MathStudio使用方法入门11

1、MathStudioMathStudiofor iPadfor iPad 使用方法入门使用方法入门（1111）大衍求一术大衍求一术 与与中国剩余定理（三）中国剩余定理（三） 2015年2月6日2015/2/61/21在前面两集里，我们介绍了在前面两集里，我们介绍了 什么是大衍求一术？大衍什么是大衍求一术？大衍求一术的基本计算规则、操作程序；以及应用大衍求一术求一术的基本计算规则、操作程序；以及应用大衍求一术解解 “ “物不知数物不知数”、“余米推数余米推数”等古算题。等古算题。前已提到过：应用大衍求一术解一次同余式组时，多个前已提到过：应用大衍求一术解一次同余式组时，多个定母间应是两两互质；定

2、母间应是两两互质；“物不知数物不知数”、“余米推数余米推数”等古等古算题里的算题里的3 3、5 5、7 7以及以及1919、1717、1212已经是两两互质；因此，已经是两两互质；因此，未述及如何实现定母间两两互质的化约方法。未述及如何实现定母间两两互质的化约方法。南宋秦九韶南宋秦九韶数学九章数学九章12741274年问世后，几乎失传；后年问世后，几乎失传；后从从永乐大典永乐大典中抄出后，辑入中抄出后，辑入四库全书四库全书；清代数学；清代数学家继续研究，陆续提出新著，如家继续研究，陆续提出新著，如18031803年张敦仁年张敦仁求一算求一算术术，18741874年黄宗宪年黄宗宪求一术通解求一术

3、通解等等本集从有关大衍求一术的不同著作中选出例题，本集从有关大衍求一术的不同著作中选出例题，积尺积尺寻原寻原、江宁府差江宁府差等，通过解题，可看出：不是两两等，通过解题，可看出：不是两两互质的多个定母如何化约为两两互质的方法。互质的多个定母如何化约为两两互质的方法。2015/2/62/21这是张敦仁这是张敦仁求一算术求一算术里的里的一道题，一道题， 100 100 x1 1（mod 101mod 101）“答曰答曰”：乘率：乘率100100，即，即 100 100100 = 101100 = 10199 + 1 99 + 1 “草曰草曰” ” 与与数学九章数学九章的的方法相同，但叙述文字更浅显

4、方法相同，但叙述文字更浅显易懂些，右列辗转相除所得第易懂些，右列辗转相除所得第一数、第二数一数、第二数与左列第一与左列第一数、第二数数、第二数的关系更清楚的关系更清楚了；了；稍加思索可得：稍加思索可得： s st t=q=qt ts st-1t-1 + s + st-2t-22015/2/63/21iPad iPad 计算单计算单计算计算100 x100 x1 1（mod 101mod 101）2015/2/64/21这首歌谣描述了元宵节观灯胜景，这首歌谣描述了元宵节观灯胜景，隐含了一道数学题；隐含了一道数学题；前前7 7句给出题意：句给出题意：五五数剩四，七七数剩六，五五数剩四，七七数剩六，

5、三三数无剩三三数无剩后后7 7句给出解题方法句给出解题方法易懂，不赘易懂，不赘本题转摘自本题转摘自中国古算解趣中国古算解趣郁祖权著郁祖权著把枯燥把枯燥 艰涩的数学题变成朗朗上口的歌谣，有趣易记；艰涩的数学题变成朗朗上口的歌谣，有趣易记；体现出中国古算体现出中国古算“寓教于乐寓教于乐”的特征的特征2015/2/65/21太平莲灯太平莲灯iPad MathStudioiPad MathStudio计算程序计算程序答案答案乘率乘率用数用数衍数衍数定母定母余数余数计算用时计算用时2015/2/66/212015/2/67/21首先首先 搞清题意搞清题意四种砖：四种砖： 大方砖大方砖 小方砖小方砖 城砖

6、城砖 六门砖六门砖 130 130130130 110110110110 120120606025 25 10010050502020 大方砖长大方砖长 城砖长城砖长 小方砖长小方砖长 六门砖长六门砖长 城砖阔城砖阔 六六门砖阔门砖阔 城砖厚城砖厚 六门砖厚六门砖厚 八个度量单位：八个度量单位：130 120 110 100 60 130 120 110 100 60 50 25 2050 25 20量量“广广” ” 余余 60 30 20 30 60 30 20 30 30 30 5 10 30 30 5 10 量量“深深” ” 余余 70 110 80 10 70 110 80 10 50

7、 10 10 1050 10 10 10求解求解“广广”与与“深深”的尺寸的尺寸2015/2/68/21 八音号位八音号位以八音名称给已知数据以八音名称给已知数据“号位号位”，按数据大小降序排列，按数据大小降序排列 金金 石石 丝丝 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方砖长大方砖长 城砖长城砖长 小方砖长小方砖长 六门砖长六门砖长 城砖阔城砖阔 六门砖六门砖阔阔 城砖厚城砖厚 六门砖厚六门砖厚 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20第一次化约后第一次化约后 130 120 55 25 15 130 120 55 25 15 2

