数列微专题4证明等差等比数列

1、微专题52等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证 明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：ani an d （等差），- q （等比） an 通项公式：an kn m （等差），an k qn q 0 （等比）（3）前 n 项和：Sn An2 Bn （等差），Sn kqn k （等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比

2、中项来进行证明，即 n N ,均有：2an 1 anan 22an 1anan 2（等比）,这an样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数:an 13an2an 11 2an 1an 13an_ 12112111即,2 ,，在考虑构造“1"： ' 1 2 ' 121an133anan133an3 an即数列 1是公比为1的等比数列an3思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用bn表不：bn1, ,一1 ,则只需证明bn是an比数列即可，那么需要关于 bn的条件（首项，递推公式）,所以用bn将an表示出来，并代换二、典型例题: 33a例1 ：已知数列 an的首项a1 -

3、,an 1 ,n N52an 11为等比数列求证：数列 1 an思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在到an的递推公式中，进而可从 bn的递推公式出发，进行证明1.解：令bn 1 ,则anan1bn 1递推公式变为:1bn 11bn2 bn3111bn 3 3bn3bn 1bn是公比为的等比数列。即数列1为等比数列2 ann an1 n1annan小炼有话说：(1)构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行 变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。 所以构造法的关键之处在于能够观察

4、到所证数列显著的特点并加以利用(2)代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元一表示一代入一化简”即可，说两点：一1 是代换bn 1体现了两个数列 an , bn的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应 an(第n项对应第n项)；二是经过代换，得到 bn的递推公式，而所证bn是等比数列，那么意坚定地化简下味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但个人认为,代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循去，通常能够得到一个简单的答案。 规蹈矩按步骤去做即可。例2：数列 an的前n项和为Sn,Sn an3-n 1(n N*) (*).设 bnan n,2证明：数列bn是等比数列，

5、并求出an的通项公式思路：本题所给等式 Sn，an混合在一起，可考虑将其转变为只含an或只含&的等式，题目中bnann倾向于项的关系，故考虑消掉Sn ,再进行求解解:Snan3n 1Sn1ann 2,n ND 可得:2an2 anan 11-an 1 n2bn1 是公比为1的等比数列S1a1bnbi232n 1b1 a1 1令n 1代入（*）可得:1.1a12b12n,1an bnn -n2小炼有话说：（1）遇到Sn, an混合在一起的等式, 通常转化为纯an （项的递推公式）或者纯Sn（前n项和的递推公式），变形的方法如下: 消去Sn：向下再写一个关于 Sn1的式子（如例2）,然后两

6、式相减（注意 n取值范围变化）消去an :只需an Sn Sn 1代换即可（n 2,n N ）（2） Sn,an混合在一起的等式可求出 a1,令n 1即可（因为S a1）（3）这里体现出bn an n的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过bn an n也可将an的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公 式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列， 进而求解原

7、数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来1例3：已知数列 an满足：a1 6,an 1an 6an 1 9 0,n N且n 2,求证： 为an 3等差数列11解：设bn ,则an 一 3代入an 1an 6an 1 9 0可得：an 3bn11133639 0bn 1bnbn 11bn 1bn3bn 1369 18 9 0bnbn 1133c0bn 1bnbn 1 bn1bnbn 1-31bn为等差数列，即为等差数列an 31例4：已知曲线C :xy 1,过C上一点 A xn,yn作一斜率为kn 的直线交曲线 Cxn 2于另一点 An1 xn 1，Yn1

8、 (xnxn 1且xn0 ,点列An的横坐标构成数列xn11x1(1)求xn与xn 1的关系式;(2)数列bn是等比数列;解：（1）曲线C :ynxnyn1_xn 2xnynynxnxn 1xnxnxnxn 2ynxnbnxnxnbn2,代入到递推公式中可得:1bn3bn 1bn2bnbn1工132bnbn 11工13bn4bnbbnbn3bnbn 1bn 11-33193 bnbnbn2bnbn 12bnbn是公比为13 2bn14bnbn 12的等比数列bn=bn4 bnbnbn 1bn的形式，所以考虑用代入法直接求小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出例5：已知数列 an满足

9、a1 a,an 14n 6 an 4n 10n n N2n判断数列亘_2是2n 1否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出解：设bnan22n 1an2n 1 bn 2代入到an 14n 6 an 4n 10/日可得:2n 12n 3bn4n 6 2n 1 bn 2 4n102n2n2n1 bn14n 2 22n 3 2n 1 bn 8n124n102n2n1 bn12 2n 32n 1 bnbn 12bn而b1a1 2 a 2a 2 时，“ 0,bn不是等比数列2时，bn是等比数列，即an 2为等比数列2n 1an2a12 -n 1-2a 2 2n2n 13an（2015山东日照3月考

