第八节方程的近似解ppt课件

1、1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第八节第八节 方程的近似解方程的近似解一、问题的提出一、问题的提出二、二分法二、二分法三、切线法三、切线法四、小结四、小结 思考题思考题2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、问题的提出【求近似实根的步骤】【求近似实根的步骤】确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离根根的的隔隔离离区区间间称称为为所所求求实实间间区区间间内内的的唯唯一一实实根根区区使使所所求求的的根根是是位位于于这这个个确确定定一一个个区区间间,baba【问题】高次代数方程或其他类型的方程求精【问题】高次代数方程或其他类型的方程求精

2、确根一般比较困难确根一般比较困难, ,希望寻求方程近似根的有效希望寻求方程近似根的有效计算方法计算方法3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 轴轴交交点点的的大大概概位位置置定定出出它它与与的的图图形形，然然后后从从图图上上如如图图，精精确确画画出出xxfy)( 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根满足精确度要求的近似实根【常用方法】【常用方法】二分法和切线法牛顿法）二分法和切线法牛顿法）4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

3、返回 结束结束 二、二分法区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅有一个实根内仅有一个实根在在且方程且方程，上连续，上连续，在区间在区间设设,),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f【作法】【作法】).(2,11 fbaba，计计算算的的中中点点取取 5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,)()(1111bbaaff 同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同号，那末取同号，那末取与与如

4、果如果);(211111ababba 及及也也有有 总之，总之，);(211111ababba 且且时时，可可求求得得当当 6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 );(21)(21,2222211211ababbababa 且且时时，可可求求得得当当复复上上述述做做法法，作作为为新新的的隔隔离离区区间间，重重以以 ).(21,ababbannnnnn 且且可可求求得得次次如如此此重重复复 小小于于的的近近似似值值，那那末末其其误误差差作作为为或或如如果果以以)(21abbannn 7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .10,04 . 19 .

5、01 . 1323 使使误误差差不不超超过过的的实实根根的的近近似似值值用用二二分分法法求求方方程程xxx【例】【例】【解】【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(内内连连续续在在显显然然 xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(内单调增加内单调增加在在故故xf如图如图至多有一个实根至多有一个实根0)( xf8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf.1 , 0, 1, 0即即是是一一

6、个个隔隔离离区区间间取取 ba计算得计算得: :; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .10,671. 0 , 670. 03 其误差都小于其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的过剩近似值作为根的不足近似值作为根的不足近似值即即;687. 0,656.

7、 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、切线

8、法是是根根的的一一个个隔隔离离区区间间，内内有有唯唯一一个个的的实实根根在在则则方方程程上上保保持持定定号号在在及及且且，上上具具有有二二阶阶导导数数，在在设设,),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf 【定义】用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，【定义】用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法牛顿法）线法牛顿法）11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 【如图】【如图】更接近方程的根更接近方程的根比比轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标线与线与作切线，这切作切线，这切

9、那个端点（此端点记作那个端点（此端点记作同号的同号的在纵坐标与在纵坐标与 0100)(,()(xxxxfxxf ,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 则则切切线线方方程程为为ABxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxfbfaf12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作作切切线线，在在点点)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得得根根的的近近似似值值如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(0bxxfbf 可可记记同同号号与与如如果果,)()(0001xfxfxx

10、 得得令令, 0 yABxyoab 1x)(xfy 2x【注意】【注意】13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .10,04 . 19 . 01 . 1323 使使误误差差不不超超过过的的实实根根的的近近似似值值用用切切线线法法求求方方程程xxx【例】【例】【解】【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是是一一个个隔隔离离区区间间上上，如如图图，在在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 同号，同号

11、，与与)()(xfxf . 10 x令令代入代入(1),(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx计算停止计算停止. .10,671. 03 其其误误差差都都小小于于得得根根的的近近似似值值为为15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、小结【求方程近似实根的常用方法】【求方程近似实根的常用方法】二分法、切线法牛顿法）、割线法二分法、切线法牛顿法）、割线法【切线法实质】特定的迭代法【切线法实质】特定的迭代法求