第四章线性代数4ppt课件

1、第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 习习 题题 课课4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩向量组的秩4.4 向量空间向量空间4.5 线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合 定义定义1: n 个有次序的数个有次序的数a1, a2, , an所组成的数所组成的数组称为组称为n维向量维向量, 这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个分量个分量, 第第 i 个数个数ai 称为第称为第 i 个分量个分量. 分量全为实数的向量称为实向量分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数

2、的分量为复数的向量称为复向量向量称为复向量.例如例如: (1, 2, , n)为为 n 维实向量维实向量.(1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )为为 n 维复向量维复向量.第第2个分量个分量第第n个分量个分量第第1个分量个分量).,(21nTaaa . 21 naaa 写成一行的写成一行的 n 维向量维向量, 称为行向量称为行向量, 也就是行矩阵也就是行矩阵,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示, 如如: 写成一列的写成一列的 n 维向量维向量, 称为列向量称为列向量, 也就是列矩阵也就是列矩阵,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:留意留意: 1. 行向

3、量和列向量总被看作是不同的向量行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当都当作列向量作列向量. 向量向量 解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象几何形象:可随意平可随意平行移动的有向线段行移动的有向线段代数形象代数形象:向量向量的坐标表示式的坐标表示式当当 n 3 时时,Tzyxr),( 空间空间 解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间:

4、点的集合点的集合向量空间向量空间:向量的集合向量的集合代数形象代数形象:向量向量空间中的平面空间中的平面),(dczbyaxrzyxT 几何形象几何形象:空间空间曲线、空间曲面曲线、空间曲面),(dczbyaxzyx ),(zyxPTzyxr),( 一一对应一一对应点点(x, y, z)的集合的集合平面平面向量向量(x, y, z)T的集合的集合 当当 n 3 时时, 向量不再有向量不再有“几何意义几何意义, 仍沿用几仍沿用几何空间的名词何空间的名词. 但其意义更为广泛但其意义更为广泛. 例如例如: 在描述一空间运动物体时在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空不仅与所处的空间位置间位置(x,

5、 y, z)有关有关, 还与时间还与时间 t 有关有关, 这就是四维时空这就是四维时空空间空间, 用向量表示为用向量表示为(x, y, z, t ).叫做叫做n 维向量空间维向量空间.|),(221121bxaxaxaxxxxnnTn ,|),(2121RxxxxxxxRnTnn 叫做叫做n维向量空间维向量空间Rn中的中的n1维超平面维超平面.机身的仰角机身的仰角 );22( 机身的水平转角机身的水平转角 (0 2);机翼的转角机翼的转角 (-);确定飞机的状态确定飞机的状态, 需要以下需要以下6个参数个参数: 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如例如: 矩阵矩

6、阵A=(aij)mn有有n个个m维列向量维列向量: aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量组向量组a1, a2, an称为矩阵称为矩阵A的列向量组的列向量组. 飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).所以确定飞机的状态需用所以确定飞机的状态需用6维向量维向量(x, y, z, , , )表示表示.在日常工作在日常工作, 学习和生活中学习和生活中, 有许多问题都需要用有许多问题都需要用向量来进行描述向量来进行描述. aaaaaaaaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti T

7、m 向量组向量组1T, 2T, mT 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组. 反之反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵个矩阵. n个个m维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组a1, a2, an构成一构成一个个mn矩阵矩阵),( 21naaaA 类似地类似地, 矩阵矩阵A=(aij)mn有有m个个n 维行向量维行向量: TmTTA 21线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212

8、111212111bxaxaxann 2211 m个个n维行向量所组成的向量组维行向量所组成的向量组1T, 2T, mT 构成一个构成一个mn矩阵矩阵 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何对于任何一组实数一组实数k1, k2, ,km, 向量向量k11 + k22 + + kmm称为向量组称为向量组A: 1, 2, m的一个线性组合的一个线性组合, k1, k2, , km称为这个线性组合的系数称为这个线性组合的系数. 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m和向量和向量b, 如果存如果存在一组数在一组数1, 2, ,m, 使使b = 11 + 22 + +

9、 mm则向量则向量b是向量组是向量组A的线性组合的线性组合, 这时称向量这时称向量b能由向能由向量组量组A线性表示线性表示. 即线性方程组即线性方程组11 + 22 + + mm = b有解有解. 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线线性表示的充分必要条件是矩阵性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, , m)与矩阵与矩阵B=(1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等. 定义定义: 设有两向量组设有两向量组A: 1, 2, , m 与与 B: 1, 2, , s .若若B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性表示, 则称向量则称向量

