(完整版)几何图形难题集

1、【例11如图所示,ABC 中,ABC 90 , AB 3 , BC 5 ,以AC为一边向 ABC外作正方形ACDE ,中心为。，求OBC的面积.5如图，将 OAB沿着O点顺时针旋转90 ,到达 OCF的位置.由于 ABC 90 , AOC 90 ,所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB,所以 OCF OCB 180 ,那么B、C、F三点在一条直线上.由于 OB OF, BOF AOC 90 ,所以 BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为5 3 面积为82 1 16 .4根据面积比例模型，OBC的面积为16 5 10.8【例2】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,

2、AB 8 , AD 15 ,四边形EFGO的面积BFC利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形 AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8120,所以三角形BOC的面积为12030 ,所以三角形 AOE和DOG的面积之和为120370 20 ；4又三角形 AOE、DOG和四边形1EFGO的面积之和为 120-2所以四边形 EFGO的面积为30 20 10.三角形BFD面积 白色部分的面积，而另解：从整体上来看，四边形 EFGO的面积 三角形AFC面积 三角形AFC面积 三角形BFD面积为长方形面积的

3、一半，即 60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50,所以四边形的面积为 60 50 10 .如图，长方形 ABCD的面积是36, E是AD的三等分点， AE 2ED ,则阴影部分的面积为如图，连接OE.根据蝴蝶定理,ON : NDS COE : S CDE1 -一 S CAE ： S CDE 1：1 ,2所以S OEN12s OED ；0M : MA S boe : S BAE2s/ ， c 1cBAE 1： 4 ,所以 S OEM S S OEA .5又 S OED二 二 S矩形 ABCD3 43，S OEA2S OED 6 ，11所以阴影部分面积为：3 -

4、 6 2.7.25【例3】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.【解析】如图，将原图扩展成Y大正三角形班产,则a（丘产与ACEH都是正三龟形.假设正六边形的边长为为白，则&«?尸与曲 的边长都是4*所以大正三角形DEF的边长为 4C -1 = 7 .那么它的面积为单位小正三角形面枳的49倍.而一ME六边影是由6个单位小正 三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面枳为1，三角形口斯的面枳为至，66第十£4=4】. 口 =笳,所以2U所与一角形DEF时的帜7比为=三,7 7 49同理可知,”、ZUEC与三角形尸的面积之比都为坦 用以人45的面积占三角形力印

5、面 49积的1_上门=竺，所以限由广的面积的面积为"乂 11=12 . 49496 49 6E巩固】已如图中每个正六边形的而积都是1,则图中虚线圉成的五边形以8cDE的面积是【解析】从图中可以看出,虚线函和虚线e外的囹形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于f 正六边形的面根；虚线行亡和虚线D£外的图形者辖于一个正六边形的一半,那么它们合起来等 T个正六力F的面积.虚笠一江外的图形是靖个二角形，从右图中可以看出,每个二角形个是 fit六边形面枳的L ,所以虚线外国形的面枳等十J3 + L 2 =让，所以五边彤的面枳是6631710-3、6二.33【例4】7如图，已知CD 5

6、, DE 7 , EF 15, FG 6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是根据题意可知,CF 5 715 27;DG 7 15 628;所以,S BEF15S27 S CBF12S27 S CBFS AEG21TT S ADG , S AED2828©S28ADG 27SCBF 6528S ADG-S 27CBF38.可得S ADG 40 .故三角形ADG的面积是40.【例5】如图，平行四边形ABCD, BE ABCF 2CBGD 3DCHA 4AD,平行四边形ABCD的面积是ABCD与四边形EFGH的面积比.2,求平行四边形

7、FF连接AC、BD .根据共角定理在 4ABC 和 4BFE 中， ABC与 FBE 互补,SAB BC 1 1 1Sa fbe BE BF 13 3又 SA ABC1 ,所以 SA FBE3.11同理可得S>A GCF8, S；ADHG15, SaAEH 8 .所以 SEFGHSA AEHSA CFGSA DHGSABEFSABCD8 8 15+3+2 36Sabcd 所以qSEFGH2136 18【例6】如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE , AEB 90 , AC、BD 交于 O .已知 AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形 OBE的面积.如图，连接

8、DE,以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置.那么 EAF EAB BAF EABDAE 90 ,而 AEB也是90 ,所以四边形 AFBE是直角梯形,且 AF AE 3,所以梯形AFBE的面积为:123 5 3 - 12 (cm ).2又因为 ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2 AE2 BE2325234 ,所以ABD125AB17(cm2),那么S BDE S ABD S ABE S ADES ABDSAFBE17 12 5(cm2),所以S OBE1S八 S BDE22.5 (cm2).【例7】如下图，六边形 ABCDEF中，AB ED, AFCD , BC EF ,且

9、有 AB平行于ED , AF平行于CD , BC18厘米，请问六边形 ABCDEF的面积是多平行于 EF ,对角线 FD垂直于BD ,已知 FD 24厘米，BD少平方厘米?如图，我们将 BCD平移使得CD与AF重合，将 DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到 图中的AG 了.这样就组成了一个长方形 BGFD ,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形 ABCDEF的面积为432平方厘米.如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米,EC 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？DEC设S def1份，则根据燕尾定