8、5 25 125 25 1从从“木木”开始，与其前面的各数分别检测最大公约数，化约开始，与其前面的各数分别检测最大公约数，化约“木木”与与“革革”，公约数，公约数5 5，约，约“木木”得得4 4；木；木4 4与与“土土”5050，公约数，公约数2 2，约土得，约土得2525；木木4 4与与“匏匏”公约数公约数4 4，约匏得，约匏得1515；木；木4 4与与“竹竹”公约数公约数4 4，约竹得，约竹得2525；木木4 4与与“丝丝”公约数公约数2 2，约丝得，约丝得5555，木，木4 4与与“石石”公约数公约数4 4，约木得，约木得1 1；木；木1 1与金无约与金无约2015/2/69/21 第二

9、次化约第二次化约 金金 石石 丝丝 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方砖长大方砖长 城砖长城砖长 小方砖长小方砖长 六门砖长六门砖长 城砖阔城砖阔 六门砖阔六门砖阔 城砖厚城砖厚 六门砖厚六门砖厚 原数原数 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20第一次化约后第一次化约后 130 120 55 25 15 130 120 55 25 15 25 25 125 25 1第二次化约后第二次化约后 26 24 11 1 3 26 24 11 1 3 1 25 11 25 1从从“革革”开始，与其前面的各数分别检测最大公约数，化约开始

10、，与其前面的各数分别检测最大公约数，化约“革革”与与“土土”公约数公约数2525，约土，约土2525为为1 1；革；革2525与匏与匏1515公约数公约数5 5，约匏，约匏1515为为3 3革革2525与竹与竹2525公约数公约数2525，约竹，约竹2525为为1 1；革；革2525与丝与丝5555公约数公约数5 5，约丝，约丝5555为为1111革革2525与石与石120120公约数公约数5 5，约石，约石120120为为2424；革；革2525与金与金130130公约数公约数5 5，约金，约金130130为为26262015/2/610/21继续化约继续化约 金金 石石 丝丝 竹竹 匏匏

11、土土 革革 木木 大方砖长大方砖长 城砖长城砖长 小方砖长小方砖长 六门砖长六门砖长 城砖阔城砖阔 六门砖阔六门砖阔 城砖厚城砖厚 六门砖厚六门砖厚原数原数 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20第二次化约后第二次化约后 26 24 11 1 3 26 24 11 1 3 1 25 11 25 1化约完成后化约完成后 13 8 11 1 13 8 11 1 3 1 25 13 1 25 1“土土”1 1与前面各数互质，无需化约；与前面各数互质，无需化约；“匏匏”3 3与竹与竹1 1、丝、丝1111互质，无化约；匏互质，无化约

12、；匏3 3与石与石24 24 公约数公约数3 3，约石，约石2424为为8 8；“竹竹”1 1 及及“丝丝”1111与前面各数互质，无需化约；与前面各数互质，无需化约；石石8 8与金与金26 26 公约数公约数2 2，约金，约金2626为为1313；化约完成，化约完成，8 8个定母确定为个定母确定为 1313，8 8，1111，1 1，3 3，1 1，2525，1 18 8个定母连续相乘得个定母连续相乘得 衍母衍母85800858002015/2/611/21 金金 石石 丝丝 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方砖长大方砖长 城砖长城砖长 小方砖长小方砖长 六门砖长六门砖长 城砖阔城砖阔 六六

13、门砖阔门砖阔 城砖厚城砖厚 六门砖厚六门砖厚原数原数 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20化约完成后化约完成后 定母定母 13 8 11 1 13 8 11 1 3 1 25 13 1 25 1衍母衍母 8580085800衍数衍数 6600 10725 7800 85800 28600 6600 10725 7800 85800 28600 85800 3432 8580085800 3432 85800奇余奇余 9 5 1 9 5 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1乘率乘率 3 5 1 3 5 1 1 1 1

14、1 1 1 18 18 1 1大衍求一术大衍求一术 列四元方阵计算时，要求右列下（定母）大于右列上（衍数），否则先求列四元方阵计算时，要求右列下（定母）大于右列上（衍数），否则先求得奇余（小于定母）列入右列上，这样就简化以后的计算，这在古代用筹算尤为重要得奇余（小于定母）列入右列上，这样就简化以后的计算，这在古代用筹算尤为重要本题本题 只需计算只需计算 “ “金金”、“石石”、“革革” ” 三组数据的乘率三组数据的乘率；“丝丝”、“匏匏”乘率为乘率为1 1；“竹竹”、“土土”、“木木”无需计算乘率、用数等，计算量大为减少了。无需计算乘率、用数等，计算量大为减少了。2015/2/612/21 金