10、组组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 若向量组若向量组B与向量组与向量组A可可以相互线性表示以相互线性表示, 则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价. 若记若记A=(1, 2, , m)和和B=(1, 2, , s), 向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 即对每一个向量即对每一个向量j ( j =1, 2, s ), 存在数存在数k1j, k2j, , kmj , 使使j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 mjjjmjkkk （即即 ),(21s 从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （矩阵矩阵

11、K=(kij)ms称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵. 若若Cmn=AmsBsn , 则矩阵则矩阵C的列向量组能的列向量组能由矩阵由矩阵A的列向量组线性表示的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩为这一表示的系数矩阵阵: snssnnsnkkbbbbbbbaaaccc2122221112112121),(),( 同时同时, C的行向量组能由的行向量组能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示, A为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵: TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 设矩阵设矩阵A经初等行变换变成经初等行变换变成B, 则

12、则B的每个行向量的每个行向量都是都是A的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合, 即即B的行向量组能由的行向量组能由A的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性可知由初等变换可逆性可知: A的行的行向量组也能由向量组也能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 于是于是, A的行向的行向量组与量组与B的行向量组等价的行向量组等价. 类似地类似地, 若矩阵若矩阵A经初等列变换变成经初等列变换变成B, 则则A的列向的列向量组与量组与B的列向量组等价的列向量组等价. 若向量组若向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 即存在矩阵即存

13、在矩阵K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K也就是说矩阵方程也就是说矩阵方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解. 则由上一章的结论可得则由上一章的结论可得: 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, , m)的秩与矩阵的秩与矩阵(A|B)=(1, 2, , m, 1, , s)的秩相等的秩相等, 即即R(A)=R(A|B). 推论推论: 向量组向量组A: 1, 2, m与向量组与向量组B: 1, 2, , s等价的充分必要条件是等价

14、的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A|B),其中其中A和和B是由向量组是由向量组A和和B所构成的矩阵所构成的矩阵.R(A)=R(A|B)事实上事实上,=R(B|A)=R(B) 定理定理3: 若向量组若向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 则则R(1, 2, , s)R(1, 2, , m),即即R(B)R(A). 以上所讨论的内容建立在有限个向量的向量组与以上所讨论的内容建立在有限个向量的向量组与矩阵之间有对应关系矩阵之间有对应关系, 从而以上结论之间有如下结果从而以上结论之间有如下结果: 若向量组若向量组B: 1, 2, , s能

15、由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示 有矩阵有矩阵K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K 矩阵方程矩阵方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解.一般地一般地, R(B)R(A|B), R(A)R(A|B), 则有则有 1. 对方程组对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为方程组个方程称为方程组A的一个线性组合的一个线性组合; 2. 若方程组若方程组B的每一个方程都是方程组的每一个方程都是方程组A的线性的线性组合组合, 则称方程组则称方程组B能由方程组能由方程组A线性表示线性表示, 此时方程此时

16、方程组组A的解一定是方程组的解一定是方程组B的解的解; 3. 若方程组若方程组A与方程组与方程组B能相互线性表示能相互线性表示, 则称方则称方程组程组A与方程组与方程组B等价等价, 等价方程组是同解的等价方程组是同解的. 向量组的线性组合向量组的线性组合, 线性表示线性表示, 等价等概念的一个等价等概念的一个重要应用是用来描述线性方程组重要应用是用来描述线性方程组:例例1: 设设证明向量证明向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 baaa 证明证明: 要证向量要证向量b能由向量组能由向量组a1, a

17、2, a3线性表示线性表示, 需要证明需要证明: 矩阵矩阵A=(a1, a2, a3)与与B=(a1, a2, a3, b)的秩的秩相等相等. B = 1032341201211111 0000000012102301行变换行变换可知可知, R(A)=R(B),因此因此, 向量向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示.由由B的行最简形可得方程组的行最简形可得方程组Ax=b通解为通解为: ccccx1223012123故表示式为故表示式为: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c为任意常数为任意常数. b=2a1a2.为此将为此

18、将B化为行最简形化为行最简形:特别地特别地, 取取c =0, 得表示式为得表示式为:例例2: 设设证明向量组证明向量组a1, a2与向量组与向量组b1, b2, b3等价等价.,0213,2011,1102,3113,111132121 bbbaa证明证明: 记记A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3). 论论, 只需证只需证R(A)=R(B)=R(A|B).将将(A|B)化为行阶梯形化为行阶梯形:根据定理根据定理2的推的推行变换行变换(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A|B)=2.又容易看出又容易

