积分中值定理 (2)

1、积分中值定理积分中值定理第1页，共22页。对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当当ba 时时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小考虑积分上下限的大小一、基本内容一、基本内容第2页，共22页。证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限

2、多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1第3页，共22页。 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2第4页，共22页。 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()(

3、 bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3 3第5页，共22页。dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，第6页，共22页。例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0

4、)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 第7页，共22页。性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）第8页，共22页。dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfb

5、a )(dxxfba )(.说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在在区区间间,ba上上的的性质性质5 5的推论：的推论：（2）第9页，共22页。设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6第10页，共22页。例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3

6、xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第11页，共22页。例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x为极大点，为极大点，2 x为极小点为极小点,第12页，共22页。,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx第13页，共22页。如如果果函函数数)(xf在在闭闭区

7、区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式第14页，共22页。在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何

8、解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。第15页，共22页。例例 4 4 设设)(xf可可导导，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 第16页，共22页。定积分的性质定积分的性质（注意

9、估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结二、小结第17页，共22页。思考题思考题 定定积积分分性性质质中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积，则则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上也也可可积积。这这一一性性质质之之逆逆成成立立吗吗？为为什什么么？第18页，共22页。思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可积，不能断言积，不能断言)(),(xgxf在在,ba上都可积。上都可积。

10、 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1, 0)(显显然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在 1 , 0上上可可积积，但但)(),(xgxf在在 1 , 0上上都都不不可可积积。例例第19页，共22页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 如果积分区间如果积分区间 ba ,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3

11、 3、 时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、 积分中值公式积分中值公式 badxxf)()( ,)(baabf 的几何意义是的几何意义是 _ _；练练 习习 题题第20页，共22页。5 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明： babadxxfkdxxkf)()(（是是常常数数k）. .三、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .第21页，共22页。六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( x