10、理其他面积如图所示S阴影512SA BCD512平方厘米.【例8】如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 O点，CEF、OEF、ODF、 BOE的面积依次是2、4、4 和6.求：求 OCF的面积；求 4GCE的面积.根据题意可知，4BCD的面积为2 4 4 6 16,那么 ABCO和 CDO的面积都是16 2 8,所以OCF的面积为8 4 4;由于ABCO的面积为8, ABOE的面积为6,所以OCE的面积为8 6 2,根据蝴蝶定理，EG:FG S coe : S cof 2:4 1:2,-112所以S GCE : S GCF EG:FG 1:2,那么 SGCE S CEF - 2 工.1 23

11、3【例9】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段 AB与CD相交于K点.已知正方形 DEFG的面积48, AK: KB 1:3 ,则 BKD的面积是多少？D A GB EF C由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和 ACK的面积是相等的.而 AK : KB 1:3 ,所以 ACK的面积是 ABC面积的,那么 BDK的面积也是1 3 4ABC面积的- 4由于 ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM DE, 可见 ABM和 ACM的面积都等于正方形 DEFG面积的一半，所以 ABC

12、的面积与正方形 DEFG的面积 相等，为48.那么 BDK的面积为48 1 12 .412G、H分别是AB, BC, CD, DA的中点,卜图中，四边形 ABCD都是边长为1的正方形，E、F如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m,那么，(m n)的值等于 n15左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比 较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接 EG .设AG与DE的交点为M .左图中 AEGD为长方形，可知 AMD的面积为长方形 AEGD面积的-,所以三角形 AMD的面积为412 1

13、11.又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1141.24882如上图所示，在右图中连接 AC、EF .设AF、EC的交点为N .可知EF / AC且AC 2EF .那么三角形 BEF的面积为三角形 ABC面积的-,所以三角形 BEF的面积4为12 1 11，梯形aefc的面积为-. 2 4 82 8 8在梯形AEFC中，由于EF: AC 1:2,根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：12:1 2:1 2: 22 1:2: 2: 4 ,所以三角形 EFN的面积为9 1 上，那么四边形 BENF的面积为8 1 2 2 4 241 1 111- - 1 .而右图中四个空白

14、四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1 - 4 -.8 24 663那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1:1 3:2,即m 3,2 3n 2那么m n 3 2 5 .【例11】如图所示，已知平行四边形 ABCD的面积是1, E、F是AB、AD的中点,BF交EC于M ,求 BMG的面积.解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得 EF/BD ,而FD :BC FH : HC 1:2,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH:CF GH : EF 2:3,并得G、H是BD的三等分点，所以 BG GH ,所以BG:EF BM :MF 2:3 ,所以 BM2 _ QB

15、F , S BFD5ABD1又因为BG -BD ,所以S BMG3S BFD30解法二：延长CE交DA于I ,如右图,可得,AI : BCAE:EB 1:1 ,从而可以确定 M的点的位置,BM :MF BC:IF 2:3, BM21 ，一一一BF, BG 1BD （鸟头定理）,53可得S BMG1S3SBDF2 11c 1Sy ABCD5 3 430【例如图，已知 AB AE 4cm, BC DC, BAEBCD 90 , AC 10cm,则 S ABC S ACE S CDE cm2 C'将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转 90°,构成三角形 AEC'

16、和A'DC ,再连接A'C',显然AC AC', AC A'C , AC A'C AC',所以ACA'C'是正方形.三角形 AEC'和三角形 A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系:S AEC S A' DC ' ； S AEC ' S A' DC ； S CED S C ' DE -所以 S ABC S ACEScde Saec' Sace Scde aSACA'C'i2-10 10 5

17、0cm2 2【例16】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是cm2 【解析】 如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ ,易知长方形 MNPQ的面积为4X1 = 4平方厘米.？从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH 、BFME、CGQF、DHPG ?四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的 面积加上长方形 MNPQ的面积，为10X10 + 4 =104平方厘米， 所以四个空白三角形的面积之和为104 + 2 = 52平方厘米，那么阴影四边形 EFGH的面积为100 - 5

18、2 = 48平方厘米.10工巩固】如黑.例制副分四边危的外接图形是边快为口厘米的正方胞.则网电部分四边形的面板髭多少 平方璋米？n18【修析】如图所示.分别STH彬四边形屈打的四个顶点蚱正方格菩边的平行线.相交长方形MVFp . 晶超长方格W炉。的面枳为4-2-8平方魇米,从图中可以看出.原图中四个空白二凿形的面枳之和的1倍,等于4nn BE在. CGQF 力HFG四个长方形的面汨之和,等于正方用,旧广。的面洱加上长方形MYF。的面枳.为 12仁，8 = 11平方酣米 所豆四个生白三角布的面帆之和为= F平方厘米d那么阴能四 边形EFGH的面积为平方度邛.【例14】如图，正方形的边长为 10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是 t解析】如图所示，设,5上的荫个点分别为AC N .睽 CN ,根据面积比例模型. 皿F与AOF的面枳是相等的.那么“4房与的面积之和.等于 ACVF与ABNF的面法之和.即等于”CV的面积.而A5m的面积为正方形.祈C普面快的一半， 为 10, xl = 50 .2又30 与A5,VF的面积N和与阴