19、看出B中有中有2阶非零子式阶非零子式,那么那么 2R(B)R(A)=R(B)=R(A|B).因此因此故故 R(B)=2. R(A|B)=2. 例例3: n 阶单位矩阵阶单位矩阵E=(e1, e2, , en)的列向量称为的列向量称为n维单位坐标向量维单位坐标向量. 证明证明: n维单位坐标向量组维单位坐标向量组E: e1, e2, , en能由能由nm矩阵矩阵A=(a1, a2, , am)的列向量组的列向量组A: a1, a2, , am线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=n. 证明证明: 根据定理根据定理2, 向量组向量组E: e1, e2, , en能由向能由向量组

20、量组A线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A|E).因此因此R(A)=R(A|E)=n.故故R(A|E) n,而而 R(A|E)R(E)=n,又因矩阵又因矩阵(A|E)仅有仅有n行行,本例的结论用矩阵方程的方式可描述为本例的结论用矩阵方程的方式可描述为:矩阵方程矩阵方程AnmX=E有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=n. 1. n维向量的概念维向量的概念, 实向量实向量, 复向量复向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量与列向量行向量与列向量; 3. 向量向量, 向量组及线性组合与线性表示的概念向量组及线性组合与线性表示的概念, 由矩阵的秩给

21、出判定的结论由矩阵的秩给出判定的结论; 4. 有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联系间的联系.用矩阵的方式可描述为用矩阵的方式可描述为: 对矩阵对矩阵Amn, 存在存在Qnm使使AQ=Em的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=m.存在存在Pnm使使PA=En的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=n. 当当A为为n阶方阵时阶方阵时, P, Q就是就是A的逆矩阵的逆矩阵. 因此因此, 上上述结论可以看作逆矩阵概念的推广述结论可以看作逆矩阵概念的推广. 证明证明: 任意一个任意一个n维列向量维列向量a 都能由都能由 n 维单位坐标维单位坐标向量组

22、向量组E: e1, e2, , en线性表示线性表示.设设n维列向量维列向量a 为为,21 n 而而,100,010,00121 neee则显然有则显然有:a = 1e1 + 2e2 + + nen. 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存在如果存在不全为零的数不全为零的数 k1, k2, ,km , 使使k11 + k22 + + kmm = O则称向量组则称向量组A是线性相关的是线性相关的, 否则称它是线性无关否则称它是线性无关. 注意注意1: 对于任一向量组而言对于任一向量组而言, 不是线性无关的就不是线性无关的就是线性相关的是线性相关的. 注意注意2: 假

23、设假设1, 2, , m线性无关线性无关, 则只有当则只有当1=2 = =m=0时时, 才有才有11 +22 + +mm = O成立成立. 注意注意3: 向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 时时,假设假设=O则则说说线性相关线性相关; 假设假设O, 则说则说 线性无关线性无关. 注意注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的包含零向量的任何向量组是线性相关的.4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.2 证明证明: 充分性充分性. 设设1, 2, , m中有一个向量中有一个向量(比如比如m )能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示, 注意注意5: 对于含有两个向量的向量组对于含

24、有两个向量的向量组, 它线性相关它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是几何意义是两向量共线两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量三个向量线性相关的几何意义是三向量共面共面. 结论结论: 向量组向量组 1, 2, , m (当当 m2 时时)线性线性相关的充分必要条件是相关的充分必要条件是1, 2, , m中至少有一中至少有一个向量可由其余个向量可由其余 m1个向量线性表示个向量线性表示.即有即有也就是也就是 m = 1 1 + 2 2 + + m1 m1 1 1 + 2 2 + + m1 m1 + (-1) m =O因因1, 2,

25、 , m1, (-1)这这m个数不全为个数不全为0,故故1, 2, , m线性相关线性相关.必要性必要性. 设设1, 2, , m线性相关线性相关.则有不全为则有不全为0的的数数k1, k2, ,km, 使使k11 + k22 + + kmm =O.)()()(13132121mmkkkkkk 不妨设不妨设k10,即即1能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的这个方程就是多余的, 这时称方程组这时称方程组(各个方程各个方程)是线

26、是线性相关的性相关的; 当方程组中没有多余方程当方程组中没有多余方程, 就称该方程组就称该方程组(各个方程各个方程)线性无关或线性独立的线性无关或线性独立的.证毕证毕 则有则有 结论结论: 向量组向量组A线性相关等价于齐次线性方程组线性相关等价于齐次线性方程组x11 + x22 + + xmm=O即即Ax=O有非零解有非零解, 其中其中A=(1, 2, , m). 定理定理4: 向量组向量组1, 2, , m线性相关的充分线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵必要条件是它所构成的矩阵A=(1, 2, , m)的的秩小于向量个数秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件向量组线性无关的充分

