1 x21my12my222c2y22 mm?(2 1)m(ym(y1 y y2)4)4m m (my-i2)( my22)2 (2勻m(% y2)4 m m m2y1y22m(% y2) 44m242 24m 8m 4所以k1k2为定值. .【点睛】本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系数关系设而不求的应用，属于中档题. .2 2 _2020.给定椭圆C :xy匕1(a b 0).称圆心在原点

23、 O O,半径为,a2b2的圆是a b椭圆 C C 的 准圆”.若椭圆 C C 的一个焦点为F(J2,0)，其短轴上的一个端点到F F 的距离为3.(1)(1)求椭圆 C C 的方程和其 准圆”方程；点 P P 是椭圆 C C 的 准圆”上的一个动点，过动点 P P 作直线h,l2,使得h,l2与椭圆 C C 都 只有一个交点，试判断 -J 是否垂直？并说明理由.y1my12my222, ,第1919页共 1616 页2【答案】( (I ) y21,x2y24； ( (n) )垂直. .3【解析】 试题分析：(1 1 )由 椭圆 C C 的一个焦点为F(.2,0)，其短轴上的一个端点到 F F

24、 的距离为3”知：c .2,ab . a2c21 J b22从而可得椭圆的标准方程和准圆”的方程；(2 2)分两种情况讨论： nJ当中有一条直线斜率不存在；直线li,l2斜率都存在.对于可直接求出直线li2的方程并判断其是不互相垂直；对于设经过准圆上点P Xo,yo,与椭圆只有一个公共点的直线为y t x X。yoy txyotxo与椭圆方程联立组成方程组x22消去y得到关于x的方程:Ty 112 23t x 6t y0tx0 x23 yotxo3 o由0化简整理得：32 2x t 2xyt 12yo0 x2 y2 43223X。t 2x)yot xo3 o而直线li,l2的斜率正是方程的两个

25、根ti,t2，从而tit21llI2(1)Qc、.2,a, 3, b 12椭圆方程为y213准圆方程为x2y24(2)li2当中有一条无斜率时，不妨设li无斜率，因为li与椭圆只有一个共公点，则其方程为x . 3当l1方程为x 3时，此时l1与准圆交于点、3,1 ,、3, 1此时经过点3,1(或,3, 1)且与椭圆只有一个公共眯的直线是y 1(或y 1)即l2为y 1(或y1)，显然直线li,l2垂直；同理可证li方程为x .3时，直线li2也垂直.第2020页共 1616 页2 2当li,l2都有斜率时，设点P Xo,yo,其中xoyo4因为xo y 4，所以有3 xo t22xyt设ll2

26、的斜率分别为ti,t2，因为J 与椭圆只有一个公共点223所以ti,t2满足上述方程3 Xot2xyot xo3 o所以t1t21，即h,l2垂直，综合知, ,|1,|2垂直.【考点】1 1、椭圆的标准方程；2 2、直线与圆锥曲线的综合问题.22121.如图，直线l : y kx b与抛物线x 2py（常数p o）相交于不同的两点A（X1, %）、Bg, y2），且x?为h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l:y kx b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只 有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）（）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于

27、x轴；（2 2）求ABC的面积，证明ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3 3） 小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后， 小张连AC、BC,再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F,小张马上写出了ACE、BCF的面积，由此小张 求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由.设经过点P xo,yo,与椭圆只有一个公共点的直线为y t x Xoyoy则由x23txyoy21消去y，得1 3t2x26t yo2txox 3 yotx。3由0化简整理得:2 23 Xot 2x)yot 12yo3Xo第2121页共 1616 页12h3【答案】(1 1)C(pk,竺),D(pk, pk2b), (2 2),(3 3)能. .216p【解析】 试题分析：（1 1）因为 D D 点为直线与抛物线的交点 A A，B B 中点，所以求 D D 点坐 标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由y kx b2x 2 pkx 2pb 0,得x1x22pk,x1x22 pb，点x 2pyD（pk, pk2b）. .因为 C C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别y kx m22 2式为零进行求解，即由2x 2pkx 2pm 0，得4p k 8pm 0,x