小学奥数教程-等差数列计算题.教师版(11)全国通用(含答案)

1、公式法计算一、常用公式1.2.3.4.1 + 2 + 34s+3、+心丝妇1丝221 + 2 + 3 + + 、= (1 + 2 + 3 +n2 x( + l)241 + 3 + 5 + 7+.+(2-1) = 1 + 2 + 3 + .+ (-1) + + (-1) + + 3 + 2 + 1 =，/ ;5 .等比数列求和公式：S八=闯。卜慧/一 =心 （7*1）：qT6 .平方差公式：a2 -b2 =（。+ 8）（4-）；7 . 完全平方公式：（4 + 入了=不 + 2ah + b2, （n-Z?）2 = a2 - 2ah + b2 ；用文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方

2、和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍,两条公式也可以合写在一起：（。土4=。22 + .为便于汜忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央二、常用技巧2.3.4.ahcabc = abcxOO ：ababab =而 x 10101 ：1?- = 0.142857, -=0.285714,7745-=0.571428, - = 0.714285,77lib.4x111.1 = 123-.;：.321 ,一 一 / J 一 nzil ”个 1- = 0.428571, 76一 = 0.857142； 7其中 K9.一、前项和【例 1】12 +32 +52 +-+192【考点】公式法之求

3、和公式【难度】2星【解析】12 + 32 + 52 +.- + 192=(12 +22 +32 +-+192)-(22 +42 +-+182)= 1x19x20x39-4x(12+22+.- + 92) 6= 2470-1x9x10x196= 2470 - 285 = 2185【题型】计算【答案】2185【巩固】12 +22 +42 +52 +72 +82 +102 +112 +132 +142 +162【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】原式= (+2?+ +16?) - (3?+6?+92+12? +15?)= (12 +22 +.- + 162)-32 x(12 +2

4、2 +32 +42 +52) =16x17x33 八 5x6x11-9x【答案】= 1496-495 = 10011001【例2】计算：36 + 49 + 64+81 + +400【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】【答案】原式=6?+72+8?+ 202= l2 + 22 + 32 +- + 202 -(l2 +22 +32 +42 +52)= 1x20x21x41-x5x6x1166= 2870-55 = 28152815【例3】计算：I3 +33 +53 +73 +93 + 113 +133 +153【考点】公式法之求和公式【难度】3星【解析】原式= F+23+33+

5、43+. + 143+153-(23+43+143)【题型】计算152x(15 + 1)2-8x(13 + 23+. + 73)= W_2x72x82 4= 8128【答案】8128【巩固】计算：13+33 +53 +- + 995=.【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】与公式广+2+. + /=0 + 2 +=n2PL相比,r+3+53+ + 993缺少偶数项，所以可以先补上偶数项.原式= (r+23+T+. + 1003)-(23+43+100)lxl002 xl012-23x 4lxl002xl012-23x 43 +23 +. + 503)1x502 x512 4=

6、 5O2 x(1012 -2x512) =12497500【答案】12497500【例4】辽也 1 + 25+33+-.+20065计算：1 + 2 + 3 + -+2006【考点】公式法之求和公式【解析】原式=(2 + 3+ 一 + 2006f 1 + 2 + 3 + 2006【难度】3星【题型】填空= 1 + 2 + 3+ + 2006 = ；x 2006x(2006 + 1) =201302116【答案】2013021【例 5】 计算：2004 x 2003 - 2003 x 2002 + 2002 x 2001 -2001 x2000 + + 2x 1 =。【考点】公式法之求和公式【难

7、度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】原式= 2003x2 + 2001x2 + +3x2 + lx2= 2x(1+ 3 + 5 + .+2001+ 2003)= 2x(1 + 2003)x10022= 2008008其中也可以直接根据公式1 + 3 + 5 + 7 +(2 -1) = /得出1 + 3 + 5+ + 2001+ 2003 = 1002?【答案】2008008例 6 计算：1x22 +2x32 +3x42 +. + 18xI92+19x202【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】分拆(2-1)x22=23 - 22, (3-1 )x32 =33 -32

8、再用公式原式=(2, -2?) + (33-32) + + (203-202) = (1 + 25 + 33 + 203)-(1 + 22 +32 +20。= 1x202 x212 -1x20x21x41=41230 46【答案】41230【例7】 对自然数。和，规定“i+T,例如3V2 = 3、3 = 12,那么：(1) 1V2 + 2V2 + 3V2 + .-+99V2 =； 2W + 2V2 + 2V3 +2V99 =.【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】(1)原式= F+l + 22+2 + 32+3 + + 99+99= (12 +22 +32 +- + 99z)

9、 + (1 + 2 + 3 + .-+99)= 1x99x100x199 + 4950 6= 328350 + 4950 = 333300(2)原式= T+2+22+T+23+22+299 + 298=(20+21+22+. + 298) +(2,+22+23 + .+2w)=(20+2+22 +-298)x3=(2w-l)x3= 3x2-3【答案】(1)333300(2)3x2w-3【巩固】看规律F=F, P + 23=3 l3 + 23 + 33 = 62 ,试求于+7至+ 14，【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【关键词】人大附中【解析】原式=(1，+ 2，+, +14 )