27、必要条件是是R(A)=m.由此可得由此可得:下面举例说明定理下面举例说明定理4的应用的应用.例例1: 讨论讨论n维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性.解解: n维单位坐标向量组构成的矩阵为维单位坐标向量组构成的矩阵为n阶单位矩阶单位矩由由| E |=10 知知, R(E)=n.阵阵.故由定理故由定理4知知: n维单位坐标向量组是线性无关的维单位坐标向量组是线性无关的.即即R(E)等于组中向量个数等于组中向量个数.,742,520,111321 例例2: 知知 试讨论向量组试讨论向量组1, 2, 3及及1, 2的线性相关性的线性相关性. 解解: 分析分析 对矩阵对矩阵(1,

28、2, 3)作初等行变换变作初等行变换变成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵可同时看出矩阵(1, 2, 3)及及(1, 2)的秩的秩, 利用定理利用定理4即可得出结论即可得出结论. 751421201),(321 2253rr ， 0002202011312rrrr 550220201可见可见, R(1, 2, 3)=2, 故向量组故向量组1, 2, 3线性线性相关相关, 而而R(1, 2)=2, 故向量组故向量组1, 2线性无关线性无关. 000322131xxxxxx 例例3: 已知向量组已知向量组a1, a2, a3线性无关线性无关, 试证向量组试证向量组b1=a1+a2, b2

29、=a2+a3, b3=a3+a1线性无关线性无关.证一证一: 设有设有x1, x2, x3, 使使x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =O即即 x1(a1+a2) + x2(a2+a3) + x3(a3+a1) = O,亦即亦即 (x1+x3)a1 + (x1+x2)a2 + (x2+x3)a3 = O,因向量组因向量组a1, a2, a3线性无关线性无关, , 02110011101 由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解故方程组只有零解, 即只有即只有x1=x2=x3=0, 因此由定义得因此由定义得, 向量组向量组b1, b2, b3线性无关线性无关.所以所

30、以证二证二: 将将b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1表示为矩阵表示为矩阵等式等式(b1, b2, b3) = (a1,a2, a3),110011101 记为记为B=AK, 并代入并代入3元齐次线性方程组元齐次线性方程组Bx=0, 得得(AK)x=0, 即即A(Kx)=0,由于由于a1,a2, a3线性无关线性无关, 即即R(A)=3, 从而从而Kx=0,又因为又因为| K |= 2 0知知, 齐次方程组齐次方程组Kx=0只有零解只有零解.因此因此, 齐次方程组齐次方程组Bx=0只有零解只有零解. 故故R(B)=3.因此由定理因此由定理4得得, 向量组向量组b1, b2,

31、 b3线性无关线性无关.证三证三: 由证二得由证二得B=AK, 由于由于| K |= 2 0知知K可逆可逆,由矩阵秩的性质由矩阵秩的性质4得得: R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理因此由定理4得得, 向量组向量组b1, b2, b3线性无关线性无关. 本例给出的三种证明方法都是证明向量组线性无本例给出的三种证明方法都是证明向量组线性无关性的常用方法关性的常用方法. 证一是依据定义的证明方法证一是依据定义的证明方法, 即向量组的线性组即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零合为零的组合系数只能都为零; 证二是利用定理证二是利用定理4, 证明向量组构成的矩阵的秩等证明向量组构成的矩阵的

32、秩等于向量组向量的个数于向量组向量的个数, 借用齐次线性方程组只有零解借用齐次线性方程组只有零解的结果证明其系数矩阵的秩的结果证明其系数矩阵的秩; 证三仍是利用定理证三仍是利用定理4, 但过程利用了矩阵秩的性质但过程利用了矩阵秩的性质.线性相关性是向量组的重要性质线性相关性是向量组的重要性质, 给出如下结论给出如下结论: 定理定理5: (1)若向量组若向量组A:1, 2, , m线性相关线性相关, 则向量组则向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关也线性相关; 反反言之言之, 若向量组若向量组B线性无关线性无关, 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关. (2) m个个n维向量组成的