10、）已知数列 an中,数列a2n-23是等比数列思路:所证数列为a2n3 一 一，一一3 ,可发现要寻找的是2a11,an13ananan偶数项的联系,关系转变为a2n与a2n 1之间的关系，再进行构造证明即可证明：由an 113an”为奇数可得:n，n为奇数，求证:3n,n为偶数所以将已知分段递推an3n,n为偶数a2n13a2n12n 1Q a2n 1a2n 2 3 2n 2a2n1c c ca2n 2 3 2n 23a2n2n 2 2n2n 11-a2n 213a2n1二 a2n 23a2n 23 一 . . . 1数列a2n 3是公比为1的等比数列23且对任意非负整数例7： （2015湖

11、北襄阳四中阶段性测试）已知数列an满足a1 1 ,m,n m n均有:am nam n m n 1(1)求 a0,a2（2）求证：数列 am 1am是等差数列，并求出 an的通项公式解：（1）令m n可得:a2ma0 1a2ma0再令n 0可得：12am m 1 - a2m2aoa2m 4am 2m 3a2 4a1 1 3（2）思路：考虑证明数列a0 1,a2 3,am am 1的关系，4am 2m 3,将am 1 am是等差数列，则要寻找 am 1 am即所涉及项为am 1,am,am 1 ,结合已知等式令n 1,利用（1）中的a2m a2m代换为am即可证明，进而求出通项公式1证明：在 a

12、m n am n m n 1 a2m a2n 中令 n 1 得: 21 - am 1 am 1 m 2 a2m a222am 12am 1 2m 4 a2m a2由（1）得a2m4 am 2m 3,a23代入可得:2am 12am1 2m 4 4am 2mam 1am 12amam 1amamam 12数列am 1am是公差为2的等差数列amama2a12 m1 2mamam-1am 2a2aiamaiam例8:（2010安徽，20）设数列a1，a2,L ,an,L中的每一项都不为0,求证：an是等差数列的充分必要条件是：对 n N1都有一a1a2a2a3anan 1思路：证明充要条件要将两个

13、条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。观察所证等式可联想到求和中的裂项相消。所以考虑anan 1anan 1an 1and an an 11 11 一 ，然后恒等式左边进行求和即可证明。再证明充分性,即已知恒等式证明等差数列：恒等式左侧为求和形式，所以考虑向前写一个式子两式相减,进而左边消去大量的项，可得:,通过化简可得:an 倒 2aa 2aan 1an 2 an1 an 1an ,从而利用等差中项完成等差数列的证明证明：先证必要性:Q an是等差数列an an 1 L a2a11.左边 La11nnT T 右边 Ia1 a1a1当d 0时,考虑anana

14、nan 1an 1andanan 1-1左边 -da1a2a2a3an111d aan 11 an 1a1daan 1nd右边aan 1aan 1所证恒等式成立 再证必要性：1Q - a1a2a2a3an an 1aan 1a1a2an an 1an冏2aan 2可得:an 闭 2aan 2aan 1两边同时乘以a1an冏2得:a1n 1an 1同理：a1n 1 an 12nan1 n an 2an2an 1 anan为等差数列小炼有话说：(1)本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在 项关系时使用这也是变形递推公式的方法之一,(2)在充分性的证明中连续用到了构造新式并相

15、减的方法, 当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧 是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。2_例9：右数列an的各项均为正数，n N , an 1 anan 2 t(t为常数)，且2a3 a2 a(1)求La的值a2(2)求证：数列 an为等差数列2解：(1)令n 1,则有a2a1a3t2.令n 2 ,则有a3 a2a4 t可得：2222a2a3a1a3 a2a4a2a2a4a3a1a3a2 a2a4 a3 a1a3aia3a2a4a2a3(2)思路：所给的递推公式中含有 t,而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子 两

16、式相减，构造新的递推公式，仿照(1)进行变形。52._斛：an 1 anan 2 t d2an 2an冏3可得:22an 1 an 2 anan 2an冏31an 32an 2 anan 2an 1 an 1an 3an 2 anan 2an 1 an 3 anan 2an 2a n 1从而an1 an3an 2anan 2an 1an 1 anana2 a42a3anan 22a n 1anan 22an 1an an+2an 1例10：在数列an中，a1数列an为等差数列N , a2k1，a210a2kl成等差数列，其公差为dk,若dk2k 求证：a2k,a2k1，a2k 2成等比数列k2 k , 2 k I , 2 k 2思路：由a2k1,a2k,a2kl的公差为dk 2k ,而a2k1,a2k1表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即a2kl a2kl 4k,从而可以求出an奇数项的通项公式,再利用a2k 1 ,a2k1可求出a2k ,进而a2k,a