人教A版必修一1311函数的单调性

1、1.3 1.3 函数的基本性质函数的基本性质1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值第第1课时课时 函数的单调性函数的单调性链接一：初中函数的单调性概念一次函数y=kx+b，k0，当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小；反比例函数y =xk，k0，当k0时，在每个区间内y随x的增大而减小，当k0时，在每个区间内y随x的增大而增大；二次函数 a0，当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.这些都说明了函数值与自变量之间的关系.链接二：几种重要的恒等变形式探究函数的单调性常要将代数式变形（1）立方和与立方差可得立方

2、和与立方差的因式分解公式.（2）和的立方与差的立方（3）配方型恒等变形1.增函数（1）定义：设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数，区间D称为函数f（x）的单调递增区间.（2）几何意义：函数f（x）的图象在区间D上是上升的.如图所示.2.减函数（1）定义：设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数，区间D称为函数f（x）的单调递减区间.（2）几何意义：函数f（x）

3、的图象在区间D上是下降的.如图所示.3.单调性与单调区间定义：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y =f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y =f（x）的单调区间.1.函数f（x）=2x，x（A）减函数（B）增函数（C）先减后增（D）先增后减0，3的单调性是（ B ）解析：如图所示，可知函数 上是增函数.2.函数 在区间1，2上（ D ） （A）是增函数（B）是减函数（C）是增函数又是减函数（D）不具有单调性解析： 上的图象是 由图象易知，函数 在区间1，2上有增有减，故在1，2上不具有单调性，故选D.3.若函数f（x）定义在1，3上，且满足f（0）f（

4、1），则函数f（x）在区间1，3上的单调性是（ D ）（A）增函数（B）减函数（C）先减后增（D）无法判断其单调性解析：函数单调性强调x1，x2虽然f（0）f（1），但不能保证其他值也能满足这样的不等关系.故选D.1，3，且x1，x2具有任意性，4.函数f（x）=|x|的减区间是_.解析：画出f（x）=|x|的草图，可知此函数的减区间是（ ，0 答案：（，0探究要点一：函数单调性的理解1.单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二

5、字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间.3.单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f（x）是增（减）函数且f（x1）f（x2）x1x2）.4.并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.探究要点二：单调性的证明方法1.取值：任选定义域中同一单调区间上的自变量值x1，x2，且设x1x2.2.作差：指求f（x2）f（x1）.3.变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将2中的差式f（x2）f（x1）进一步化简变形，变到利

6、于判断f（x2）f（x1）的正负为止.常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等.一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号.4.定号：根据变形结果，确定f（x2）f（x1）的符号.5.判断：根据x1与x2的大小关系及f（x1）与f（x2）的大小关系，结合单调性定义得出结论.探究要点三：单调性的判断方法1.定义法：利用定义严格判断.2.图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间.3.用两个函数和（差）的单调性的规律判断：“增+增=增”，“减+减=减”，“增减=增”，“减增=减”.4.求函数y=f（g（x）的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将函数分解成基本初等函

7、数y=f（u），u=g（x）；（3）分别确定这两个函数的单调区间；（4）若这两个函数同增同减，则y=f（g（x）为增函数；若一增一减，则y=f（g（x）为减函数（同“增”异“减”） 类型一：函数单调性的证明利用单调性的定义证明函数 在 上是增函数.解题流程：解：法一：对于任意的x1，x2 且x1x2，则规律方法：利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：（1）因式分解.当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解.如 （2）通分.当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解.如本例.（3）配方.当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号.（4）分子有理

8、化.当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.如 变式训练11：证明函数 是增函数 证明：设x1，x2是R R上的任意两个实数，且x1x2， 显然不成立， f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.并指出函数的单调区间.函数图象如图所示 类型二：求函数的单调区间函数在 上是增函数， 函数在 上是减函数. 函数的单调增区间是 单调减区间是 规律方法：（1）对于初等函数 单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的东西，可以直接使用.（2）对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，如 在此基础上，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性（区间）.变式训练21：函数f（x）= 的单调增区间是_，单调减区间是_.解析：原函数可化为f（x） 图象如图所示，由图可得 为f（x）的单调递减区间， 为f（x）的单调递增区间. 已知函数 在区间上是减函数，求实数a的取值范围. 思路点拨：解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象 的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解.此二次函数的对称轴为x=1a.f（x）的单调减区间为 f（x）在 上是减函数， 对称轴x=1a必须在直线x=4的右侧或与其重合. 类型三：