33、向量组维向量组成的向量组, 当当nm时一定线时一定线性相关性相关.), 2 , 1(, 12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj (4)设设即即j 添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量j. 若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 则向量组则向量组B: 1, 2, , m也线性无关也线性无关; 反言之反言之, 若向量组若向量组B线性相关线性相关, 则向量组则向量组A也线性相关也线性相关. (3) 设向量组设向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 而向而向量组量组B: 1, 2, , m, 线性相关线性相关, 则向量则向量 必能由向必能由向量组量组A线

34、性表示线性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的.(1) 记记A=(1, 2, , m), B= (1, 2, , m, m+1),则有则有: R(B) R(A)+1.若向量组若向量组A线性相关线性相关, 则由定理则由定理4知知R(A)m,从而从而R(B) R(A)+1m+1.因此因此, 根据定理根据定理4得得, 向量组向量组B线性相关线性相关. 结论结论(1)可推广为可推广为: 一个向量组若有线性相关的部一个向量组若有线性相关的部分组分组, 则该向量组必线性相关则该向量组必线性相关. 特别地含有零向量的向特别地含有零向量的向量组必线性相关量组必线性相关; 反之反之, 若一个向量组线性无关若

35、一个向量组线性无关, 则它则它的任何部分组都线性无关的任何部分组都线性无关.证明证明: 本定理的本定理的4个结论均由定理个结论均由定理4证明证明. (2) m个个n维向量维向量1, 2, , m构成的矩阵构成的矩阵A=(1, 2, , m)nm, 有有R(A) n, 因此因此, 当向量维数当向量维数n小于向量组向量个数小于向量组向量个数m时时, 由定由定理理4知知, 该向量组一定线性相关该向量组一定线性相关.若若nm, 则则R(A)m.根据定理根据定理4, 由向量组由向量组A线性无关得线性无关得(4) 记记A=(1, 2, , m)rm, B=(1, 2, , m)(r+1)m,则有则有R(A

36、) R(B).从而有从而有R(B)m,R(A)=m,但但R(B) m (因因B只有只有m列列),故故R(B)=m.因此因此, 根据定理根据定理4得得, 向量组向量组B线性无关线性无关. 结论结论(4)是对增加一个分量是对增加一个分量(即维数增加即维数增加1维维)而言而言的的, 增加多个分量时增加多个分量时, 结论也成立结论也成立.(3) 记记A=(1, 2, , m), B= (1, 2, , m, ),则有则有R(A) R(B).根据定理根据定理4, 由向量组由向量组A线性无关得线性无关得R(A)=m, 由向量组由向量组B线性相关得线性相关得, R(B)m+1,故故 m R(B)m+1, 即

37、有即有R(B)=m.再由再由R(A)=R(B)=m知知, 方程组方程组Ax= 有唯一解有唯一解,即向量即向量 能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 且表示式唯一且表示式唯一. 例例3: 设向量组设向量组a1, a2, a3线性相关线性相关, 向量组向量组a2, a3, a4线性无关线性无关. 证明证明(1) a1能由能由a2, a3线性表示线性表示;(2) a4不能由不能由a1, a2, a3线性表示线性表示. 证明证明(1): 由于向量组由于向量组a2, a3, a4线性无关线性无关, 则由定则由定理理5之结论之结论(1)知向量组知向量组a2, a3线性无关线性无关. 又由于向量组又由于

38、向量组a1, a2, a3线性相关线性相关, 则由定理则由定理5之结之结论论(3)知知, 向量向量a1能由能由a2, a3线性表示线性表示, 且表示式唯一且表示式唯一.证明证明(2): 用反证法用反证法. 若若a4能由能由a1, a2, a3线性表示线性表示.而而a1能由能由a2, a3线性表示线性表示, 那么那么 a4能由能由a2, a3线性表示线性表示.但这与但这与a2, a3, a4线性无关矛盾线性无关矛盾,所以所以, a4不能由不能由a1, a2, a3线性表示线性表示.试证明试证明:(1) 一个向量一个向量线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是=O;(2) 一个向量一个向量线性无关

39、的充要条件是线性无关的充要条件是O; (3) 两个向量两个向量, 线性相关的充要条件是存在线性相关的充要条件是存在k1使使 =k1 或者存在或者存在k2使使 =k2, 但两式不一定但两式不一定同时成立同时成立. 1. 线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念; 线性相关性在线线性相关性在线性方程组中的应用性方程组中的应用(重点重点); 2. 线性相关与线性无关的判定方法线性相关与线性无关的判定方法: 定义定义, 5个定个定理理(难点难点).证明证明: (1), (2)略略. (3): 必要性必要性. 设向量设向量, 线性相关线性相关, 则存在不全则存在不全为零的数为零的数x, y, 使