10、一(1，+2+,+5) = (1 + 2 + 3 +14) (1 + 2 + 3 + 4 + 5)=1052 -152 =(105-15)(105 + 15)=90x120 = 10800【答案】10800【例8】计算：l + ； + g + j +【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】法一：利用等比数列求和公式。1-【题型】填空+2?+ + 2 ( + 1)(2 + 1) 2(2 + 1)(2 + 2)= 12x22 + 1) (2+ 1)(2+ 2)，所以，4+r+12 +2212 +22 +- + 102= 12x昌-)+信4x5 5x6,120x2121x22；所以原

11、式= 24x= 12x1 1 1+ 2x3 4x520x211111+-12x1 - +-+ + 2x3 3x4 4x5 5x620x21 21x222x3 3x4 4x5 5x6+ 4+20x21 21x22 7( 1 1 1 1=12x I F1 2 3 3 4= 12x【答案】12 22511=6=511 11【例 18】计算：I2 - 22 + 32 -42 + - - - + 20052 - 20062 + 20072【难度】3星【题型】计算【考点】公式法之综合运用【关键词】北京二中，入学测试 【解析】原式= 20072 -20062+ 52-42+32-22+/= (2007 20

12、06)x(2007 + 2006) + (2005 2004)x(2005 + 2004)+ +(3 - 2)x(3 +2) + 1= 2007 + 2(X)6 + 2005 + 2004 + .+3 + 2 + 1=；X (2007 + l)x 2007 = 2015028【答案】2015028 【巩固】计算 I2 -22 +32 -42 +52 -62 +. + 172 -182 + 192【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】这个题目重新整理得:I2 +(32 -22) + (52 -42) + (72 -62). + (192 -182)=1 + (3 + 2)(3-

13、2) + (5 + 4)(5-4) + . + (19 +18)(19-18)=1+ 3 + 2 + 5+ 4 + 19 +18=1 + 2 + 3 + 4+ 17 + 18 + 19= 20x9 + 10=190【答案】190 【巩固】计算：20x20-19x19 + 18x18-17x17+.+2x2-lxl.【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了 20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看, 利用平方差公式：20x20-19x19 = (20+19)(20-19) = 20 + 19, 18x18-17x17 = 18 +

14、17 ,2x2 -1x1 = 2 + 1.于是，原式=20 + 19 + 18+17+ 2 + 1= (20+1)x202 = 210【答案】210 【例 19 1x3 + 2x44-3x5+.9x11【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式=(2-1)(2 + 1) + (3-1)(3 + 1) + . + (10-1)(10 + 1)=(2-1)+ (1() -1)=(22 +32 +. + 102)-9 =(12 +22 +32 +.- + 102)-10【答案】37510x11x21-10 = 375【例 20】 计算：11x29 + 12 x 28 + .-.+1

15、9 x 21=【题型】填空【考点】公式法之综合运用【难度】3星【解析】A. =(202 - 92) +(202 - 82) + -+(202 -I2)= 202x9-(12+22 +. + 92)= 3600-1x9x10x19 = 33156【答案】3315 【巩固】计算：1x99 + 2x98 + 3x97 + .-.+49x51=.【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式.原式= (50-49)x(50 + 49) + (50-48)x(50 + 48) + + (50-l)x(50 + l) =(502-49

16、2) +(502 -482) + .+(502 -12)= 502x49-(12+22+-+492)= 502x49-(12+22+.+492)= 502x49-1x49x50x996= 502x49-49x25x33= 49x25x(100 - 33)= 49 x 25 x 67 = 82075【答案】82075【巩固】50x50 + 49x51 + 48x52+47x53+46x54 =【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级【解析】原式= 5()2 +(50 1)x(5。+1) + (5。-2)x(5。+2) + (5。-3)x(5O +3) + (50

17、 - 4)x(50 + 4) =502 +502 -12 +502 -12 +502 -22 +502 -32 +5O2 -42= 5x2500 - (1 + 4 + 9 + 16)= 12500 - 30 = 12470【答案】12470【例 21】 计算：1x99 + 2 x 97 + 3 x 95+.+50x1【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式=(99 + 97 + 3 +1) + (97 + 3 + 1) +(3 + 1) + 1= 502+49?+ + 2?+12=1x50x51x101=429256【答案】42925【巩固】计算：1x49 + 2x47 +

18、 3x45 + -+25x1=.【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】原式=(49 + 47 + + 1)+(47 + 45 + 1) + (3 + 1) + 1=252 +242 +- + 22 +12= 1x25x26x51 =55256【答案】5525【例 22】 计算：1x2x3 + 2x3x4+3x4x54-+8x9x10【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式= 2x(2? -l) + 3x(3? -l) + 4x(42l) +9x(9?l)=23 +33 +43+ + 93-(2 + 3 + 4 + + 9)=(1 + 2 + 3 + + 9-1一(2 + 3 + 4 + + 9)= 45-45 = 1980【