15、金 石石 丝丝 竹竹 匏匏 土土 革革 木木 大方砖长大方砖长 城砖长城砖长 小方砖长小方砖长 六门砖长六门砖长 城砖阔城砖阔 六六门砖阔门砖阔 城砖厚城砖厚 六门砖厚六门砖厚原数原数 130 120 110 100 130 120 110 100 60 50 25 2060 50 25 20化约完成后化约完成后 定母定母 13 8 11 1 13 8 11 1 3 1 25 13 1 25 1衍母衍母 8580085800衍数衍数 6600 10725 7800 85800 6600 10725 7800 85800 28600 85800 3432 8580028600 85800 343

16、2 85800奇余奇余 9 5 1 9 5 1 1 1 1 7 11 1 1 7 1乘率乘率 3 5 1 3 5 1 1 1 1 18 11 1 1 18 1测测“广广”余数余数 60 30 20 30 60 30 20 30 30 30 5 1030 30 5 10测测“深深”余数余数 70 110 80 10 70 110 80 10 50 10 10 10 50 10 10 10 上一集里已知上一集里已知q=q= x(i)x(i)* *d(i)d(i)* *n(i) n(i) （乘率、衍数、（乘率、衍数、余数乘积和）余数乘积和）y=(mod q,ms) y=(mod q,ms) （总满、

17、衍母求余）（总满、衍母求余）从下表已知数据可求得从下表已知数据可求得广广 =1230=1230（分）（分） 即即1 1丈丈2 2尺尺3 3寸寸深深 =3710=3710（分）（分） 即即3 3丈丈7 7尺尺1 1寸寸 2015/2/613/21元数化约后所得定母元数化约后所得定母乘率乘率测广余数测广余数衍数衍数衍母衍母广广 基坑宽度基坑宽度2015/2/614/21深深 基坑深度基坑深度测深余数测深余数化约后的定母化约后的定母2015/2/615/212015/2/616/21江宁府差人甲、乙、丙相继进京；甲日行江宁府差人甲、乙、丙相继进京；甲日行178178里，乙日行里，乙日行224224里

18、，丙日行里，丙日行300300里；三人同于当月里；三人同于当月1515日到京；日到京；1414日晚，甲住在离京日晚，甲住在离京5858里处，乙住在里处，乙住在离京离京8686里处，丙住在离京里处，丙住在离京150150里处；里处；问：江宁府与京城的距离，甲乙丙三人各走了几日到京？问：江宁府与京城的距离，甲乙丙三人各走了几日到京？ 三人各于何日启程？三人各于何日启程？本题出自本题出自求一算术求一算术（清（清 张敦仁张敦仁 18031803年）年）设设 江宁府与京城相距江宁府与京城相距 x里里x 58(mod 178)58(mod 178) 86(mod 224)86(mod 224) 150(m

19、od 300)150(mod 300)因因178178、224224、300300不是两两互质，需先化约不是两两互质，需先化约原著内的原著内的“草曰草曰”“”“用连环相约术用连环相约术”把化约方法说得很清楚了，把化约方法说得很清楚了，无庸赘述。无庸赘述。化约后得化约后得 8989、224224、7575为定母为定母求解求解x 58(mod 89)58(mod 89) 86(mod 224)86(mod 224) 150(mod 75) 150(mod 75) x=2550里里甲行日数甲行日数 =2550/178=14+29/89 15-14=1 初一启程初一启程乙行日数乙行日数 =2550/2

20、24=11+43/112 15-11=4 初四启程初四启程丙行日数丙行日数 =2550/300=8+1/2 15-8=7 初七启程初七启程MathStudio计算单见后页计算单见后页2015/2/617/21江宁与京师距离江宁与京师距离 甲行日数甲行日数=14+29/89=14+29/89乙行日数乙行日数 =11+43/112=11+43/112丙行日数丙行日数 =8+1/2=8+1/2“江宁府差江宁府差”题题MathStudio MathStudio 计算计算单单2015/2/618/21从前面从前面积尺寻原积尺寻原、江宁府差江宁府差两题的求解过程中，我两题的求解过程中，我们可们可“悟悟”出

21、定母化约方法的一些要点：出定母化约方法的一些要点：1.1.原数按数据大小降序排列原数按数据大小降序排列2.2.从最小的数据开始，分别与其前面数据逐一化约从最小的数据开始，分别与其前面数据逐一化约3.3.若若 元数有元数有n n个，则需化约个，则需化约(n-1)(n-1)轮次轮次4.4.第一轮次有（第一轮次有（n-1n-1）对数据，两两化约）对数据，两两化约 第二轮次有（第二轮次有（n-2n-2）对数据两两化约；依此类推）对数据两两化约；依此类推5.5.化约的具体方法：计算两数的最大公约数化约的具体方法：计算两数的最大公约数GCD(A,B)=C, GCD(A,B)=C, 如果如果C=1, C=1, 则无需化约；则无需化约； 如果如果C C1 1，则，则以以C C去除两数中的一个（不是两数同约！）去除两数中的一个（不是两数同约！）， 使新的两数互质使新的两