40、使 x + y = 0. , xy 充分性充分性: 不妨设不妨设=k ,不妨设不妨设, x0, 那么那么xyk 即可即可.令令则则1 +(-k) = 0,则由定义知则由定义知, 向量向量, 线性相关线性相关.4.3 向量组的秩向量组的秩 定义定义1: 设有向量组设有向量组A, 如果在如果在A中能选出中能选出r个向量个向量A0: 1, 2, r, 满足满足 (1)向量组向量组A0: 1, 2, r 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A中任意中任意r+1个向量个向量(如果存在的话如果存在的话)都线都线性相关性相关. 则称向量组则称向量组A0是向量组是向量组A的一个最大线性无的一个最大线性无关向

41、量组关向量组(简称最大无关组简称最大无关组). 最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数r 称为向量组的秩称为向量组的秩, 记作记作RA. 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组, 规定它的规定它的秩为秩为0.4.3阐明阐明(2): 向量组与它的最大无关组是等价的向量组与它的最大无关组是等价的.,742,520,111321 例如例如:知知R(1, 2, 3)=2, 即即1, 2, 3线性相关线性相关, 而而 1, 2 和和 2, 3都线性无关都线性无关, 所以所以1, 2 和和2, 3都是都是1, 2, 3的最的最 大无关组大无关组.设设A0: 1, 2,

42、, n是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组. 则显然则显然A0可由可由A线性表示线性表示. A0中得到向量组中得到向量组1, 2, , n, 是线性相关的是线性相关的,对对A中任意向量中任意向量将其加入将其加入 节定理节定理5的结论的结论(3)知知, 可可A0由线性表示由线性表示,则由上则由上可由它的最大无关组可由它的最大无关组A0线性表示线性表示.从而向量组从而向量组A所以所以, 向量组与它的最大无关组是等价的向量组与它的最大无关组是等价的.阐明阐明(1): 最大无关组不唯一最大无关组不唯一. 定理定理6: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于也等

43、于它的行向量组的秩它的行向量组的秩.证明证明: 设设A=(1, 2, , m), R(A)=r, 并设其并设其r 阶子式阶子式 Dr0.线性无关线性无关, 根据上节的定理根据上节的定理4, 由由Dr0知知, Dr所在的列向量组所在的列向量组又由于又由于A中所有中所有r+1阶子式均为零知阶子式均为零知, A中任中任类似可证类似可证A的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于R(A).意意r+1个列向量都线性相关个列向量都线性相关.因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列的列向量组向量组1, 2, , m的秩也记作的秩也记作R(1, 2, , m). 结论结论: 若若Dr是矩阵是矩阵A的一个最高阶非

44、零子式的一个最高阶非零子式, 则则Dr所在的所在的r 列即是列即是A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组, Dr所所在的在的r 行即是行即是A的行向量组的一个最大无关组的行向量组的一个最大无关组.所以所以A的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于r.向量的一个最大无关组向量的一个最大无关组, 例例1: 全体全体n维实向量构成的向量组记作维实向量构成的向量组记作Rn, 求求Rn的一个最大无关组及的一个最大无关组及Rn的秩的秩.解解: : 因为因为n n维单位坐标向量构成的向量组维单位坐标向量构成的向量组 E: e1, e2, , enE: e1, e2, , en是线性无关的是线性无

45、关的. . 又根据上节定理又根据上节定理5的结论的结论(3)知知, Rn中的任意中的任意n+1个个向量都是线性相关的向量都是线性相关的, 因此向量组因此向量组E是是Rn的一个最大的一个最大无关组无关组, 且且Rn的秩等于的秩等于n. 推论推论(最大无关组的等价定义最大无关组的等价定义): 设有向量组设有向量组A0: 1, 2, r 是向量组是向量组A的一个部分组的一个部分组, 且满足且满足: (1)向量组向量组A0: 1, 2, r 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A的任意向量都能由向量组的任意向量都能由向量组A0线性表示线性表示;则向量组则向量组A0是向量组是向量组A的一个最大无关组的

46、一个最大无关组.求求A矩阵的列向量组的一个最大无关组矩阵的列向量组的一个最大无关组, 并把不属于并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.,97963422644121121112 例例2: 设矩阵设矩阵A = 实际上实际上, 依定义只需证明向量组依定义只需证明向量组A中的任意中的任意r +1个个向量都线性相关即可向量都线性相关即可.设设b1, b2, , br+1为向量组为向量组A中的任意中的任意r +1个向量个向量,由条件由条件(2)知知, 这这r +1个向量可以由向量组个向量可以由向量组A0线性表示线性表示,则由定理则由定理4可知可知:R(b

47、1, b2, , br+1)R(1, 2, r )=r,再由定理再由定理4可得可得: 向量组向量组b1, b2, , br+1线性相关线性相关,则由定义知则由定义知: 向量组向量组A0是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组.,00000310000111041211 A 得得R(A)=3.故列向量组的最大无关组含故列向量组的最大无关组含3个向量个向量.个非零行的非零首元所在的个非零行的非零首元所在的1, 2, 4三列三列.列向量组的一个最大无关组列向量组的一个最大无关组.而三而三故故1, 2, 4为为事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变

48、换 ( 1, 2, 4) =知知R(1, 2, 4)=3, 故故1, 2, 4线性无关线性无关. 要把要把3, 5用用1, 2, 4线性表示必须将线性表示必须将A再再变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵.解解: : 对对A A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵施行初等行变换变为行阶梯形矩阵: :.00000310003011040101 BA 初初等等行行变变换换.334 4215213 即得即得此式成立的理论依据此式成立的理论依据:由于齐次线性方程组由于齐次线性方程组Ax=0与与Bx=0同解同解,( 1, 2, 3, 4, 5)x=0与与( 1, 2, 3, 4, 5)x=0同解同解,即即设设B的列

49、向量组为的列向量组为: 1, 2, 3, 4, 5.设其解为设其解为: x1, x2, x3, x4, x5, x11+x22+x33+x44+x55=0与与x11 +x22 +x33 +x44 +x55=0同时成立同时成立.则有则有(2)(3)(1)和和 x1=1, x2=1, x3=1, x4=0, x5=0.取其两个解取其两个解: x1=4, x2=3, x3=0, x4=3, x5=1; 这两个解由这两个解由(3)式也就是式也就是Bx=0求出求出, (3)式成立等价式成立等价于于(2)式成立式成立, 从而从而(1)式成立式成立. 以上讨论表明以上讨论表明: 如果矩阵如果矩阵Amn与与B

50、ln的行向的行向量组等价量组等价, 则方程组则方程组Ax=0与与Bx=0同解同解, 因此因此A的列向的列向量组各向量之间与量组各向量之间与B的列向量组各向量之间有相同的的列向量组各向量之间有相同的线性关系线性关系. 如果如果B是行最简形矩阵是行最简形矩阵, 则容易看出则容易看出B的列向量组的列向量组各向量之间所具有的线性关系各向量之间所具有的线性关系, 从而也就得到从而也就得到A的列的列向量组各向量之间的线性关系向量组各向量之间的线性关系. 1+ 2+ 3=041+32345=0得得.334 4215213 即即 向量组向量组1, 2, r 的秩为的秩为R(1, 2, r ), 同时这个符号又

51、可表示矩阵同时这个符号又可表示矩阵A=(1, 2, r )的秩的秩. 因此前两节用矩阵的秩的方式叙述的向量组的因此前两节用矩阵的秩的方式叙述的向量组的有关结论都可以用向量组的秩的方式叙述有关结论都可以用向量组的秩的方式叙述. 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组1, 2, , m线性线性表示的充分必要条件是表示的充分必要条件是R=(1, 2, , m)=R(1, 2, , m, b). 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(1, 2, , m)=R(1, 2, , m, 1, , s

52、). 推论推论: 向量组向量组A: 1, 2, m与向量组与向量组B: 1, 2, , s等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是R(1,2,m)=R(1,2,s)=R(1,2,m,1,2,s). 定理定理3: 若向量组若向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 则则R(1, 2, , s)R(1, 2, , m). 定理定理4: 向量组向量组1, 2, , m线性相关的充分线性相关的充分必要条件是必要条件是R(1, 2, , m)m; 向量组线性无关向量组线性无关的充分必要条件是的充分必要条件是R(1, 2, , m)=m. 例例3: 设向

53、量组设向量组B是向量组是向量组A的部分组的部分组, 若向量组若向量组B线性无关线性无关, 且向量组且向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示, 则向量则向量组组B是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组.证证: 设向量组设向量组B含含r个向量个向量, 则它的秩为则它的秩为r . 因因A组能由组能由B组线性表示组线性表示, 故故A组的秩组的秩 r . 从而从而A组中任意组中任意r +1个向量线性相关个向量线性相关,所以所以, 向量组向量组B满足最大无关组定义所规定的条件满足最大无关组定义所规定的条件.,59354645),(,13112032),( 2121 bbaa例例4: 知

54、知证明向量组证明向量组a1, a2与与b1, b2等价等价.证明一证明一: 要证存在要证存在2阶方阵阶方阵X, Y, 使使(b1, b2)=(a1, a2)X, (a1, a2)=(b1, b2)Y.先求先求X.X.用求矩阵方程的方法对用求矩阵方程的方法对(a1, a2, b1, b2)施行施行 5913351146204532(a1, a2, b1, b2) = 591345324620351131rr 初等行变换变为行最简形矩阵初等行变换变为行最简形矩阵: 462010155046203511143rr 132rr 4620231023103511)2(2 r53 r 0000000023

55、103511242rr 23rr .0000000023101201 )1(1 r21rr 0000000023101201),(2121初初等等行行变变换换bbaa即即 2312即得即得X =因因| X | = 1 0 知知, X可逆可逆. 取取Y = X-1, 即为所求即为所求.因此向量组因此向量组a1, a2与与b1, b2等价等价.验证验证: 13112032 59354645 2312(a1, a2)X = (b1, b2)即向量组即向量组b1, b2可以由可以由a1, a2线性表示线性表示. 证明二证明二: 用初等列变换将矩阵用初等列变换将矩阵(a1, a2)和和(b1, b2)都

56、都化为列最简形化为列最简形. 13112032 59354645(a1, a2)= (b1, b2)=21 c)2(3212 ccc212rr 42 r,4/112/34/52/10001 21cc 1214)1(ccc 114524201,4/112/34/52/10001 证明三证明三: 显然向量组显然向量组a1, a2和和b1, b2都线性无关都线性无关.由证明一知由证明一知: 向量组向量组a1, a2, b1, b2线性相关线性相关, 并且秩并且秩为为2,所以所以, 向量组向量组a1, a2和和b1, b2都是都是a1, a2, b1, b2的最大的最大无关组无关组, 因此因此, a1

57、, a2和和b1, b2等价等价. 矩阵矩阵(a1, a2)和和(b1, b2)有相同的列最简形有相同的列最简形. 故两矩故两矩阵的列向量组等价阵的列向量组等价, 即即a1, a2与与b1, b2等价等价.1. 最大线性无关向量组的概念最大线性无关向量组的概念: 最大性最大性, 线性无关性线性无关性. 2. 矩阵的秩与向量组的秩的关系矩阵的秩与向量组的秩的关系:矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩3. 关于向量组秩的一些结论关于向量组秩的一些结论: 六个定理六个定理. 4. 求向量组的秩以及最大无关组的方法求向量组的秩以及最大无关组的方法: 将向量组

58、中的向量作为列向量构成一个矩阵将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵, 然然后进行初等行变换后进行初等行变换. 比较本节中例比较本节中例4的证法一的证法一, 二二, 三三, 并总结这类命题并总结这类命题的证法的证法.证法一根据向量组等价的定义证法一根据向量组等价的定义, 寻找两向量组相寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵互线性表示的系数矩阵; 证法二利用证法二利用“经初等列变换经初等列变换, 矩阵的列向量组等矩阵的列向量组等价价,经初等行变换经初等行变换, 矩阵的行向量组等价这一特性矩阵的行向量组等价这一特性, 验证是否有相同的行验证是否有相同的行(列列)最简形矩阵最简形矩阵; 证法三直接计算向

59、量组的秩证法三直接计算向量组的秩, 利用了向量组的最利用了向量组的最大线性无关组等价这一结论大线性无关组等价这一结论.4.4 向量空间向量空间 定义定义: 设设V为为n维向量的集合维向量的集合, 如果集合如果集合V非空非空, 且且集合集合V对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭, 那么就称集合那么就称集合V为向量空间为向量空间. 说明说明2. 所有所有n维实向量的集合是一个向量空间维实向量的集合是一个向量空间, 记记作作Rn.说明说明1. 集合集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指对于加法及乘数两种运算封闭是指: 假设假设, V, 那么那么 + V; 假设假设 V, R, 那么那么

60、 V.4.4由于由于, 对对 =(1, a2, a3, , an)TV2, 2R, 解解: V1是向量空间是向量空间.因为对于因为对于V1V1的任意两个元素的任意两个元素例例2: 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间,解解: V1不是向量空间不是向量空间.则有则有 2=(2, 2a2, 2a3, , 2an)T例例1: 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间,2V2 = x = (1, x2, x3, , xn)T | x2, x3, , xn R . V1 = x = (0, x2, x3, , xn)T | x2, x3, , xn R . =(0, a2,